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Theorem iscmet3lem2 22340
 Description: Lemma for iscmet3 22341. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1
iscmet3.2
iscmet3.3
iscmet3.4
iscmet3.6
iscmet3.9
iscmet3.10
iscmet3.7
iscmet3.8
iscmet3.5
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem2
Distinct variable groups:   ,,,,   ,   ,,,,   ,,   ,,   ,,,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem iscmet3lem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.5 . . 3
2 eldmg 5035 . . . 4
32ibi 249 . . 3
41, 3syl 17 . 2
5 iscmet3.4 . . . . . . 7
6 metxmet 21427 . . . . . . 7
75, 6syl 17 . . . . . 6
8 iscmet3.2 . . . . . . 7
98mopntopon 21532 . . . . . 6 TopOn
107, 9syl 17 . . . . 5 TopOn
11 lmcl 20390 . . . . 5 TopOn
1210, 11sylan 479 . . . 4
137adantr 472 . . . . . . 7
148mopni2 21586 . . . . . . . 8
15143expia 1233 . . . . . . 7
1613, 15sylan 479 . . . . . 6
17 iscmet3.7 . . . . . . . . 9
1817ad3antrrr 744 . . . . . . . 8
19 iscmet3.3 . . . . . . . . . . . 12
2019ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
21 rphalfcl 11350 . . . . . . . . . . . 12
2221adantl 473 . . . . . . . . . . 11
23 iscmet3.1 . . . . . . . . . . . 12
2423iscmet3lem3 22338 . . . . . . . . . . 11
2520, 22, 24syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
2613adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
2712adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
28 blcntr 21506 . . . . . . . . . . . 12
2926, 27, 22, 28syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
30 simplr 770 . . . . . . . . . . 11
3122rpxrd 11365 . . . . . . . . . . . 12
328blopn 21593 . . . . . . . . . . . 12
3326, 27, 31, 32syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
3423, 29, 20, 30, 33lmcvg 20355 . . . . . . . . . 10
3523rexanuz2 13489 . . . . . . . . . . 11
3623r19.2uz 13491 . . . . . . . . . . . 12
3717ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14
38 iscmet3.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 eluzelz 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4140, 23eleq2s 2567 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . 15
43 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . 15
4439, 42, 43syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
45 rpxr 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
47 blssm 21511 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4826, 27, 46, 47syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
5041adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
51 1rp 11329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
52 rphalfcl 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
54 rpexpcl 12329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5553, 54mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5756rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5822adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5958rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
60 ltle 9740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6157, 59, 60syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
63 eluzfz2 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6463, 23eleq2s 2567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6564adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
66 iscmet3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6766r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
68 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6968eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7069rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7165, 67, 70sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7271adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
73 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
74 iscmet3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7574ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7641ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
77 rsp 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7875, 76, 77sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
79 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8079breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
81 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8281breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8380, 82rspc2va 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8472, 73, 78, 83syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
857ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8641, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8786rpxrd 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8887ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
89 iscmet3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9089ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9190adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9217adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9338, 41, 43syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
94 filelss 20945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9592, 93, 94syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9695sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
97 elbl2 21483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9885, 88, 91, 96, 97syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9984, 98mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10099ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
101100ssrdv 3424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10262, 101sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10326adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10489ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
105104ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10656rpxrd 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10731adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108 ssbl 21516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1091083expia 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
110103, 105, 106, 107, 109syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111 sstr 3426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
112102, 110, 111syl6an 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11361, 112syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114113adantrd 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115114impr 631 . . . . . . . . . . . . . . 15
11627adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117 blcom 21487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
118103, 107, 116, 105, 117syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
120119ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
121 blhalf 21498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
122121expr 626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
123103, 105, 120, 122syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
124118, 123sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125124adantld 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126125impr 631 . . . . . . . . . . . . . . 15
127115, 126sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . 14
128 filss 20946 . . . . . . . . . . . . . 14
12937, 44, 49, 127, 128syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . . 13
130129rexlimdvaa 2872 . . . . . . . . . . . 12
13136, 130syl5 32 . . . . . . . . . . 11
13235, 131syl5bir 226 . . . . . . . . . 10
13325, 34, 132mp2and 693 . . . . . . . . 9
134133ad2ant2r 761 . . . . . . . 8
13510adantr 472 . . . . . . . . . 10 TopOn
136 toponss 20021 . . . . . . . . . 10 TopOn
137135, 136sylan 479 . . . . . . . . 9
138137adantr 472 . . . . . . . 8
139 simprr 774 . . . . . . . 8
140 filss 20946 . . . . . . . 8
14118, 134, 138, 139, 140syl13anc 1294 . . . . . . 7
142141rexlimdvaa 2872 . . . . . 6
14316, 142syld 44 . . . . 5
144143ralrimiva 2809 . . . 4
145 flimopn 21068 . . . . . 6 TopOn
14610, 17, 145syl2anc 673 . . . . 5
147146adantr 472 . . . 4
14812, 144, 147mpbir2and 936 . . 3
149 ne0i 3728 . . 3
150148, 149syl 17 . 2
1514, 150exlimddv 1789 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395   cdm 4839  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cr 9556  c1 9558  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cdiv 10291  c2 10681  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cfz 11810  cexp 12310  cxmt 19032  cme 19033  cbl 19034  cmopn 19037  TopOnctopon 19995  clm 20319  cfil 20938   cflim 21027 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-fz 11811  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-ntr 20112  df-nei 20191  df-lm 20322  df-fil 20939  df-flim 21032 This theorem is referenced by:  iscmet3  22341
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