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Theorem iscmet3lem1 22339
Description: Lemma for iscmet3 22341. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iscmet3.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
iscmet3.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iscmet3.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
iscmet3.6  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
iscmet3.9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `
 k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
iscmet3.10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
Assertion
Ref Expression
iscmet3lem1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
Distinct variable groups:    k, n, u, v, D    k, F, n, u, v    k, X, n    k, J, n    S, k, n, u, v   
k, Z, n    k, M, n    ph, k, n
Allowed substitution hints:    ph( v, u)    J( v, u)    M( v, u)    X( v, u)    Z( v, u)

Proof of Theorem iscmet3lem1
Dummy variables  j 
r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 iscmet3.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
32iscmet3lem3 22338 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( 1  /  2
) ^ k )  <  r )
41, 3sylan 479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  r )
52r19.2uz 13491 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( 1  /  2 ) ^ k )  < 
r  ->  E. k  e.  Z  ( (
1  /  2 ) ^ k )  < 
r )
64, 5syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. k  e.  Z  ( (
1  /  2 ) ^ k )  < 
r )
7 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) )  -> 
k  e.  Z )
87adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  k  e.  Z
)
98, 2syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )
10 eluzfz2 11833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ( M ... k ) )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  k  e.  ( M ... k ) )
12 iscmet3.10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
1312ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) )
14 rsp 2773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `
 k )  e.  ( S `  n
)  ->  ( k  e.  Z  ->  A. n  e.  ( M ... k
) ( F `  k )  e.  ( S `  n ) ) )
1513, 8, 14sylc 61 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k
)  e.  ( S `
 n ) )
16 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( S `  n )  =  ( S `  k ) )
1716eleq2d 2534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  k
)  e.  ( S `
 n )  <->  ( F `  k )  e.  ( S `  k ) ) )
1817rspcv 3132 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... k )  ->  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k
) ) )
1911, 15, 18sylc 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ( S `  k ) )
20 simprr 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )
21 elfzuzb 11820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M ... j )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  k ) ) )
229, 20, 21sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  k  e.  ( M ... j ) )
232uztrn2 11200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) )  -> 
j  e.  Z )
2423adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  j  e.  Z
)
25 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( M ... k )  =  ( M ... j
) )
26 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
2726eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  ( S `
 n )  <->  ( F `  j )  e.  ( S `  n ) ) )
2825, 27raleqbidv 2987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n )  <->  A. n  e.  ( M ... j
) ( F `  j )  e.  ( S `  n ) ) )
2928rspcv 3132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( F `  k )  e.  ( S `  n )  ->  A. n  e.  ( M ... j
) ( F `  j )  e.  ( S `  n ) ) )
3024, 13, 29sylc 61 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  A. n  e.  ( M ... j ) ( F `  j
)  e.  ( S `
 n ) )
3116eleq2d 2534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  j
)  e.  ( S `
 n )  <->  ( F `  j )  e.  ( S `  k ) ) )
3231rspcv 3132 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... j )  ->  ( A. n  e.  ( M ... j ) ( F `  j )  e.  ( S `  n )  ->  ( F `  j )  e.  ( S `  k
) ) )
3322, 30, 32sylc 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  ( S `  k ) )
34 iscmet3.9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `
 k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
3534ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `
 k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
36 eluzelz 11192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
3736, 2eleq2s 2567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
3837ad2antrl 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
39 rsp 2773 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
4035, 38, 39sylc 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  A. u  e.  ( S `  k ) A. v  e.  ( S `  k ) ( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
41 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( F `  k )  ->  (
u D v )  =  ( ( F `
 k ) D v ) )
4241breq1d 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  k )  ->  (
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  ( ( F `  k ) D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
43 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( F `  j )  ->  (
( F `  k
) D v )  =  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )
4443breq1d 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( F `  j )  ->  (
( ( F `  k ) D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
4542, 44rspc2va 3148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  k )  e.  ( S `  k )  /\  ( F `  j )  e.  ( S `  k ) )  /\  A. u  e.  ( S `  k
) A. v  e.  ( S `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
4619, 33, 40, 45syl21anc 1291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )
47 iscmet3.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4847ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
49 iscmet3.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
5049adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  F : Z
--> X )
51 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : Z --> X  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  X )
5250, 7, 51syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
53 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : Z --> X  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j
)  e.  X )
5450, 23, 53syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
)
55 metcl 21425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  j )  e.  X )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  e.  RR )
5648, 52, 54, 55syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  e.  RR )
57 1rp 11329 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
58 rphalfcl 11350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
60 rpexpcl 12329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
6159, 38, 60sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  e.  RR+ )
6261rpred 11364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  e.  RR )
63 rpre 11331 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
6463ad2antlr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  r  e.  RR )
65 lttr 9728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  e.  RR  /\  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  /\  ( (
1  /  2 ) ^ k )  < 
r )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  r ) )
6656, 62, 64, 65syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  /\  (
( 1  /  2
) ^ k )  <  r )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  r ) )
6746, 66mpand 689 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^ k )  < 
r  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
r ) )
6867anassrs 660 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  k ) )  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^ k )  < 
r  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
r ) )
6968ralrimdva 2812 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  <  r  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
r ) )
7069reximdva 2858 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. k  e.  Z  (
( 1  /  2
) ^ k )  <  r  ->  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  r ) )
716, 70mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  r )
7271ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
r )
73 metxmet 21427 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
7447, 73syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
75 eqidd 2472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  j ) )
76 eqidd 2472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
772, 74, 1, 75, 76, 49iscauf 22328 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  A. r  e.  RR+  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  r ) )
7872, 77mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   class class class wbr 4395   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   1c1 9558    < clt 9693    / cdiv 10291   2c2 10681   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810   ^cexp 12310   *Metcxmt 19032   Metcme 19033   MetOpencmopn 19037   Caucca 22301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-fz 11811  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-cau 22304
This theorem is referenced by:  iscmet3  22341
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