MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscn Structured version   Unicode version

Theorem iscn 19502
Description: The predicate " F is a continuous function from topology  J to topology  K." Definition of continuous function in [Munkres] p. 102. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscn  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
Distinct variable groups:    y, J    y, K    y, X    y, F    y, Y

Proof of Theorem iscn
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfval 19500 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  Cn  K )  =  {
f  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J }
)
21eleq2d 2537 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J }
) )
3 cnveq 5174 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
43imaeq1d 5334 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f " y
)  =  ( `' F " y ) )
54eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( `' f "
y )  e.  J  <->  ( `' F " y )  e.  J ) )
65ralbidv 2903 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J  <->  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) )
76elrab 3261 . . 3  |-  ( F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. y  e.  K  ( `' f " y )  e.  J }  <->  ( F  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) )
8 toponmax 19196 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
9 toponmax 19196 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
10 elmapg 7430 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  K  /\  X  e.  J )  ->  ( F  e.  ( Y  ^m  X )  <-> 
F : X --> Y ) )
118, 9, 10syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( Y  ^m  X
)  <->  F : X --> Y ) )
1211anbi1d 704 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F  e.  ( Y  ^m  X )  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
137, 12syl5bb 257 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  { f  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. y  e.  K  ( `' f
" y )  e.  J }  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
142, 13bitrd 253 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   `'ccnv 4998   "cima 5002   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417  TopOnctopon 19162    Cn ccn 19491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-map 7419  df-top 19166  df-topon 19169  df-cn 19494
This theorem is referenced by:  iscn2  19505  cnf2  19516  tgcn  19519  ssidcn  19522  iscncl  19536  cnntr  19542  cnss1  19543  cnss2  19544  cncnp  19547  cnrest  19552  cnrest2  19553  cndis  19558  cnindis  19559  kgencn  19792  kgencn3  19794  tx1cn  19845  tx2cn  19846  txdis1cn  19871  qtopid  19941  qtopcn  19950  qtopf1  20052  divstgplem  20354  ucncn  20523  cvmlift2lem9a  28388  rfcnpre1  30972  0cnf  31215
  Copyright terms: Public domain W3C validator