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Theorem iscncl 20271
Description: A definition of a continuous function using closed sets. Theorem 1 (d) of [BourbakiTop1] p. I.9. (Contributed by FL, 19-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscncl  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K
) ( `' F " y )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
Distinct variable groups:    y, F    y, J    y, K    y, X    y, Y

Proof of Theorem iscncl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnf2 20251 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  F : X --> Y )
213expa 1205 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : X --> Y )
3 cnclima 20270 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  y  e.  ( Clsd `  K ) )  -> 
( `' F "
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
43ralrimiva 2839 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  A. y  e.  ( Clsd `  K
) ( `' F " y )  e.  (
Clsd `  J )
)
54adantl 467 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. y  e.  ( Clsd `  K
) ( `' F " y )  e.  (
Clsd `  J )
)
62, 5jca 534 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
7 simprl 762 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  ->  F : X --> Y )
8 toponuni 19928 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
98ad3antrrr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  X  =  U. J
)
10 simplrl 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  F : X --> Y )
11 fimacnv 6023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X --> Y  -> 
( `' F " Y )  =  X )
1211eqcomd 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X --> Y  ->  X  =  ( `' F " Y ) )
1310, 12syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  X  =  ( `' F " Y ) )
149, 13eqtr3d 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  U. J  =  ( `' F " Y ) )
1514difeq1d 3582 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( U. J  \ 
( `' F "
x ) )  =  ( ( `' F " Y )  \  ( `' F " x ) ) )
16 ffun 5744 . . . . . . . 8  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
17 funcnvcnv 5655 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
18 imadif 5672 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( Y 
\  x ) )  =  ( ( `' F " Y ) 
\  ( `' F " x ) ) )
1910, 16, 17, 184syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' F "
( Y  \  x
) )  =  ( ( `' F " Y )  \  ( `' F " x ) ) )
2015, 19eqtr4d 2466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( U. J  \ 
( `' F "
x ) )  =  ( `' F "
( Y  \  x
) ) )
21 toponuni 19928 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
2221ad3antlr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  Y  =  U. K
)
2322difeq1d 3582 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( Y  \  x
)  =  ( U. K  \  x ) )
24 topontop 19927 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
2524ad3antlr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  K  e.  Top )
26 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  U. K  =  U. K
2726opncld 20034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Top  /\  x  e.  K )  ->  ( U. K  \  x )  e.  (
Clsd `  K )
)
2825, 27sylancom 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( U. K  \  x )  e.  (
Clsd `  K )
)
2923, 28eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( Y  \  x
)  e.  ( Clsd `  K ) )
30 simplrr 769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  A. y  e.  (
Clsd `  K )
( `' F "
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
31 imaeq2 5179 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Y  \  x )  ->  ( `' F " y )  =  ( `' F " ( Y  \  x
) ) )
3231eleq1d 2491 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( Y  \  x )  ->  (
( `' F "
y )  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( `' F " ( Y 
\  x ) )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
3332rspcv 3178 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  \  x )  e.  ( Clsd `  K
)  ->  ( A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( `' F " ( Y  \  x ) )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
3429, 30, 33sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' F "
( Y  \  x
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
3520, 34eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( U. J  \ 
( `' F "
x ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
36 topontop 19927 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
3736ad3antrrr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  J  e.  Top )
38 cnvimass 5203 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
39 fdm 5746 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
4010, 39syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  dom  F  =  X )
4138, 40syl5sseq 3512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' F "
x )  C_  X
)
4241, 9sseqtrd 3500 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' F "
x )  C_  U. J
)
43 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
4443isopn2 20033 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( `' F " x ) 
C_  U. J )  -> 
( ( `' F " x )  e.  J  <->  ( U. J  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  J ) ) )
4537, 42, 44syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( ( `' F " x )  e.  J  <->  ( U. J  \  ( `' F " x ) )  e.  ( Clsd `  J ) ) )
4635, 45mpbird 235 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  /\  x  e.  K )  ->  ( `' F "
x )  e.  J
)
4746ralrimiva 2839 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  ->  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J )
48 iscn 20237 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
4948adantr 466 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  -> 
( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J
) ) )
507, 47, 49mpbir2and 930 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K ) ( `' F " y )  e.  ( Clsd `  J
) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
516, 50impbida 840 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  ( Clsd `  K
) ( `' F " y )  e.  (
Clsd `  J )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775    \ cdif 3433    C_ wss 3436   U.cuni 4216   `'ccnv 4848   dom cdm 4849   "cima 4852   Fun wfun 5591   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   Topctop 19903  TopOnctopon 19904   Clsdccld 20017    Cn ccn 20226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-map 7478  df-top 19907  df-topon 19909  df-cld 20020  df-cn 20229
This theorem is referenced by:  cncls2  20275  paste  20296  cmphaushmeo  20801  ubthlem1  26497  ubthlem2  26498
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