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Theorem isclo2 19675
Description: A set  A is clopen iff for every point  x in the space there is a neighborhood  y of  x which is either disjoint from  A or contained in  A. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isclo.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
isclo2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, J, y, z    x, X, y, z

Proof of Theorem isclo2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isclo.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21isclo 19674 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
3 eleq1 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  A  <->  w  e.  A ) )
43bibi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
( x  e.  A  <->  z  e.  A )  <->  ( x  e.  A  <->  w  e.  A
) ) )
54cbvralv 3009 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  <->  A. w  e.  y  ( x  e.  A  <->  w  e.  A
) )
65anbi2i 692 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  <->  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  A. w  e.  y  (
x  e.  A  <->  w  e.  A ) ) )
7 pm4.24 641 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  <->  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) )
8 raaanv 3854 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
( x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A ) )  <-> 
( A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
)  /\  A. w  e.  y  ( x  e.  A  <->  w  e.  A
) ) )
96, 7, 83bitr4i 277 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  <->  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  (
x  e.  A  <->  w  e.  A ) ) )
10 bibi1 325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  <->  z  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  <->  w  e.  A )  <->  ( z  e.  A  <->  w  e.  A
) ) )
1110biimpa 482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A ) )  ->  ( z  e.  A  <->  w  e.  A
) )
1211biimpcd 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  A  ->  (
( ( x  e.  A  <->  z  e.  A
)  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A
) )  ->  w  e.  A ) )
1312ralimdv 2792 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. w  e.  y 
( ( x  e.  A  <->  z  e.  A
)  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A
) )  ->  A. w  e.  y  w  e.  A ) )
1413com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  y  (
( x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A ) )  ->  ( z  e.  A  ->  A. w  e.  y  w  e.  A ) )
15 dfss3 3407 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  A  <->  A. w  e.  y  w  e.  A )
1614, 15syl6ibr 227 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  y  (
( x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A ) )  ->  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) )
1716ralimi 2775 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
( x  e.  A  <->  z  e.  A )  /\  ( x  e.  A  <->  w  e.  A ) )  ->  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A )
)
189, 17sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  ->  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) )
19 eleq1 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  A  <->  x  e.  A ) )
2019imbi1d 315 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  <->  ( x  e.  A  -> 
y  C_  A )
) )
2120rspcv 3131 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  ->  ( x  e.  A  ->  y  C_  A )
) )
22 dfss3 3407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  A  <->  A. z  e.  y  z  e.  A )
2322imbi2i 310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  -> 
y  C_  A )  <->  ( x  e.  A  ->  A. z  e.  y 
z  e.  A ) )
24 r19.21v 2787 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  -> 
z  e.  A )  <-> 
( x  e.  A  ->  A. z  e.  y  z  e.  A ) )
2523, 24bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  -> 
y  C_  A )  <->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  -> 
z  e.  A ) )
2621, 25syl6ib 226 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  ->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )
27 ssel 3411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  A  ->  (
x  e.  y  ->  x  e.  A )
)
2827com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  y  ->  (
y  C_  A  ->  x  e.  A ) )
2928imim2d 52 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  y  ->  (
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  ->  ( z  e.  A  ->  x  e.  A ) ) )
3029ralimdv 2792 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  ->  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  x  e.  A ) ) )
3126, 30jcad 531 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  ->  ( A. z  e.  y  ( x  e.  A  ->  z  e.  A )  /\  A. z  e.  y  (
z  e.  A  ->  x  e.  A )
) ) )
32 ralbiim 2914 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  <->  z  e.  A )  <->  ( A. z  e.  y  (
x  e.  A  -> 
z  e.  A )  /\  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  x  e.  A ) ) )
3331, 32syl6ibr 227 . . . . . 6  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( z  e.  A  ->  y  C_  A )  ->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) )
3418, 33impbid2 204 . . . . 5  |-  ( x  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( x  e.  A  <->  z  e.  A )  <->  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) ) )
3534pm5.32i 635 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) ) )
3635rexbii 2884 . . 3  |-  ( E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  <->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) ) )
3736ralbii 2813 . 2  |-  ( A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) ) )
382, 37syl6bb 261 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( z  e.  A  ->  y  C_  A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733    i^i cin 3388    C_ wss 3389   U.cuni 4163   ` cfv 5496   Topctop 19479   Clsdccld 19602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fv 5504  df-topgen 14851  df-top 19484  df-cld 19605
This theorem is referenced by:  conpcon  28869
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