Theorem iscnp 9036

Description: The predicate "F is a continuous function from topology J to topology K at point P." Based on Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107.

Hypotheses

Ref	Expression
iscn.1	|- X = U.J
iscn.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
iscnp	|- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y)))))

Distinct variable groups:   x,y,F   x,J,y   y,K   x,P,y   y,X   y,Y

Proof of Theorem iscnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn.1	. . . 4 |- X = U.J
2		iscn.2	. . . 4 |- Y = U.K
3	1, 2	cnpval 9035	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> ((J CnP K)` P) = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) C_ y))})
4	3	eleq2d 1964	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> F e. {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) C_ y))}))
5		elmapg 5392	. . . . . . 7 |- ((Y e. _V /\ X e. _V) -> (F e. (Y ^m X) <-> F:X-->Y))
6		uniexg 3795	. . . . . . . 8 |- (K e. Top -> U.K e. _V)
7	6, 2	syl5eqel 1975	. . . . . . 7 |- (K e. Top -> Y e. _V)
8		uniexg 3795	. . . . . . . 8 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
9	8, 1	syl5eqel 1975	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> X e. _V)
10	5, 7, 9	syl2an 503	. . . . . 6 |- ((K e. Top /\ J e. Top) -> (F e. (Y ^m X) <-> F:X-->Y))
11	10	ancoms 484	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (Y ^m X) <-> F:X-->Y))
12	11	anbi1d 679	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> ((F e. (Y ^m X) /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y))) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y)))))
13		fveq1 4680	. . . . . . . 8 |- (f = F -> (f` P) = (F` P))
14	13	eleq1d 1963	. . . . . . 7 |- (f = F -> ((f` P) e. y <-> (F` P) e. y))
15		imaeq1 4259	. . . . . . . . . 10 |- (f = F -> (f"x) = (F"x))
16	15	sseq1d 2644	. . . . . . . . 9 |- (f = F -> ((f"x) C_ y <-> (F"x) C_ y))
17	16	anbi2d 678	. . . . . . . 8 |- (f = F -> ((P e. x /\ (f"x) C_ y) <-> (P e. x /\ (F"x) C_ y)))
18	17	rexbidv 2124	. . . . . . 7 |- (f = F -> (E.x e. J (P e. x /\ (f"x) C_ y) <-> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y)))
19	14, 18	imbi12d 688	. . . . . 6 |- (f = F -> (((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) C_ y)) <-> ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y))))
20	19	ralbidv 2123	. . . . 5 |- (f = F -> (A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) C_ y)) <-> A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y))))
21	20	elrab 2414	. . . 4 |- (F e. {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) C_ y))} <-> (F e. (Y ^m X) /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y))))
22	12, 21	syl5bb 591	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) C_ y))} <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y)))))
23	22	3adant3 896	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. {f e. (Y ^m X) | A.y e. K ((f` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (f"x) C_ y))} <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y)))))
24	4, 23	bitrd 587	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K ((F` P) e. y -> E.x e. J (P e. x /\ (F"x) C_ y)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  U.cuni 3177  "cima 3989  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   ^m cmap 5381  Topctop 8857   CnP ccnp 9029

This theorem is referenced by:  iscnp2 9037  cnpf 9039  cnpimaex 9041  cnpnei 9043  cnpco 9046  cnsscnp 9049  cncnp 9055  metcnp 9165  conttnf 14944  iscnp3 14946

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-cnp 9031

Copyright terms: Public domain