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Theorem isclo 19674
Description: A set  A is clopen iff for every point  x in the space there is a neighborhood  y such that all the points in  y are in  A iff  x is. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isclo.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
isclo  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, J, y, z    x, X, y, z

Proof of Theorem isclo
StepHypRef Expression
1 elin 3601 . 2  |-  ( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J )
)  <->  ( A  e.  J  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) ) )
2 isclo.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
32iscld2 19614 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( X  \  A )  e.  J ) )
43anbi2d 701 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( A  e.  J  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  <->  ( A  e.  J  /\  ( X  \  A )  e.  J ) ) )
5 eltop2 19562 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  J  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
6 dfss3 3407 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  A  <->  A. z  e.  y  z  e.  A )
7 pm5.501 339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
z  e.  A  <->  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
87ralbidv 2821 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. z  e.  y 
z  e.  A  <->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
96, 8syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
y  C_  A  <->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
109anbi2d 701 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  (
( x  e.  y  /\  y  C_  A
)  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
1110rexbidv 2893 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  A )  <->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) ) )
1211ralbiia 2812 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  y  C_  A )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
135, 12syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  J  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
14 eltop2 19562 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( X  \  A
)  e.  J  <->  A. x  e.  ( X  \  A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( X  \  A ) ) ) )
15 dfss3 3407 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  ( X  \  A )  <->  A. z  e.  y  z  e.  ( X  \  A ) )
16 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  y  ->  z  e.  y )
17 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  A )  /\  y  e.  J )  ->  y  e.  J )
18 elunii 4168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  J )  ->  z  e.  U. J
)
1916, 17, 18syl2anr 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( X  \  A )  /\  y  e.  J
)  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  U. J )
2019, 2syl6eleqr 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( X  \  A )  /\  y  e.  J
)  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  X )
21 eldif 3399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( X  \  A )  <->  ( z  e.  X  /\  -.  z  e.  A ) )
2221baib 901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  X  ->  (
z  e.  ( X 
\  A )  <->  -.  z  e.  A ) )
2320, 22syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( X  \  A )  /\  y  e.  J
)  /\  z  e.  y )  ->  (
z  e.  ( X 
\  A )  <->  -.  z  e.  A ) )
24 eldifn 3541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( X  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
25 nbn2 343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( -.  z  e.  A  <->  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  \  A )  ->  ( -.  z  e.  A  <->  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) )
2726ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( X  \  A )  /\  y  e.  J
)  /\  z  e.  y )  ->  ( -.  z  e.  A  <->  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) )
2823, 27bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( X  \  A )  /\  y  e.  J
)  /\  z  e.  y )  ->  (
z  e.  ( X 
\  A )  <->  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
2928ralbidva 2818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  A )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. z  e.  y  z  e.  ( X  \  A )  <->  A. z  e.  y 
( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) )
3015, 29syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  A )  /\  y  e.  J )  ->  ( y  C_  ( X  \  A )  <->  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
3130anbi2d 701 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( X 
\  A )  /\  y  e.  J )  ->  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  ( X  \  A ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
3231rexbidva 2890 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  \  A )  ->  ( E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( X 
\  A ) )  <->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) ) )
3332ralbiia 2812 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( X  \  A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  ( X  \  A
) )  <->  A. x  e.  ( X  \  A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )
3414, 33syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( X  \  A
)  e.  J  <->  A. x  e.  ( X  \  A
) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
3513, 34anbi12d 708 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( A  e.  J  /\  ( X  \  A
)  e.  J )  <-> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) )  /\  A. x  e.  ( X  \  A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) ) )
3635adantr 463 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( A  e.  J  /\  ( X 
\  A )  e.  J )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  /\  A. x  e.  ( X 
\  A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) ) ) )
37 ralunb 3599 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( A  u.  ( X  \  A
) ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  /\  A. x  e.  ( X 
\  A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) ) )
38 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  ->  A  C_  X )
39 undif 3824 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  X  <->  ( A  u.  ( X  \  A
) )  =  X )
4038, 39sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  u.  ( X  \  A ) )  =  X )
4140raleqdv 2985 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A. x  e.  ( A  u.  ( X  \  A ) ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A ) ) ) )
4237, 41syl5bbr 259 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) )  /\  A. x  e.  ( X  \  A ) E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
434, 36, 423bitrd 279 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( A  e.  J  /\  A  e.  ( Clsd `  J
) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
441, 43syl5bb 257 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( A  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( x  e.  A  <->  z  e.  A
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733    \ cdif 3386    u. cun 3387    i^i cin 3388    C_ wss 3389   U.cuni 4163   ` cfv 5496   Topctop 19479   Clsdccld 19602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fv 5504  df-topgen 14851  df-top 19484  df-cld 19605
This theorem is referenced by:  isclo2  19675  cvmliftmolem2  28916  cvmlift2lem12  28948
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