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Theorem iscmet3lem2 21597
Description: Lemma for iscmet3 21598. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iscmet3.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
iscmet3.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iscmet3.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
iscmet3.6  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
iscmet3.9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `
 k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
iscmet3.10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
iscmet3.7  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Fil `  X ) )
iscmet3.8  |-  ( ph  ->  S : ZZ --> G )
iscmet3.5  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem2  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  G
)  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    k, n, u, v, D    k, G    k, F, n, u, v   
k, X, n    k, J, n    S, k, n, u, v    k, Z, n    k, M, n    ph, k, n
Allowed substitution hints:    ph( v, u)    G( v, u, n)    J( v, u)    M( v, u)    X( v, u)    Z( v, u)

Proof of Theorem iscmet3lem2
Dummy variables  j 
r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.5 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
2 eldmg 5184 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  ( ~~> t `  J )  ->  ( F  e.  dom  ( ~~> t `  J )  <->  E. x  F ( ~~> t `  J ) x ) )
32ibi 241 . . 3  |-  ( F  e.  dom  ( ~~> t `  J )  ->  E. x  F ( ~~> t `  J ) x )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  F ( ~~> t `  J ) x )
5 iscmet3.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
6 metxmet 20703 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
8 iscmet3.2 . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
98mopntopon 20808 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
107, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
11 lmcl 19664 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  X )
1210, 11sylan 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  x  e.  X )
137adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
148mopni2 20862 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  J  /\  x  e.  y
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
r )  C_  y
)
15143expia 1197 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  J
)  ->  ( x  e.  y  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
r )  C_  y
) )
1613, 15sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  y  e.  J )  ->  ( x  e.  y  ->  E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )
17 iscmet3.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Fil `  X ) )
1817ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  y  e.  J
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  ->  G  e.  ( Fil `  X ) )
19 iscmet3.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
21 rphalfcl 11248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
2221adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( r  /  2
)  e.  RR+ )
23 iscmet3.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2423iscmet3lem3 21595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( r  /  2
)  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 ) )
2520, 22, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 ) )
2613adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
2712adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  X )
28 blcntr 20782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
2926, 27, 22, 28syl3anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x
( ball `  D )
( r  /  2
) ) )
30 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  F ( ~~> t `  J ) x )
3122rpxrd 11261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( r  /  2
)  e.  RR* )
328blopn 20869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  e.  J )
3326, 27, 31, 32syl3anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  e.  J )
3423, 29, 20, 30, 33lmcvg 19629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) ) )
3523rexanuz2 13156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  ( r  /  2 )  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )
3623r19.2uz 13158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  ->  E. k  e.  Z  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )
3717ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  ->  G  e.  ( Fil `  X ) )
38 iscmet3.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  S : ZZ --> G )
3938ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  ->  S : ZZ --> G )
40 eluzelz 11094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
4140, 23eleq2s 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
4241ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
k  e.  ZZ )
43 ffvelrn 6010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S : ZZ --> G  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S `  k
)  e.  G )
4439, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( S `  k
)  e.  G )
45 rpxr 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
r  e.  RR* )
47 blssm 20787 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  X )
4826, 27, 46, 47syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  D ) r ) 
C_  X )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r ) 
C_  X )
5041adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  k  e.  ZZ )
51 1rp 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  RR+
52 rphalfcl 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
54 rpexpcl 12159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
5553, 54mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
5650, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
1  /  2 ) ^ k )  e.  RR+ )
5756rpred 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
1  /  2 ) ^ k )  e.  RR )
5822adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
5958rpred 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( r  /  2 )  e.  RR )
60 ltle 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR  /\  ( r  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^ k )  < 
( r  /  2
)  ->  ( (
1  /  2 ) ^ k )  <_ 
( r  /  2
) ) )
6157, 59, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  <_  ( r  / 
2 ) ) )
62 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ph )
63 eluzfz2 11698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ( M ... k ) )
6463, 23eleq2s 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ( M ... k
) )
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ( M ... k
) )
66 iscmet3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
6766r19.21bi 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A. n  e.  ( M ... k
) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
68 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  =  k  ->  ( S `  n )  =  ( S `  k ) )
6968eleq2d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  k
)  e.  ( S `
 n )  <->  ( F `  k )  e.  ( S `  k ) ) )
7069rspcv 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  e.  ( M ... k )  ->  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k
) ) )
7165, 67, 70sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k
) )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k
) )
73 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  y  e.  ( S `  k
) )
74 iscmet3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `
 k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
7574ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )
7641ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  k  e.  ZZ )
77 rsp 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
7875, 76, 77sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )
79 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  ( F `  k )  ->  (
u D v )  =  ( ( F `
 k ) D v ) )
8079breq1d 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  ( F `  k )  ->  (
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  ( ( F `  k ) D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
81 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  y  ->  (
( F `  k
) D v )  =  ( ( F `
 k ) D y ) )
8281breq1d 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  y  ->  (
( ( F `  k ) D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  ( ( F `  k ) D y )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
8380, 82rspc2va 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( F `  k )  e.  ( S `  k )  /\  y  e.  ( S `  k ) )  /\  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )  ->  ( ( F `  k ) D y )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
8472, 73, 78, 83syl21anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  (
( F `  k
) D y )  <  ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )
857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
8641, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
8786rpxrd 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR* )
8887ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR* )
89 iscmet3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
9089ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  X )
9190adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  ( F `  k )  e.  X )
9217adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  G  e.  ( Fil `  X
) )
9338, 41, 43syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( S `  k )  e.  G )
94 filelss 20219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( G  e.  ( Fil `  X )  /\  ( S `  k )  e.  G )  ->  ( S `  k )  C_  X )
9592, 93, 94syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( S `  k )  C_  X )
9695sselda 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  y  e.  X )
97 elbl2 20759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( (
1  /  2 ) ^ k )  e. 
RR* )  /\  (
( F `  k
)  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  <-> 
( ( F `  k ) D y )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) ) )
9885, 88, 91, 96, 97syl22anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  (
y  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D
) ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )  <->  ( ( F `  k ) D y )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
9984, 98mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  y  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( ( 1  /  2 ) ^ k ) ) )
10099ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
y  e.  ( S `
 k )  -> 
y  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D
) ( ( 1  /  2 ) ^
k ) ) ) )
101100ssrdv 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( S `  k )  C_  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( ( 1  /  2 ) ^ k ) ) )
10262, 101sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( S `  k )  C_  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( ( 1  /  2 ) ^
k ) ) )
10326adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
10489ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  F : Z --> X )
105104ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( F `  k )  e.  X
)
10656rpxrd 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
1  /  2 ) ^ k )  e. 
RR* )
10731adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( r  /  2 )  e. 
RR* )
108 ssbl 20792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR*  /\  (
r  /  2 )  e.  RR* )  /\  (
( 1  /  2
) ^ k )  <_  ( r  / 
2 ) )  -> 
( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( ( 1  /  2 ) ^ k ) ) 
C_  ( ( F `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  2
) ) )
1091083expia 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR*  /\  (
r  /  2 )  e.  RR* ) )  -> 
( ( ( 1  /  2 ) ^
k )  <_  (
r  /  2 )  ->  ( ( F `
 k ) (
ball `  D )
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )  C_  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
110103, 105, 106, 107, 109syl22anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  <_  ( r  / 
2 )  ->  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )  C_  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )
111 sstr 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S `  k
)  C_  ( ( F `  k )
( ball `  D )
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )  /\  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )  C_  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  ->  ( S `  k )  C_  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
112102, 110, 111syl6an 545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  <_  ( r  / 
2 )  ->  ( S `  k )  C_  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )
11361, 112syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  ->  ( S `  k )  C_  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )
114113adantrd 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  ( r  /  2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) ) )  -> 
( S `  k
)  C_  ( ( F `  k )
( ball `  D )
( r  /  2
) ) ) )
115114impr 619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( S `  k
)  C_  ( ( F `  k )
( ball `  D )
( r  /  2
) ) )
11627adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  x  e.  X )
117 blcom 20763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( r  /  2 )  e. 
RR* )  /\  (
x  e.  X  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( ( F `
 k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  <-> 
x  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
118103, 107, 116, 105, 117syl22anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  <-> 
x  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
119 rpre 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
120119ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  r  e.  RR )
121 blhalf 20774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  ( r  e.  RR  /\  x  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )  ->  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  C_  ( x ( ball `  D ) r ) )
122121expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  r  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( ( F `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  2
) )  ->  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  C_  ( x ( ball `  D ) r ) ) )
123103, 105, 120, 122syl21anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( x  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) )
124118, 123sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) )
125124adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  ( r  /  2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) ) )  -> 
( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) ) )
126125impr 619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) )
127115, 126sstrd 3496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( S `  k
)  C_  ( x
( ball `  D )
r ) )
128 filss 20220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( S `  k
)  e.  G  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  X  /\  ( S `  k )  C_  ( x ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
x ( ball `  D
) r )  e.  G )
12937, 44, 49, 127, 128syl13anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r )  e.  G )
130129rexlimdvaa 2934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( E. k  e.  Z  ( ( ( 1  /  2 ) ^ k )  < 
( r  /  2
)  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )  ->  ( x (
ball `  D )
r )  e.  G
) )
13136, 130syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( 1  /  2 ) ^
k )  <  (
r  /  2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )  ->  ( x (
ball `  D )
r )  e.  G
) )
13235, 131syl5bir 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  ( r  /  2 )  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  ->  ( x
( ball `  D )
r )  e.  G
) )
13325, 34, 132mp2and 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  D ) r )  e.  G )
134133ad2ant2r 746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  y  e.  J
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r )  e.  G )
13510adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
136 toponss 19297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  y  C_  X )
137135, 136sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  y  e.  J )  ->  y  C_  X )
138137adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  y  e.  J
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  -> 
y  C_  X )
139 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  y  e.  J
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y )
140 filss 20220 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( x ( ball `  D ) r )  e.  G  /\  y  C_  X  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  -> 
y  e.  G )
14118, 134, 138, 139, 140syl13anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  y  e.  J
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  -> 
y  e.  G )
142141rexlimdvaa 2934 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y  ->  y  e.  G ) )
14316, 142syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  y  e.  J )  ->  ( x  e.  y  ->  y  e.  G
) )
144143ralrimiva 2855 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  G ) )
145 flimopn 20342 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  G )  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  G ) ) ) )
14610, 17, 145syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( J  fLim  G )  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  -> 
y  e.  G ) ) ) )
147146adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  G )  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  G ) ) ) )
14812, 144, 147mpbir2and 920 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  x  e.  ( J  fLim  G
) )
149 ne0i 3773 . . 3  |-  ( x  e.  ( J  fLim  G )  ->  ( J  fLim  G )  =/=  (/) )
150148, 149syl 16 . 2  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  ( J  fLim  G )  =/=  (/) )
1514, 150exlimddv 1711 1  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  G
)  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381   E.wex 1597    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792    C_ wss 3458   (/)c0 3767   class class class wbr 4433   dom cdm 4985   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   RRcr 9489   1c1 9491   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627    / cdiv 10207   2c2 10586   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11085   RR+crp 11224   ...cfz 11676   ^cexp 12140   *Metcxmt 18271   Metcme 18272   ballcbl 18273   MetOpencmopn 18276  TopOnctopon 19262   ~~> tclm 19593   Filcfil 20212    fLim cflim 20301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-fz 11677  df-fl 11903  df-seq 12082  df-exp 12141  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-topgen 14713  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-ntr 19387  df-nei 19465  df-lm 19596  df-fil 20213  df-flim 20306
This theorem is referenced by:  iscmet3  21598
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