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Theorem iscnp2 20332
Description: The predicate " F is a continuous function from topology  J to topology  K at point  P." Based on Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscn.1  |-  X  = 
U. J
iscn.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
iscnp2  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    x, X, y    x, F, y   
x, P, y    x, Y, y

Proof of Theorem iscnp2
Dummy variables  f 
g  j  k  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3727 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  -.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  (/) )
2 df-ov 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  CnP  K )  =  (  CnP  `  <. J ,  K >. )
3 ndmfv 5903 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
<. J ,  K >.  e. 
dom  CnP  ->  (  CnP  ` 
<. J ,  K >. )  =  (/) )
42, 3syl5eq 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
<. J ,  K >.  e. 
dom  CnP  ->  ( J  CnP  K )  =  (/) )
54fveq1d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
<. J ,  K >.  e. 
dom  CnP  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  (
(/) `  P )
)
6 0fv 5912 . . . . . . . 8  |-  ( (/) `  P )  =  (/)
75, 6syl6eq 2521 . . . . . . 7  |-  ( -. 
<. J ,  K >.  e. 
dom  CnP  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  (/) )
81, 7nsyl2 132 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  <. J ,  K >.  e.  dom  CnP  )
9 df-cnp 20321 . . . . . . 7  |-  CnP  =  ( j  e.  Top ,  k  e.  Top  |->  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) } ) )
10 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) }  C_  ( U. k  ^m  U. j )
11 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. k  ^m  U. j )  e.  _V
1211elpw2 4565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  ( ( f `
 x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  (
f " g ) 
C_  y ) ) }  e.  ~P ( U. k  ^m  U. j
)  <->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) }  C_  ( U. k  ^m  U. j ) )
1310, 12mpbir 214 . . . . . . . . . 10  |-  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) }  e.  ~P ( U. k  ^m  U. j )
1413rgenw 2768 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  U. j { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) }  e.  ~P ( U. k  ^m  U. j )
15 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  ( ( f `
 x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  (
f " g ) 
C_  y ) ) } )  =  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) } )
1615fmpt 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  U. j { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) }  e.  ~P ( U. k  ^m  U. j )  <->  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) } ) : U. j --> ~P ( U. k  ^m  U. j ) )
1714, 16mpbi 213 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  ( ( f `
 x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  (
f " g ) 
C_  y ) ) } ) : U. j
--> ~P ( U. k  ^m  U. j )
18 vex 3034 . . . . . . . . 9  |-  j  e. 
_V
1918uniex 6606 . . . . . . . 8  |-  U. j  e.  _V
2011pwex 4584 . . . . . . . 8  |-  ~P ( U. k  ^m  U. j
)  e.  _V
21 fex2 6767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) } ) : U. j --> ~P ( U. k  ^m  U. j )  /\  U. j  e.  _V  /\  ~P ( U. k  ^m  U. j )  e.  _V )  ->  ( x  e. 
U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) } )  e.  _V )
2217, 19, 20, 21mp3an 1390 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  ( ( f `
 x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  (
f " g ) 
C_  y ) ) } )  e.  _V
239, 22dmmpt2 6882 . . . . . 6  |-  dom  CnP  =  ( Top  X.  Top )
248, 23syl6eleq 2559 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  <. J ,  K >.  e.  ( Top 
X.  Top ) )
25 opelxp 4869 . . . . 5  |-  ( <. J ,  K >.  e.  ( Top  X.  Top ) 
<->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )
)
2624, 25sylib 201 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top ) )
2726simpld 466 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  J  e.  Top )
2826simprd 470 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  K  e.  Top )
29 elfvdm 5905 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  dom  ( J  CnP  K ) )
30 iscn.1 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. J
3130toptopon 20025 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
32 iscn.2 . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. K
3332toptopon 20025 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
34 cnpfval 20327 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  CnP  K )  =  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } ) )
3531, 33, 34syl2anb 487 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  CnP  K
)  =  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } ) )
3626, 35syl 17 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  ( J  CnP  K )  =  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  ( ( f `
 x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) } ) )
3736dmeqd 5042 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  dom  ( J  CnP  K )  =  dom  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } ) )
38 ovex 6336 . . . . . . . 8  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
3938rabex 4550 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) }  e.  _V
4039rgenw 2768 . . . . . 6  |-  A. x  e.  X  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. w  e.  K  ( (
f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) }  e.  _V
41 dmmptg 5339 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) }  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. w  e.  K  ( (
f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) } )  =  X )
4240, 41ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom  (
x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } )  =  X
4337, 42syl6eq 2521 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  dom  ( J  CnP  K )  =  X )
4429, 43eleqtrd 2551 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  X )
4527, 28, 443jca 1210 . 2  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X ) )
46 biid 244 . . 3  |-  ( P  e.  X  <->  P  e.  X )
47 iscnp 20330 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
4831, 33, 46, 47syl3anb 1335 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
4945, 48biadan2 654 1  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   <.cop 3965   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   dom cdm 4839   "cima 4842   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   Topctop 19994  TopOnctopon 19995    CnP ccnp 20318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-map 7492  df-top 19998  df-topon 20000  df-cnp 20321
This theorem is referenced by:  cnptop1  20335  cnptop2  20336  cnprcl  20338  cnpf  20340  cnpimaex  20349  cnpnei  20357  cnpco  20360  cnprest  20382  cnprest2  20383
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