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Theorem iscmet3 22341
 Description: The property " is a complete metric" expressed in terms of functions on (or any other upper integer set). Thus, we only have to look at functions on , and not all possible Cauchy filters, to determine completeness. (The proof uses countable choice.) (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3.1
iscmet3.2
iscmet3.3
iscmet3.4
Assertion
Ref Expression
iscmet3
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem iscmet3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscmet3.2 . . . . 5
21cmetcau 22337 . . . 4
32a1d 25 . . 3
43ralrimiva 2809 . 2
5 iscmet3.4 . . . . 5
65adantr 472 . . . 4
7 simpr 468 . . . . . . . . 9 CauFil CauFil
8 1rp 11329 . . . . . . . . . . 11
9 rphalfcl 11350 . . . . . . . . . . 11
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
11 rpexpcl 12329 . . . . . . . . . 10
1210, 11mpan 684 . . . . . . . . 9
13 cfili 22316 . . . . . . . . 9 CauFil
147, 12, 13syl2an 485 . . . . . . . 8 CauFil
1514ralrimiva 2809 . . . . . . 7 CauFil
16 vex 3034 . . . . . . . 8
17 znnen 14342 . . . . . . . . 9
18 nnenom 12231 . . . . . . . . 9
1917, 18entri 7641 . . . . . . . 8
20 raleq 2973 . . . . . . . . 9
2120raleqbi1dv 2981 . . . . . . . 8
2216, 19, 21axcc4 8887 . . . . . . 7
2315, 22syl 17 . . . . . 6 CauFil
24 iscmet3.3 . . . . . . . . . . . 12
2524ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11 CauFil
26 iscmet3.1 . . . . . . . . . . . 12
2726uzenom 12216 . . . . . . . . . . 11
28 endom 7614 . . . . . . . . . . 11
2925, 27, 283syl 18 . . . . . . . . . 10 CauFil
30 dfin5 3398 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 fzn0 11839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3231biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3332, 26eleq2s 2567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 CauFil
35 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
36 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3734, 35, 36syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 CauFil
38 metxmet 21427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
395, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
41 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 CauFil CauFil
42 cfilfil 22315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 CauFil
4340, 41, 42syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 CauFil
44 filelss 20945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4543, 44sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 CauFil
4637, 45syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 CauFil
4746ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CauFil
48 r19.2z 3849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4933, 47, 48syl2anr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CauFil
50 iinss 4320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CauFil
526ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CauFil
53 elfvdm 5905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
54 fvi 5937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5552, 53, 543syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CauFil
5651, 55sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CauFil
57 dfss1 3628 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5856, 57sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15 CauFil
5930, 58syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . . . 14 CauFil
6043adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 CauFil
6137ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CauFil
6261adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CauFil
6333adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CauFil
64 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CauFil
65 iinfi 7949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6660, 62, 63, 64, 65syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CauFil
67 filfi 20952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6860, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CauFil
6966, 68eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . 15 CauFil
70 fileln0 20943 . . . . . . . . . . . . . . 15
7160, 69, 70syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14 CauFil
7259, 71eqnetrd 2710 . . . . . . . . . . . . 13 CauFil
73 rabn0 3755 . . . . . . . . . . . . 13
7472, 73sylib 201 . . . . . . . . . . . 12 CauFil
7574ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11 CauFil
7675adantrrr 739 . . . . . . . . . 10 CauFil
77 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11
78 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12
79 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . 13
80 eliin 4275 . . . . . . . . . . . . 13
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
8278, 81syl6bb 269 . . . . . . . . . . 11
8377, 82axcc4dom 8889 . . . . . . . . . 10
8429, 76, 83syl2anc 673 . . . . . . . . 9 CauFil
85 df-ral 2761 . . . . . . . . . . . . 13
86 19.29 1743 . . . . . . . . . . . . 13
8785, 86sylanb 480 . . . . . . . . . . . 12
8824ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 CauFil
895ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 CauFil
90 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CauFil
91 feq3 5722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9289, 53, 54, 914syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CauFil
9390, 92mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 CauFil
94 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CauFil
9594simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CauFil
96 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
97 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9897breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9996, 98raleqbidv 2987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10096, 99raleqbidv 2987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
101100cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10295, 101sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15 CauFil
103 simprrr 783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CauFil
104 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105104eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106105cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
109108eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110107, 109raleqbidv 2987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111106, 110syl5bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112111cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113103, 112sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15 CauFil
11489, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CauFil
115 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CauFil CauFil
116114, 115, 42syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15 CauFil
11794simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 CauFil
11826, 1, 88, 89, 93, 102, 113iscmet3lem1 22339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CauFil
119 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CauFil
120118, 93, 119mp2d 45 . . . . . . . . . . . . . . 15 CauFil
12126, 1, 88, 89, 93, 102, 113, 116, 117, 120iscmet3lem2 22340 . . . . . . . . . . . . . 14 CauFil
122121ex 441 . . . . . . . . . . . . 13 CauFil
123122exlimdv 1787 . . . . . . . . . . . 12 CauFil
12487, 123syl5 32 . . . . . . . . . . 11 CauFil
125124expdimp 444 . . . . . . . . . 10 CauFil
126125an32s 821 . . . . . . . . 9 CauFil
12784, 126mpd 15 . . . . . . . 8 CauFil
128127expr 626 . . . . . . 7 CauFil
129128exlimdv 1787 . . . . . 6 CauFil
13023, 129mpd 15 . . . . 5 CauFil
131130ralrimiva 2809 . . . 4 CauFil
1321iscmet 22332 . . . 4 CauFil
1336, 131, 132sylanbrc 677 . . 3
134133ex 441 . 2
1354, 134impbid2 209 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376  wal 1450   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  c0 3722  ciin 4270   class class class wbr 4395   cid 4749   cdm 4839  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  com 6711   cen 7584   cdom 7585  cfn 7587  cfi 7942  c1 9558   clt 9693   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cfz 11810  cexp 12310  cxmt 19032  cme 19033  cmopn 19037  clm 20319  cfil 20938   cflim 21027  CauFilccfil 22300  cca 22301  cms 22302 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-ntr 20112  df-nei 20191  df-lm 20322  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-cfil 22303  df-cau 22304  df-cmet 22305 This theorem is referenced by:  iscmet2  22342  iscmet3i  22359  heibor1  32206  rrncms  32229
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