Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isclwwlkn Structured version   Unicode version

Theorem isclwwlkn 30575
Description: Properties of a word to represent a closed walk of a fixed length (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
isclwwlkn  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  <->  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  ( # `  W
)  =  N ) ) )

Proof of Theorem isclwwlkn
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlkn 30573 . . 3  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  =  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  w )  =  N } )
21eleq2d 2522 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  <->  W  e.  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  w )  =  N } ) )
3 fveq2 5794 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  ( # `
 w )  =  ( # `  W
) )
43eqeq1d 2454 . . 3  |-  ( w  =  W  ->  (
( # `  w )  =  N  <->  ( # `  W
)  =  N ) )
54elrab 3218 . 2  |-  ( W  e.  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  w
)  =  N }  <->  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  ( # `
 W )  =  N ) )
62, 5syl6bb 261 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  <->  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  ( # `  W
)  =  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2800   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   NN0cn0 10685   #chash 12215   ClWWalks cclwwlk 30556   ClWWalksN cclwwlkn 30557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-nn 10429  df-n0 10686  df-clwwlkn 30560
This theorem is referenced by:  clwwlkn2  30581  clwwlknimp  30582  clwwlkisclwwlkn  30596  clwwlkf  30599  clwwlkext2edg  30607  wwlkext2clwwlk  30608  clwwnisshclwwn  30616  clwlkfclwwlk  30660  clwlkfoclwwlk  30661  extwwlkfablem2  30814  numclwwlkovfel2  30819  numclwwlkovf2ex  30822  numclwwlkovgelim  30825
  Copyright terms: Public domain W3C validator