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Theorem iscnp2 20254
Description: The predicate " F is a continuous function from topology  J to topology  K at point  P." Based on Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscn.1  |-  X  = 
U. J
iscn.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
iscnp2  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    x, X, y    x, F, y   
x, P, y    x, Y, y

Proof of Theorem iscnp2
Dummy variables  f 
g  j  k  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3766 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  -.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  (/) )
2 df-ov 6309 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  CnP  K )  =  (  CnP  `  <. J ,  K >. )
3 ndmfv 5906 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
<. J ,  K >.  e. 
dom  CnP  ->  (  CnP  ` 
<. J ,  K >. )  =  (/) )
42, 3syl5eq 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
<. J ,  K >.  e. 
dom  CnP  ->  ( J  CnP  K )  =  (/) )
54fveq1d 5884 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
<. J ,  K >.  e. 
dom  CnP  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  (
(/) `  P )
)
6 0fv 5915 . . . . . . . 8  |-  ( (/) `  P )  =  (/)
75, 6syl6eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( -. 
<. J ,  K >.  e. 
dom  CnP  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  (/) )
81, 7nsyl2 130 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  <. J ,  K >.  e.  dom  CnP  )
9 df-cnp 20243 . . . . . . 7  |-  CnP  =  ( j  e.  Top ,  k  e.  Top  |->  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) } ) )
10 ssrab2 3546 . . . . . . . . . . 11  |-  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) }  C_  ( U. k  ^m  U. j )
11 ovex 6334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. k  ^m  U. j )  e.  _V
1211elpw2 4588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  ( ( f `
 x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  (
f " g ) 
C_  y ) ) }  e.  ~P ( U. k  ^m  U. j
)  <->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) }  C_  ( U. k  ^m  U. j ) )
1310, 12mpbir 212 . . . . . . . . . 10  |-  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) }  e.  ~P ( U. k  ^m  U. j )
1413rgenw 2783 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  U. j { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) }  e.  ~P ( U. k  ^m  U. j )
15 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  ( ( f `
 x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  (
f " g ) 
C_  y ) ) } )  =  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) } )
1615fmpt 6059 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  U. j { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) }  e.  ~P ( U. k  ^m  U. j )  <->  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) } ) : U. j --> ~P ( U. k  ^m  U. j ) )
1714, 16mpbi 211 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  ( ( f `
 x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  (
f " g ) 
C_  y ) ) } ) : U. j
--> ~P ( U. k  ^m  U. j )
18 vex 3083 . . . . . . . . 9  |-  j  e. 
_V
1918uniex 6602 . . . . . . . 8  |-  U. j  e.  _V
2011pwex 4607 . . . . . . . 8  |-  ~P ( U. k  ^m  U. j
)  e.  _V
21 fex2 6763 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) } ) : U. j --> ~P ( U. k  ^m  U. j )  /\  U. j  e.  _V  /\  ~P ( U. k  ^m  U. j )  e.  _V )  ->  ( x  e. 
U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) } )  e.  _V )
2217, 19, 20, 21mp3an 1360 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  ( ( f `
 x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  (
f " g ) 
C_  y ) ) } )  e.  _V
239, 22dmmpt2 6878 . . . . . 6  |-  dom  CnP  =  ( Top  X.  Top )
248, 23syl6eleq 2517 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  <. J ,  K >.  e.  ( Top 
X.  Top ) )
25 opelxp 4883 . . . . 5  |-  ( <. J ,  K >.  e.  ( Top  X.  Top ) 
<->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )
)
2624, 25sylib 199 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top ) )
2726simpld 460 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  J  e.  Top )
2826simprd 464 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  K  e.  Top )
29 elfvdm 5908 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  dom  ( J  CnP  K ) )
30 iscn.1 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. J
3130toptopon 19947 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
32 iscn.2 . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. K
3332toptopon 19947 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
34 cnpfval 20249 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  CnP  K )  =  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } ) )
3531, 33, 34syl2anb 481 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  CnP  K
)  =  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } ) )
3626, 35syl 17 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  ( J  CnP  K )  =  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  ( ( f `
 x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) } ) )
3736dmeqd 5056 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  dom  ( J  CnP  K )  =  dom  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } ) )
38 ovex 6334 . . . . . . . 8  |-  ( Y  ^m  X )  e. 
_V
3938rabex 4575 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. w  e.  K  (
( f `  x
)  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) }  e.  _V
4039rgenw 2783 . . . . . 6  |-  A. x  e.  X  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. w  e.  K  ( (
f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) }  e.  _V
41 dmmptg 5351 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) }  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. w  e.  K  ( (
f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  (
f " v ) 
C_  w ) ) } )  =  X )
4240, 41ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom  (
x  e.  X  |->  { f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. w  e.  K  ( ( f `  x )  e.  w  ->  E. v  e.  J  ( x  e.  v  /\  ( f " v
)  C_  w )
) } )  =  X
4337, 42syl6eq 2479 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  dom  ( J  CnP  K )  =  X )
4429, 43eleqtrd 2509 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  X )
4527, 28, 443jca 1185 . 2  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X ) )
46 biid 239 . . 3  |-  ( P  e.  X  <->  P  e.  X )
47 iscnp 20252 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
4831, 33, 46, 47syl3anb 1307 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
4945, 48biadan2 646 1  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3981   <.cop 4004   U.cuni 4219    |-> cmpt 4482    X. cxp 4851   dom cdm 4853   "cima 4856   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6306    ^m cmap 7484   Topctop 19916  TopOnctopon 19917    CnP ccnp 20240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-map 7486  df-top 19920  df-topon 19922  df-cnp 20243
This theorem is referenced by:  cnptop1  20257  cnptop2  20258  cnprcl  20260  cnpf  20262  cnpimaex  20271  cnpnei  20279  cnpco  20282  cnprest  20304  cnprest2  20305
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