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Theorem iscnp 18841
Description: The predicate " F is a continuous function from topology  J to topology  K at point  P." Based on Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscnp  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    x, X, y    x, F, y   
x, P, y    x, Y, y

Proof of Theorem iscnp
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnpval 18840 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )
21eleq2d 2510 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } ) )
3 fveq1 5690 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  P )  =  ( F `  P ) )
43eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  P
)  e.  y  <->  ( F `  P )  e.  y ) )
5 imaeq1 5164 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
f " x )  =  ( F "
x ) )
65sseq1d 3383 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
( f " x
)  C_  y  <->  ( F " x )  C_  y
) )
76anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )  <->  ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y ) ) )
87rexbidv 2736 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y ) ) )
94, 8imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
)  <->  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) )
109ralbidv 2735 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
)  <->  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) )
1110elrab 3117 . . . 4  |-  ( F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. y  e.  K  ( (
f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) }  <->  ( F  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) )
12 toponmax 18533 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
13 toponmax 18533 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
14 elmapg 7227 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  K  /\  X  e.  J )  ->  ( F  e.  ( Y  ^m  X )  <-> 
F : X --> Y ) )
1512, 13, 14syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( Y  ^m  X
)  <->  F : X --> Y ) )
1615anbi1d 704 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F  e.  ( Y  ^m  X )  /\  A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
1711, 16syl5bb 257 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) }  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
18173adant3 1008 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) }  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
192, 18bitrd 253 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719    C_ wss 3328   "cima 4843   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214  TopOnctopon 18499    CnP ccnp 18829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-map 7216  df-top 18503  df-topon 18506  df-cnp 18832
This theorem is referenced by:  iscnp2  18843  iscnp3  18848  tgcnp  18857  iscnp4  18867  cnconst2  18887  cnpresti  18892  cnprest  18893  cnprest2  18894  1stccnp  19066  cnpflf2  19573  symgtgp  19672  ghmcnp  19685  ellimc2  21352  xrlimcnp  22362
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