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Theorem iscmet3 22261
Description: The property " D is a complete metric" expressed in terms of functions on  NN (or any other upper integer set). Thus, we only have to look at functions on 
NN, and not all possible Cauchy filters, to determine completeness. (The proof uses countable choice.) (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iscmet3.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
iscmet3.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iscmet3.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Assertion
Ref Expression
iscmet3  |-  ( ph  ->  ( D  e.  (
CMet `  X )  <->  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) ) )
Distinct variable groups:    D, f    f, X    f, J    f, Z    f, M    ph, f

Proof of Theorem iscmet3
Dummy variables  g 
i  j  k  n  s  t  u  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.2 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21cmetcau 22257 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  f  e.  ( Cau `  D
) )  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
32a1d 26 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  f  e.  ( Cau `  D
) )  ->  (
f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )
43ralrimiva 2836 . 2  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
5 iscmet3.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
65adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
7 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  g  e.  (CauFil `  D ) )
8 1rp 11313 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
9 rphalfcl 11334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
11 rpexpcl 12297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
1210, 11mpan 674 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )
13 cfili 22236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR+ )  ->  E. t  e.  g  A. u  e.  t  A. v  e.  t  ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
147, 12, 13syl2an 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  E. t  e.  g  A. u  e.  t  A. v  e.  t  ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
1514ralrimiva 2836 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  A. k  e.  ZZ  E. t  e.  g  A. u  e.  t  A. v  e.  t  ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )
16 vex 3083 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
17 znnen 14264 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  ~~  NN
18 nnenom 12199 . . . . . . . . 9  |-  NN  ~~  om
1917, 18entri 7633 . . . . . . . 8  |-  ZZ  ~~  om
20 raleq 3022 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( s `  k )  ->  ( A. v  e.  t 
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
2120raleqbi1dv 3030 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( s `  k )  ->  ( A. u  e.  t  A. v  e.  t 
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
2216, 19, 21axcc4 8876 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ZZ  E. t  e.  g  A. u  e.  t  A. v  e.  t  ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  ->  E. s
( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
2315, 22syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  E. s
( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
24 iscmet3.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2524ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
26 iscmet3.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2726uzenom 12184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  Z  ~~  om )
28 endom 7606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z 
~~  om  ->  Z  ~<_  om )
2925, 27, 283syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  ->  Z  ~<_  om )
30 dfin5 3444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  _I  `  X )  i^i  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
) )  =  {
x  e.  (  _I 
`  X )  |  x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n ) }
31 fzn0 11820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M ... k )  =/=  (/)  <->  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )
3231biimpri 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... k )  =/=  (/) )
3332, 26eleq2s 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  Z  ->  ( M ... k )  =/=  (/) )
34 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  ->  s : ZZ --> g )
35 elfzelz 11807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( M ... k )  ->  n  e.  ZZ )
36 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( s : ZZ --> g  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( s `  n
)  e.  g )
3734, 35, 36syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  n  e.  ( M ... k ) )  ->  ( s `  n )  e.  g )
38 metxmet 21347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
395, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
4039adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
41 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g )  -> 
g  e.  (CauFil `  D ) )
42 cfilfil 22235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  g  e.  (CauFil `  D ) )  -> 
g  e.  ( Fil `  X ) )
4340, 41, 42syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  ->  g  e.  ( Fil `  X ) )
44 filelss 20865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  (
s `  n )  e.  g )  ->  (
s `  n )  C_  X )
4543, 44sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  ( s `  n )  e.  g )  ->  ( s `  n )  C_  X
)
4637, 45syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  n  e.  ( M ... k ) )  ->  ( s `  n )  C_  X
)
4746ralrimiva 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  ->  A. n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
)  C_  X )
48 r19.2z 3888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M ... k
)  =/=  (/)  /\  A. n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n )  C_  X )  ->  E. n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  C_  X
)
4933, 47, 48syl2anr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  E. n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  C_  X
)
50 iinss 4350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. n  e.  ( M ... k ) ( s `  n ) 
C_  X  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  C_  X
)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  C_  X
)
526ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
53 elfvdm 5907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  e.  dom  Met )
54 fvi 5938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  e.  dom  Met  ->  (  _I  `  X )  =  X )
5552, 53, 543syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  (  _I  `  X )  =  X )
5651, 55sseqtr4d 3501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  C_  (  _I  `  X ) )
57 dfss1 3667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n )  C_  (  _I  `  X )  <-> 
( (  _I  `  X )  i^i  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n ) )  =  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
) )
5856, 57sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (  _I  `  X )  i^i  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n ) )  =  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n ) )
5930, 58syl5eqr 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  { x  e.  (  _I  `  X
)  |  x  e. 
|^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n ) }  =  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n ) )
6043adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  g  e.  ( Fil `  X ) )
6137ralrimiva 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  ->  A. n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
)  e.  g )
6261adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  A. n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  e.  g )
6333adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( M ... k )  =/=  (/) )
64 fzfid 12192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( M ... k )  e.  Fin )
65 iinfi 7940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( s `  n )  e.  g  /\  ( M ... k )  =/=  (/)  /\  ( M ... k )  e.  Fin ) )  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  e.  ( fi `  g ) )
6660, 62, 63, 64, 65syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  e.  ( fi `  g ) )
67 filfi 20872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( fi `  g )  =  g )
6860, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( fi `  g )  =  g )
6966, 68eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  e.  g )
70 fileln0 20863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n )  e.  g )  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  =/=  (/) )
7160, 69, 70syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  =/=  (/) )
7259, 71eqnetrd 2713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  { x  e.  (  _I  `  X
)  |  x  e. 
|^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n ) }  =/=  (/) )
73 rabn0 3782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { x  e.  (  _I 
`  X )  |  x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n ) }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  (  _I 
`  X ) x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
) )
7472, 73sylib 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  E. x  e.  (  _I  `  X
) x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n ) )
7574ralrimiva 2836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  s : ZZ --> g ) )  ->  A. k  e.  Z  E. x  e.  (  _I  `  X ) x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
) )
7675adantrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  ->  A. k  e.  Z  E. x  e.  (  _I  `  X ) x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
) )
77 fvex 5891 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _I 
`  X )  e. 
_V
78 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  <->  ( f `  k )  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n ) ) )
79 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f `
 k )  e. 
_V
80 eliin 4305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  k )  e.  _V  ->  (
( f `  k
)  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  <->  A. n  e.  ( M ... k
) ( f `  k )  e.  ( s `  n ) ) )
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  k )  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `  n
)  <->  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `  k
)  e.  ( s `
 n ) )
8278, 81syl6bb 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k
) ( s `  n )  <->  A. n  e.  ( M ... k
) ( f `  k )  e.  ( s `  n ) ) )
8377, 82axcc4dom 8878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  ~<_  om  /\  A. k  e.  Z  E. x  e.  (  _I  `  X
) x  e.  |^|_ n  e.  ( M ... k ) ( s `
 n ) )  ->  E. f ( f : Z --> (  _I 
`  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )
8429, 76, 83syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  ->  E. f ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )
85 df-ral 2776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)  <->  A. f ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) ) )
86 19.29 1729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. f ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  E. f ( f : Z --> (  _I 
`  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )  ->  E. f ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )
8785, 86sylanb 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  (
~~> t `  J ) )  /\  E. f
( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k
) ( f `  k )  e.  ( s `  n ) ) )  ->  E. f
( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )
8824ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
895ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
90 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  f : Z --> (  _I  `  X ) )
91 feq3 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  _I  `  X )  =  X  ->  (
f : Z --> (  _I 
`  X )  <->  f : Z
--> X ) )
9289, 53, 54, 914syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  ( f : Z --> (  _I  `  X )  <->  f : Z
--> X ) )
9390, 92mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  f : Z --> X )
94 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  ( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) )
9594simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `
 k ) A. v  e.  ( s `  k ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
96 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  (
s `  k )  =  ( s `  i ) )
97 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
i ) )
9897breq2d 4435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ i
) ) )
9996, 98raleqbidv 3036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  ( A. v  e.  (
s `  k )
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  A. v  e.  ( s `  i
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ i ) ) )
10096, 99raleqbidv 3036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  ( A. u  e.  (
s `  k ) A. v  e.  (
s `  k )
( u D v )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  <->  A. u  e.  ( s `  i
) A. v  e.  ( s `  i
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ i ) ) )
101100cbvralv 3054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k )  <->  A. i  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `
 i ) A. v  e.  ( s `  i ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ i
) )
10295, 101sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  A. i  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `
 i ) A. v  e.  ( s `  i ) ( u D v )  < 
( ( 1  / 
2 ) ^ i
) )
103 simprrr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `  k )  e.  ( s `  n ) )
104 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  j  ->  (
s `  n )  =  ( s `  j ) )
105104eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  j  ->  (
( f `  k
)  e.  ( s `
 n )  <->  ( f `  k )  e.  ( s `  j ) ) )
106105cbvralv 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
)  <->  A. j  e.  ( M ... k ) ( f `  k
)  e.  ( s `
 j ) )
107 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  ( M ... k )  =  ( M ... i
) )
108 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  (
f `  k )  =  ( f `  i ) )
109108eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( f `  k
)  e.  ( s `
 j )  <->  ( f `  i )  e.  ( s `  j ) ) )
110107, 109raleqbidv 3036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  ( A. j  e.  ( M ... k ) ( f `  k )  e.  ( s `  j )  <->  A. j  e.  ( M ... i
) ( f `  i )  e.  ( s `  j ) ) )
111106, 110syl5bb 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  ( A. n  e.  ( M ... k ) ( f `  k )  e.  ( s `  n )  <->  A. j  e.  ( M ... i
) ( f `  i )  e.  ( s `  j ) ) )
112111cbvralv 3054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
)  <->  A. i  e.  Z  A. j  e.  ( M ... i ) ( f `  i )  e.  ( s `  j ) )
113103, 112sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  A. i  e.  Z  A. j  e.  ( M ... i ) ( f `  i )  e.  ( s `  j ) )
11489, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
115 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  g  e.  (CauFil `  D ) )
116114, 115, 42syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  g  e.  ( Fil `  X ) )
11794simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  s : ZZ --> g )
11826, 1, 88, 89, 93, 102, 113iscmet3lem1 22259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  f  e.  ( Cau `  D ) )
119 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) ) )
120118, 93, 119mp2d 46 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  f  e.  dom  (
~~> t `  J ) )
12126, 1, 88, 89, 93, 102, 113, 116, 117, 120iscmet3lem2 22260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) ) )  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) )
122121ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  (CauFil `  D )  /\  ( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  -> 
( ( ( f  e.  ( Cau `  D
)  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )  -> 
( J  fLim  g
)  =/=  (/) ) )
123122exlimdv 1772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  (CauFil `  D )  /\  ( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  -> 
( E. f ( ( f  e.  ( Cau `  D )  ->  ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  /\  ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )  -> 
( J  fLim  g
)  =/=  (/) ) )
12487, 123syl5 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  (CauFil `  D )  /\  ( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  -> 
( ( A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )  /\  E. f ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) ) )  -> 
( J  fLim  g
)  =/=  (/) ) )
125124expdimp 438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  ->  ( E. f ( f : Z --> (  _I  `  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) )  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) ) )
126125an32s 811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  -> 
( E. f ( f : Z --> (  _I 
`  X )  /\  A. k  e.  Z  A. n  e.  ( M ... k ) ( f `
 k )  e.  ( s `  n
) )  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) ) )
12784, 126mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  (
g  e.  (CauFil `  D )  /\  (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) ) ) )  -> 
( J  fLim  g
)  =/=  (/) )
128127expr 618 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( (
s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k ) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) ) )
129128exlimdv 1772 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( E. s ( s : ZZ --> g  /\  A. k  e.  ZZ  A. u  e.  ( s `  k
) A. v  e.  ( s `  k
) ( u D v )  <  (
( 1  /  2
) ^ k ) )  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) ) )
13023, 129mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) )  /\  g  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( J  fLim  g )  =/=  (/) )
131130ralrimiva 2836 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  ->  A. g  e.  (CauFil `  D ) ( J 
fLim  g )  =/=  (/) )
1321iscmet 22252 . . . 4  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  A. g  e.  (CauFil `  D )
( J  fLim  g
)  =/=  (/) ) )
1336, 131, 132sylanbrc 668 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )  ->  D  e.  (
CMet `  X )
)
134133ex 435 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  ( Cau `  D
) ( f : Z --> X  ->  f  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )  ->  D  e.  ( CMet `  X ) ) )
1354, 134impbid2 207 1  |-  ( ph  ->  ( D  e.  (
CMet `  X )  <->  A. f  e.  ( Cau `  D ) ( f : Z --> X  -> 
f  e.  dom  ( ~~> t `  J )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   _Vcvv 3080    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   |^|_ciin 4300   class class class wbr 4423    _I cid 4763   dom cdm 4853   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   omcom 6706    ~~ cen 7577    ~<_ cdom 7578   Fincfn 7580   ficfi 7933   1c1 9547    < clt 9682    / cdiv 10276   NNcn 10616   2c2 10666   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   RR+crp 11309   ...cfz 11791   ^cexp 12278   *Metcxmt 18954   Metcme 18955   MetOpencmopn 18959   ~~> tclm 20240   Filcfil 20858    fLim cflim 20947  CauFilccfil 22220   Caucca 22221   CMetcms 22222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cc 8872  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-omul 7198  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-acn 8384  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ico 11648  df-fz 11792  df-fl 12034  df-seq 12220  df-exp 12279  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-rest 15320  df-topgen 15341  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-ntr 20033  df-nei 20112  df-lm 20243  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-cfil 22223  df-cau 22224  df-cmet 22225
This theorem is referenced by:  iscmet2  22262  iscmet3i  22279  heibor1  32106  rrncms  32129
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