MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscnp Unicode version

Theorem iscnp 16799
Description: The predicate " F is a continuous function from topology  J to topology  K at point  P." Based on Theorem 7.2(g) of [Munkres] p. 107. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscnp  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    x, X, y    x, F, y   
x, P, y    x, Y, y

Proof of Theorem iscnp
StepHypRef Expression
1 cnpval 16798 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( ( J  CnP  K ) `  P )  =  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } )
21eleq2d 2320 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  (
( f `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
) } ) )
3 fveq1 5376 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  P )  =  ( F `  P ) )
43eleq1d 2319 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  P
)  e.  y  <->  ( F `  P )  e.  y ) )
5 imaeq1 4914 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
f " x )  =  ( F "
x ) )
65sseq1d 3126 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
( f " x
)  C_  y  <->  ( F " x )  C_  y
) )
76anbi2d 687 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )  <->  ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y ) ) )
87rexbidv 2528 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y ) ) )
94, 8imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
)  <->  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) )
109ralbidv 2527 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. y  e.  K  ( ( f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( f " x
)  C_  y )
)  <->  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) )
1110elrab 2860 . . . 4  |-  ( F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. y  e.  K  ( (
f `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) }  <->  ( F  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) )
12 toponmax 16498 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
13 toponmax 16498 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
14 elmapg 6671 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  K  /\  X  e.  J )  ->  ( F  e.  ( Y  ^m  X )  <-> 
F : X --> Y ) )
1512, 13, 14syl2anr 466 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( Y  ^m  X
)  <->  F : X --> Y ) )
1615anbi1d 688 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F  e.  ( Y  ^m  X )  /\  A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
1711, 16syl5bb 250 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) }  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
18173adant3 980 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  (
f " x ) 
C_  y ) ) }  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
192, 18bitrd 246 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510   {crab 2512    C_ wss 3078   "cima 4583   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710    ^m cmap 6658  TopOnctopon 16464    CnP ccnp 16787
This theorem is referenced by:  iscnp2  16801  iscnp3  16806  tgcnp  16815  cnconst2  16843  cnpresti  16848  cnprest  16849  cnprest2  16850  1stccnp  17020  cnpflf2  17527  symgtgp  17616  ghmcnp  17629  ellimc2  19059  xrlimcnp  20095  iscnp4  24729
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-map 6660  df-top 16468  df-topon 16471  df-cnp 16790
  Copyright terms: Public domain W3C validator