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Theorem iscmet3 21858
Description: The property " D is a complete metric" expressed in terms of functions on  NN (or any other upper integer set). Thus, we only have to look at functions on 
NN, and not all possible Cauchy filters, to determine completeness. (The proof uses countable choice.) (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iscmet3.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
iscmet3.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iscmet3.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Assertion
Ref Expression
iscmet3  |-  ( ph  ->  ( D  e.  (
CMet `  X )  <->  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) ) )
Distinct variable groups:    D, f    f, X    f, J    f, Z    f, M    ph, f

Proof of Theorem iscmet3
Dummy variables  g 
i  j  k  n  s  t  u  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.2 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21cmetcau 21854 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  f  e.  ( Cau `  D
) )  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
32a1d 25 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  f  e.  ( Cau `  D
) )  ->  (
f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )
43ralrimiva 2871 . 2  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
5 iscmet3.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
7 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  g  e.  (CauFil `  D ) )
8 1rp 11249 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
9 rphalfcl 11269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
11 rpexpcl 12188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
1210, 11mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
13 cfili 21833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )  ->  E. t  e.  g  A. u  e.  t  A. v  e.  t  ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
147, 12, 13syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  E. t  e.  g  A. u  e.  t  A. v  e.  t  ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
1514ralrimiva 2871 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  A. k  e.  ZZ  E. t  e.  g  A. u  e.  t  A. v  e.  t  ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )
16 vex 3112 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
17 znnen 13958 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  ~~  NN
18 nnenom 12093 . . . . . . . . 9  |-  NN  ~~  om
1917, 18entri 7588 . . . . . . . 8  |-  ZZ  ~~  om
20 raleq 3054 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( s `  k )  ->  ( A. v  e.  t 
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
2120raleqbi1dv 3062 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( s `  k )  ->  ( A. u  e.  t  A. v  e.  t 
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
2216, 19, 21axcc4 8836 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ZZ  E. t  e.  g  A. u  e.  t  A. v  e.  t  ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  ->  E. s
( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
2315, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  E. s
( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
24 iscmet3.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
26 iscmet3.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2726uzenom 12078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  Z  ~~  om )
28 endom 7561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z 
~~  om  ->  Z  ~<_  om )
2925, 27, 283syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  ->  Z  ~<_  om )
30 dfin5 3479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  _I  `  X )  i^i  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
) )  =  {
x  e.  (  _I 
`  X )  |  x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n ) }
31 fzn0 11725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M ... k )  =/=  (/)  <->  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )
3231biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... k )  =/=  (/) )
3332, 26eleq2s 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  Z  ->  ( M ... k )  =/=  (/) )
34 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  ->  s : ZZ --> g )
35 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( M ... k )  ->  n  e.  ZZ )
36 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( s : ZZ --> g  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( s `  n
)  e.  g )
3734, 35, 36syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  n  e.  ( M ... k ) )  ->  ( s `  n )  e.  g )
38 metxmet 20963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
395, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
41 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g )  -> 
g  e.  (CauFil `  D ) )
42 cfilfil 21832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  g  e.  (CauFil `  D ) )  -> 
g  e.  ( Fil `  X ) )
4340, 41, 42syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  ->  g  e.  ( Fil `  X ) )
44 filelss 20479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  (
s `  n )  e.  g )  ->  (
s `  n )  C_  X )
4543, 44sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  ( s `  n )  e.  g )  ->  ( s `  n )  C_  X
)
4637, 45syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  n  e.  ( M ... k ) )  ->  ( s `  n )  C_  X
)
4746ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  ->  A. n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
)  C_  X )
48 r19.2z 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M ... k
)  =/=  (/)  /\  A. n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n )  C_  X )  ->  E. n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  C_  X
)
4933, 47, 48syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  E. n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  C_  X
)
50 iinss 4383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. n  e.  ( M ... k ) ( s `  n ) 
C_  X  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  C_  X
)
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  C_  X
)
526ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
53 elfvdm 5898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  e.  dom  Met )
54 fvi 5930 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  e.  dom  Met  ->  (  _I  `  X )  =  X )
5552, 53, 543syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  (  _I  `  X )  =  X )
5651, 55sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  C_  (  _I  `  X ) )
57 dfss1 3699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n )  C_  (  _I  `  X )  <-> 
( (  _I  `  X )  i^i  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n ) )  =  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
) )
5856, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (  _I  `  X )  i^i  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n ) )  =  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n ) )
5930, 58syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  { x  e.  (  _I  `  X
)  |  x  e. 
|^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n ) }  =  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n ) )
6043adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  g  e.  ( Fil `  X ) )
6137ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  ->  A. n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
)  e.  g )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  A. n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  e.  g )
6333adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( M ... k )  =/=  (/) )
64 fzfid 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( M ... k )  e.  Fin )
65 iinfi 7895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( s `  n )  e.  g  /\  ( M ... k )  =/=  (/)  /\  ( M ... k )  e.  Fin ) )  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  e.  ( fi `  g ) )
6660, 62, 63, 64, 65syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  e.  ( fi `  g ) )
67 filfi 20486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( fi `  g )  =  g )
6860, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( fi `  g )  =  g )
6966, 68eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  e.  g )
70 fileln0 20477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n )  e.  g )  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  =/=  (/) )
7160, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  =/=  (/) )
7259, 71eqnetrd 2750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  { x  e.  (  _I  `  X
)  |  x  e. 
|^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n ) }  =/=  (/) )
73 rabn0 3814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { x  e.  (  _I 
`  X )  |  x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n ) }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  (  _I 
`  X ) x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
) )
7472, 73sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  E. x  e.  (  _I  `  X
) x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n ) )
7574ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  ->  A. k  e.  Z  E. x  e.  (  _I  `  X ) x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
) )
7675adantrrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  ->  A. k  e.  Z  E. x  e.  (  _I  `  X ) x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
) )
77 fvex 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _I 
`  X )  e. 
_V
78 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  <->  ( f `  k )  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n ) ) )
79 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f `
 k )  e. 
_V
80 eliin 4338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  k )  e.  _V  ->  (
( f `  k
)  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  <->  A. n  e.  ( M ... k
) ( f `  k )  e.  ( s `  n ) ) )
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  k )  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
)  <->  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `  k
)  e.  ( s `
 n ) )
8278, 81syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  <->  A. n  e.  ( M ... k
) ( f `  k )  e.  ( s `  n ) ) )
8377, 82axcc4dom 8838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  ~<_  om  /\  A. k  e.  Z  E. x  e.  (  _I  `  X
) x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n ) )  ->  E. f ( f : Z --> (  _I 
`  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )
8429, 76, 83syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  ->  E. f ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )
85 df-ral 2812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)  <->  A. f ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) ) )
86 19.29 1684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. f ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  E. f ( f : Z --> (  _I 
`  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )  ->  E. f ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )
8785, 86sylanb 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  (
~~> t `  J ) )  /\  E. f
( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k
) ( f `  k )  e.  ( s `  n ) ) )  ->  E. f
( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )
8824ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
895ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
90 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  f : Z --> (  _I  `  X ) )
91 feq3 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  _I  `  X )  =  X  ->  (
f : Z --> (  _I 
`  X )  <->  f : Z
--> X ) )
9289, 53, 54, 914syl 21 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  ( f : Z --> (  _I  `  X )  <->  f : Z
--> X ) )
9390, 92mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  f : Z --> X )
94 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  ( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
9594simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `
 k ) A. v  e.  ( s `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
96 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  (
s `  k )  =  ( s `  i ) )
97 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
i ) )
9897breq2d 4468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ i
) ) )
9996, 98raleqbidv 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  ( A. v  e.  (
s `  k )
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  A. v  e.  ( s `  i
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ i ) ) )
10096, 99raleqbidv 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  ( A. u  e.  (
s `  k ) A. v  e.  (
s `  k )
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  A. u  e.  ( s `  i
) A. v  e.  ( s `  i
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ i ) ) )
101100cbvralv 3084 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k )  <->  A. i  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `
 i ) A. v  e.  ( s `  i ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ i
) )
10295, 101sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  A. i  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `
 i ) A. v  e.  ( s `  i ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ i
) )
103 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `  k )  e.  ( s `  n ) )
104 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  j  ->  (
s `  n )  =  ( s `  j ) )
105104eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  j  ->  (
( f `  k
)  e.  ( s `
 n )  <->  ( f `  k )  e.  ( s `  j ) ) )
106105cbvralv 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
)  <->  A. j  e.  ( M ... k ) ( f `  k
)  e.  ( s `
 j ) )
107 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  ( M ... k )  =  ( M ... i
) )
108 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  (
f `  k )  =  ( f `  i ) )
109108eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( f `  k
)  e.  ( s `
 j )  <->  ( f `  i )  e.  ( s `  j ) ) )
110107, 109raleqbidv 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  ( A. j  e.  ( M ... k ) ( f `  k )  e.  ( s `  j )  <->  A. j  e.  ( M ... i
) ( f `  i )  e.  ( s `  j ) ) )
111106, 110syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( f `  k )  e.  ( s `  n )  <->  A. j  e.  ( M ... i
) ( f `  i )  e.  ( s `  j ) ) )
112111cbvralv 3084 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
)  <->  A. i  e.  Z  A. j  e.  ( M ... i ) ( f `  i )  e.  ( s `  j ) )
113103, 112sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  A. i  e.  Z  A. j  e.  ( M ... i ) ( f `  i )  e.  ( s `  j ) )
11489, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
115 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  g  e.  (CauFil `  D ) )
116114, 115, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  g  e.  ( Fil `  X ) )
11794simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  s : ZZ --> g )
11826, 1, 88, 89, 93, 102, 113iscmet3lem1 21856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  f  e.  ( Cau `  D ) )
119 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) ) )
120118, 93, 119mp2d 45 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  f  e.  dom  (
~~> t `  J ) )
12126, 1, 88, 89, 93, 102, 113, 116, 117, 120iscmet3lem2 21857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) )
122121ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  (CauFil `  D )  /\  ( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  -> 
( ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )  -> 
( J  fLim  g
)  =/=  (/) ) )
123122exlimdv 1725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  (CauFil `  D )  /\  ( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  -> 
( E. f ( ( f  e.  ( Cau `  D )  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )  -> 
( J  fLim  g
)  =/=  (/) ) )
12487, 123syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  (CauFil `  D )  /\  ( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  -> 
( ( A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )  /\  E. f ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )  -> 
( J  fLim  g
)  =/=  (/) ) )
125124expdimp 437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  ->  ( E. f ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) )  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) ) )
126125an32s 804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  -> 
( E. f ( f : Z --> (  _I 
`  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) )  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) ) )
12784, 126mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  -> 
( J  fLim  g
)  =/=  (/) )
128127expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) ) )
129128exlimdv 1725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( E. s ( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) ) )
13023, 129mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) )
131130ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  ->  A. g  e.  (CauFil `  D ) ( J 
fLim  g )  =/=  (/) )
1321iscmet 21849 . . . 4  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  A. g  e.  (CauFil `  D )
( J  fLim  g
)  =/=  (/) ) )
1336, 131, 132sylanbrc 664 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  ->  D  e.  (
CMet `  X )
)
134133ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )  ->  D  e.  ( CMet `  X ) ) )
1354, 134impbid2 204 1  |-  ( ph  ->  ( D  e.  (
CMet `  X )  <->  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1393    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   |^|_ciin 4333   class class class wbr 4456    _I cid 4799   dom cdm 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   omcom 6699    ~~ cen 7532    ~<_ cdom 7533   Fincfn 7535   ficfi 7888   1c1 9510    < clt 9645    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   ...cfz 11697   ^cexp 12169   *Metcxmt 18530   Metcme 18531   MetOpencmopn 18535   ~~> tclm 19854   Filcfil 20472    fLim cflim 20561  CauFilccfil 21817   Caucca 21818   CMetcms 21819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ico 11560  df-fz 11698  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-ntr 19648  df-nei 19726  df-lm 19857  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-cfil 21820  df-cau 21821  df-cmet 21822
This theorem is referenced by:  iscmet2  21859  iscmet3i  21876  heibor1  30511  rrncms  30534
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