Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscmet Structured version   Unicode version

Theorem iscmet 21849
 Description: The property " is a complete metric." meaning all Cauchy filters converge to a point in the space. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscmet.1
Assertion
Ref Expression
iscmet CauFil
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem iscmet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5899 . 2
2 elfvex 5899 . . 3
32adantr 465 . 2 CauFil
4 fveq2 5872 . . . . . 6
5 rabeq 3103 . . . . . 6 CauFil CauFil
64, 5syl 16 . . . . 5 CauFil CauFil
7 df-cmet 21822 . . . . 5 CauFil
8 fvex 5882 . . . . . 6
98rabex 4607 . . . . 5 CauFil
106, 7, 9fvmpt 5956 . . . 4 CauFil
1110eleq2d 2527 . . 3 CauFil
12 fveq2 5872 . . . . 5 CauFil CauFil
13 fveq2 5872 . . . . . . . 8
14 iscmet.1 . . . . . . . 8
1513, 14syl6eqr 2516 . . . . . . 7
1615oveq1d 6311 . . . . . 6
1716neeq1d 2734 . . . . 5
1812, 17raleqbidv 3068 . . . 4 CauFil CauFil
1918elrab 3257 . . 3 CauFil CauFil
2011, 19syl6bb 261 . 2 CauFil
211, 3, 20pm5.21nii 353 1 CauFil
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wral 2807  crab 2811  cvv 3109  c0 3793  cfv 5594  (class class class)co 6296  cme 18531  cmopn 18535   cflim 20561  CauFilccfil 21817  cms 21819 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6299  df-cmet 21822 This theorem is referenced by:  cmetcvg  21850  cmetmet  21851  iscmet3  21858  cmetss  21879  equivcmet  21880  relcmpcmet  21881  cmetcusp1OLD  21917  cmetcusp1  21918
 Copyright terms: Public domain W3C validator