Theorem iscn 9034

Description: The predicate "F is a continuous function from topology J to topology K." Definition of continuous function in [Munkres] p. 102.

Hypotheses

Ref	Expression
iscn.1	|- X = U.J
iscn.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
iscn	|- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Cn K) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J)))

Distinct variable groups:   y,F   y,J   y,K   y,X   y,Y

Proof of Theorem iscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn.1	. . . 4 |- X = U.J
2		iscn.2	. . . 4 |- Y = U.K
3	1, 2	cnfval 9032	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J Cn K) = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J})
4	3	eleq2d 1964	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Cn K) <-> F e. {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J}))
5		elmapg 5392	. . . . . 6 |- ((Y e. _V /\ X e. _V) -> (F e. (Y ^m X) <-> F:X-->Y))
6		uniexg 3795	. . . . . . 7 |- (K e. Top -> U.K e. _V)
7	6, 2	syl5eqel 1975	. . . . . 6 |- (K e. Top -> Y e. _V)
8		uniexg 3795	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
9	8, 1	syl5eqel 1975	. . . . . 6 |- (J e. Top -> X e. _V)
10	5, 7, 9	syl2an 503	. . . . 5 |- ((K e. Top /\ J e. Top) -> (F e. (Y ^m X) <-> F:X-->Y))
11	10	ancoms 484	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (Y ^m X) <-> F:X-->Y))
12	11	anbi1d 679	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> ((F e. (Y ^m X) /\ A.y e. K (`'F"y) e. J) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J)))
13		cnveq 4135	. . . . . . 7 |- (f = F -> `'f = `'F)
14	13	imaeq1d 4263	. . . . . 6 |- (f = F -> (`'f"y) = (`'F"y))
15	14	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (f = F -> ((`'f"y) e. J <-> (`'F"y) e. J))
16	15	ralbidv 2123	. . . 4 |- (f = F -> (A.y e. K (`'f"y) e. J <-> A.y e. K (`'F"y) e. J))
17	16	elrab 2414	. . 3 |- (F e. {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J} <-> (F e. (Y ^m X) /\ A.y e. K (`'F"y) e. J))
18	12, 17	syl5bb 591	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J} <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J)))
19	4, 18	bitrd 587	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Cn K) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. K (`'F"y) e. J)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  {crab 2108  _Vcvv 2292  U.cuni 3177  `'ccnv 3985  "cima 3989  -->wf 3994  (class class class)co 4884   ^m cmap 5381  Topctop 8857   Cn ccn 9028

This theorem is referenced by:  cnf 9038  idcn 9042  cnima 9044  cnco 9045  iscncl 9047  cnsscnp 9049  cncnp 9055  cnconst 9057  tx1cn 10223  tx2cn 10224  uptx 10226  hmeobc 10239  cnrsfin 14868  cnrscoa 14869  mapdiscnlem 14870  mapudiscn 14872  intcont 14914  cnntr 15420  cnsubsp 15426  cnsubsp2 15427  cnimass 15888  cnres 15889  cnresima 15891  cnss 15892  hmeocn 15897

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-cn 9030

Copyright terms: Public domain