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Theorem iscmet3lem2 19198
Description: Lemma for iscmet3 19199. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iscmet3.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
iscmet3.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iscmet3.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
iscmet3.6  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
iscmet3.9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `
 k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
iscmet3.10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
iscmet3.7  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Fil `  X ) )
iscmet3.8  |-  ( ph  ->  S : ZZ --> G )
iscmet3.5  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem2  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  G
)  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    k, n, u, v, D    k, G    k, F, n, u, v   
k, X, n    k, J, n    S, k, n, u, v    k, Z, n    k, M, n    ph, k, n
Allowed substitution hints:    ph( v, u)    G( v, u, n)    J( v, u)    M( v, u)    X( v, u)    Z( v, u)

Proof of Theorem iscmet3lem2
Dummy variables  j 
r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.5 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
2 eldmg 5024 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  ( ~~> t `  J )  ->  ( F  e.  dom  ( ~~> t `  J )  <->  E. x  F ( ~~> t `  J ) x ) )
32ibi 233 . . 3  |-  ( F  e.  dom  ( ~~> t `  J )  ->  E. x  F ( ~~> t `  J ) x )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  F ( ~~> t `  J ) x )
5 iscmet3.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
6 metxmet 18317 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
8 iscmet3.2 . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
98mopntopon 18422 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
107, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
11 lmcl 17315 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  X )
1210, 11sylan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  x  e.  X )
137adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
148mopni2 18476 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  J  /\  x  e.  y
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
r )  C_  y
)
15143expia 1155 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  J
)  ->  ( x  e.  y  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
r )  C_  y
) )
1613, 15sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  y  e.  J )  ->  ( x  e.  y  ->  E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )
17 iscmet3.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Fil `  X ) )
1817ad3antrrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  y  e.  J
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  ->  G  e.  ( Fil `  X ) )
19 iscmet3.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2019ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
21 rphalfcl 10592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
2221adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( r  /  2
)  e.  RR+ )
23 iscmet3.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2423iscmet3lem3 19196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( r  /  2
)  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 ) )
2520, 22, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 ) )
2613adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
2712adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  X )
28 blcntr 18396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
2926, 27, 22, 28syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x
( ball `  D )
( r  /  2
) ) )
30 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  F ( ~~> t `  J ) x )
3122rpxrd 10605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( r  /  2
)  e.  RR* )
328blopn 18483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  e.  J )
3326, 27, 31, 32syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  e.  J )
3423, 29, 20, 30, 33lmcvg 17280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) ) )
3523rexanuz2 12108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  <->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  ( r  /  2 )  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )
3623r19.2uz 12110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  ->  E. k  e.  Z  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )
3717ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  ->  G  e.  ( Fil `  X ) )
38 iscmet3.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  S : ZZ --> G )
3938ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  ->  S : ZZ --> G )
40 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
4140, 23eleq2s 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
4241ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
k  e.  ZZ )
43 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S : ZZ --> G  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S `  k
)  e.  G )
4439, 42, 43syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( S `  k
)  e.  G )
45 rpxr 10575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
4645adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
r  e.  RR* )
47 blssm 18401 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  X )
4826, 27, 46, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  D ) r ) 
C_  X )
4948adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r ) 
C_  X )
5041adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  k  e.  ZZ )
51 1rp 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  RR+
52 rphalfcl 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
5351, 52ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
54 rpexpcl 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
5553, 54mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
5650, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
1  /  2 ) ^ k )  e.  RR+ )
5756rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
1  /  2 ) ^ k )  e.  RR )
5822adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
5958rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( r  /  2 )  e.  RR )
60 ltle 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR  /\  ( r  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^ k )  < 
( r  /  2
)  ->  ( (
1  /  2 ) ^ k )  <_ 
( r  /  2
) ) )
6157, 59, 60syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  <_  ( r  / 
2 ) ) )
62 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ph )
63 eluzfz2 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ( M ... k ) )
6463, 23eleq2s 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ( M ... k
) )
6564adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  ( M ... k
) )
66 iscmet3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
6766r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A. n  e.  ( M ... k
) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
68 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  =  k  ->  ( S `  n )  =  ( S `  k ) )
6968eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  k
)  e.  ( S `
 n )  <->  ( F `  k )  e.  ( S `  k ) ) )
7069rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  e.  ( M ... k )  ->  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k
) ) )
7165, 67, 70sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k
) )
7271adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k
) )
73 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  y  e.  ( S `  k
) )
74 iscmet3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `
 k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
7574ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )
7641ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  k  e.  ZZ )
77 rsp 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
7875, 76, 77sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )
79 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  ( F `  k )  ->  (
u D v )  =  ( ( F `
 k ) D v ) )
8079breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  ( F `  k )  ->  (
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  ( ( F `  k ) D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
81 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  y  ->  (
( F `  k
) D v )  =  ( ( F `
 k ) D y ) )
8281breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  y  ->  (
( ( F `  k ) D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  ( ( F `  k ) D y )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
8380, 82rspc2va 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( F `  k )  e.  ( S `  k )  /\  y  e.  ( S `  k ) )  /\  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )  ->  ( ( F `  k ) D y )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
8472, 73, 78, 83syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  (
( F `  k
) D y )  <  ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )
857ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
8641, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
8786rpxrd 10605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR* )
8887ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR* )
89 iscmet3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
9089ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  X )
9190adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  ( F `  k )  e.  X )
9217adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  G  e.  ( Fil `  X
) )
9338, 41, 43syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( S `  k )  e.  G )
94 filelss 17837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( G  e.  ( Fil `  X )  /\  ( S `  k )  e.  G )  ->  ( S `  k )  C_  X )
9592, 93, 94syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( S `  k )  C_  X )
9695sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  y  e.  X )
97 elbl2 18373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( (
1  /  2 ) ^ k )  e. 
RR* )  /\  (
( F `  k
)  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  <-> 
( ( F `  k ) D y )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) ) )
9885, 88, 91, 96, 97syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  (
y  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D
) ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )  <->  ( ( F `  k ) D y )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
9984, 98mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  y  e.  ( S `  k
) )  ->  y  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( ( 1  /  2 ) ^ k ) ) )
10099ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
y  e.  ( S `
 k )  -> 
y  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D
) ( ( 1  /  2 ) ^
k ) ) ) )
101100ssrdv 3314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( S `  k )  C_  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( ( 1  /  2 ) ^ k ) ) )
10262, 101sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( S `  k )  C_  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( ( 1  /  2 ) ^
k ) ) )
10326adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
10489ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  ->  F : Z --> X )
105104ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( F `  k )  e.  X
)
10656rpxrd 10605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
1  /  2 ) ^ k )  e. 
RR* )
10731adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( r  /  2 )  e. 
RR* )
108 ssbl 18406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR*  /\  (
r  /  2 )  e.  RR* )  /\  (
( 1  /  2
) ^ k )  <_  ( r  / 
2 ) )  -> 
( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( ( 1  /  2 ) ^ k ) ) 
C_  ( ( F `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  2
) ) )
1091083expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR*  /\  (
r  /  2 )  e.  RR* ) )  -> 
( ( ( 1  /  2 ) ^
k )  <_  (
r  /  2 )  ->  ( ( F `
 k ) (
ball `  D )
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )  C_  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
110103, 105, 106, 107, 109syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  <_  ( r  / 
2 )  ->  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )  C_  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )
111 sstr 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S `  k
)  C_  ( ( F `  k )
( ball `  D )
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )  /\  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )  C_  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  ->  ( S `  k )  C_  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
112102, 110, 111ee12an 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  <_  ( r  / 
2 )  ->  ( S `  k )  C_  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )
11361, 112syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  ->  ( S `  k )  C_  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )
114113adantrd 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  ( r  /  2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) ) )  -> 
( S `  k
)  C_  ( ( F `  k )
( ball `  D )
( r  /  2
) ) ) )
115114impr 603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( S `  k
)  C_  ( ( F `  k )
( ball `  D )
( r  /  2
) ) )
11627adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  x  e.  X )
117 blcom 18377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( r  /  2 )  e. 
RR* )  /\  (
x  e.  X  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( ( F `
 k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  <-> 
x  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
118103, 107, 116, 105, 117syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  <-> 
x  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
119 rpre 10574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
120119ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  r  e.  RR )
121 blhalf 18388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  ( r  e.  RR  /\  x  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) )  ->  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  C_  ( x ( ball `  D ) r ) )
122121expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  r  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( ( F `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  2
) )  ->  (
( F `  k
) ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  C_  ( x ( ball `  D ) r ) ) )
123103, 105, 120, 122syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( x  e.  ( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) )
124118, 123sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 k ) (
ball `  D )
( r  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) )
125124adantld 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  ( r  /  2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) ) )  -> 
( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) ) )
126125impr 603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( ( F `  k ) ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) )
127115, 126sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( S `  k
)  C_  ( x
( ball `  D )
r ) )
128 filss 17838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( S `  k
)  e.  G  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  X  /\  ( S `  k )  C_  ( x ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
x ( ball `  D
) r )  e.  G )
12937, 44, 49, 127, 128syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( k  e.  Z  /\  ( ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  ( r  / 
2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) ) ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r )  e.  G )
130129rexlimdvaa 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( E. k  e.  Z  ( ( ( 1  /  2 ) ^ k )  < 
( r  /  2
)  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )  ->  ( x (
ball `  D )
r )  e.  G
) )
13136, 130syl5 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( 1  /  2 ) ^
k )  <  (
r  /  2 )  /\  ( F `  k )  e.  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )  ->  ( x (
ball `  D )
r )  e.  G
) )
13235, 131syl5bir 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  ( r  /  2 )  /\  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )  ->  ( x
( ball `  D )
r )  e.  G
) )
13325, 34, 132mp2and 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  D ) r )  e.  G )
134133ad2ant2r 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  y  e.  J
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r )  e.  G )
13510adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
136 toponss 16949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  y  C_  X )
137135, 136sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  y  e.  J )  ->  y  C_  X )
138137adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  y  e.  J
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  -> 
y  C_  X )
139 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  y  e.  J
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y )
140 filss 17838 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( x ( ball `  D ) r )  e.  G  /\  y  C_  X  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  -> 
y  e.  G )
14118, 134, 138, 139, 140syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> t `  J ) x )  /\  y  e.  J
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  -> 
y  e.  G )
142141rexlimdvaa 2791 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. r  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y  ->  y  e.  G ) )
14316, 142syld 42 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> t `  J
) x )  /\  y  e.  J )  ->  ( x  e.  y  ->  y  e.  G
) )
144143ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  G ) )
145 flimopn 17960 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  G  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  G )  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  G ) ) ) )
14610, 17, 145syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( J  fLim  G )  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  -> 
y  e.  G ) ) ) )
147146adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  G )  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  G ) ) ) )
14812, 144, 147mpbir2and 889 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  x  e.  ( J  fLim  G
) )
149 ne0i 3594 . . 3  |-  ( x  e.  ( J  fLim  G )  ->  ( J  fLim  G )  =/=  (/) )
150148, 149syl 16 . 2  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> t `  J )
x )  ->  ( J  fLim  G )  =/=  (/) )
1514, 150exlimddv 1645 1  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  G
)  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   1c1 8947   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   2c2 10005   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999   ^cexp 11337   * Metcxmt 16641   Metcme 16642   ballcbl 16643   MetOpencmopn 16646  TopOnctopon 16914   ~~> tclm 17244   Filcfil 17830    fLim cflim 17919
This theorem is referenced by:  iscmet3  19199
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-fz 11000  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-ntr 17039  df-nei 17117  df-lm 17247  df-fil 17831  df-flim 17924
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