Theorem iscmet3lem1 22339

Description: Lemma for iscmet3 22341. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmet3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
iscmet3.2	|- J = ( MetOpen ` D )
iscmet3.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
iscmet3.4	|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
iscmet3.6	|- ( ph -> F : Z --> X )
iscmet3.9	|- ( ph -> A. k e. ZZ A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
iscmet3.10	|- ( ph -> A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) )

Assertion

Ref	Expression
iscmet3lem1	|- ( ph -> F e. ( Cau ` D ) )

Distinct variable groups:   k, n, u, v, D   k, F, n, u, v   k, X, n   k, J, n   S, k, n, u, v   k, Z, n   k, M, n   ph, k, n

Allowed substitution hints:   ph( v, u)   J( v, u)   M( v, u)   X( v, u)   Z( v, u)

Proof of Theorem iscmet3lem1

Dummy variables j r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscmet3.3	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		iscmet3.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3	2	iscmet3lem3 22338	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ r e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r )
4	1, 3	sylan 479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r )
5	2	r19.2uz 13491	. . . . 5 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r -> E. k e. Z ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r )
6	4, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. k e. Z ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r )
7		simpl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> k e. Z )
8	7	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> k e. Z )
9	8, 2	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
10		eluzfz2 11833	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ( M ... k ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> k e. ( M ... k ) )
12		iscmet3.10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) )
13	12	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) )
14		rsp 2773	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) -> ( k e. Z -> A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) ) )
15	13, 8, 14	sylc 61	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) )
16		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( S ` n ) = ( S ` k ) )
17	16	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( ( F ` k ) e. ( S ` n ) <-> ( F ` k ) e. ( S ` k ) ) )
18	17	rspcv 3132	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... k ) -> ( A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) -> ( F ` k ) e. ( S ` k ) ) )
19	11, 15, 18	sylc 61	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> ( F ` k ) e. ( S ` k ) )
20		simprr 774	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> j e. ( ZZ>= ` k ) )
21		elfzuzb 11820	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M ... j ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) )
22	9, 20, 21	sylanbrc 677	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> k e. ( M ... j ) )
23	2	uztrn2 11200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> j e. Z )
24	23	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> j e. Z )
25		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( M ... k ) = ( M ... j ) )
26		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
27	26	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) e. ( S ` n ) <-> ( F ` j ) e. ( S ` n ) ) )
28	25, 27	raleqbidv 2987	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) <-> A. n e. ( M ... j ) ( F ` j ) e. ( S ` n ) ) )
29	28	rspcv 3132	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. Z -> ( A. k e. Z A. n e. ( M ... k ) ( F ` k ) e. ( S ` n ) -> A. n e. ( M ... j ) ( F ` j ) e. ( S ` n ) ) )
30	24, 13, 29	sylc 61	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> A. n e. ( M ... j ) ( F ` j ) e. ( S ` n ) )
31	16	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( ( F ` j ) e. ( S ` n ) <-> ( F ` j ) e. ( S ` k ) ) )
32	31	rspcv 3132	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... j ) -> ( A. n e. ( M ... j ) ( F ` j ) e. ( S ` n ) -> ( F ` j ) e. ( S ` k ) ) )
33	22, 30, 32	sylc 61	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> ( F ` j ) e. ( S ` k ) )
34		iscmet3.9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. ZZ A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
35	34	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> A. k e. ZZ A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
36		eluzelz 11192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
37	36, 2	eleq2s 2567	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
38	37	ad2antrl 742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> k e. ZZ )
39		rsp 2773	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. ZZ A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) -> ( k e. ZZ -> A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
40	35, 38, 39	sylc 61	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
41		oveq1 6315	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( F ` k ) -> ( u D v ) = ( ( F ` k ) D v ) )
42	41	breq1d 4405	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( F ` k ) -> ( ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) <-> ( ( F ` k ) D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
43		oveq2 6316	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( F ` j ) -> ( ( F ` k ) D v ) = ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) )
44	43	breq1d 4405	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( F ` j ) -> ( ( ( F ` k ) D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) <-> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
45	42, 44	rspc2va 3148	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F ` k ) e. ( S ` k ) /\ ( F ` j ) e. ( S ` k ) ) /\ A. u e. ( S ` k ) A. v e. ( S ` k ) ( u D v ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
46	19, 33, 40, 45	syl21anc 1291	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
47		iscmet3.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
48	47	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
49		iscmet3.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : Z --> X )
50	49	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> F : Z --> X )
51		ffvelrn 6035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : Z --> X /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. X )
52	50, 7, 51	syl2an 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> ( F ` k ) e. X )
53		ffvelrn 6035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : Z --> X /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. X )
54	50, 23, 53	syl2an 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> ( F ` j ) e. X )
55		metcl 21425	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( F ` j ) e. X ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) e. RR )
56	48, 52, 54, 55	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) e. RR )
57		1rp 11329	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
58		rphalfcl 11350	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. RR+ -> ( 1 / 2 ) e. RR+ )
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 2 ) e. RR+
60		rpexpcl 12329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR+ )
61	59, 38, 60	sylancr 676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR+ )
62	61	rpred 11364	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR )
63		rpre 11331	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
64	63	ad2antlr 741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> r e. RR )
65		lttr 9728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) e. RR /\ ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR /\ r e. RR ) -> ( ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) /\ ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < r ) )
66	56, 62, 64, 65	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < ( ( 1 / 2 ) ^ k ) /\ ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < r ) )
67	46, 66	mpand 689	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < r ) )
68	67	anassrs 660	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < r ) )
69	68	ralrimdva 2812	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r -> A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < r ) )
70	69	reximdva 2858	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( E. k e. Z ( ( 1 / 2 ) ^ k ) < r -> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < r ) )
71	6, 70	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < r )
72	71	ralrimiva 2809	. 2 |- ( ph -> A. r e. RR+ E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < r )
73		metxmet 21427	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
74	47, 73	syl 17	. . 3 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
75		eqidd 2472	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) = ( F ` j ) )
76		eqidd 2472	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
77	2, 74, 1, 75, 76, 49	iscauf 22328	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> A. r e. RR+ E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < r ) )
78	72, 77	mpbird 240	1 |- ( ph -> F e. ( Cau ` D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   class class class wbr 4395   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   1c1 9558   < clt 9693   / cdiv 10291   2c2 10681   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810   ^cexp 12310   *Metcxmt 19032   Metcme 19033   MetOpencmopn 19037   Caucca 22301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-fz 11811  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-cau 22304

This theorem is referenced by:  iscmet3  22341