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Theorem iscldtop 20042
Description: A family is the closed sets of a topology iff it is a Moore collection and closed under finite union. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscldtop  |-  ( K  e.  ( Clsd " (TopOn `  B ) )  <->  ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, K, y

Proof of Theorem iscldtop
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fncld 19968 . . . . 5  |-  Clsd  Fn  Top
2 fnfun 5691 . . . . 5  |-  ( Clsd 
Fn  Top  ->  Fun  Clsd )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  Fun  Clsd
4 fvelima 5933 . . . 4  |-  ( ( Fun  Clsd  /\  K  e.  ( Clsd " (TopOn `  B ) ) )  ->  E. a  e.  (TopOn `  B ) ( Clsd `  a )  =  K )
53, 4mpan 674 . . 3  |-  ( K  e.  ( Clsd " (TopOn `  B ) )  ->  E. a  e.  (TopOn `  B ) ( Clsd `  a )  =  K )
6 cldmreon 20041 . . . . . 6  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( Clsd `  a )  e.  (Moore `  B ) )
7 topontop 19872 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  a  e.  Top )
8 0cld 19984 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  a )
)
97, 8syl 17 . . . . . 6  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  (/)  e.  (
Clsd `  a )
)
10 uncld 19987 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( Clsd `  a )  /\  y  e.  ( Clsd `  a
) )  ->  (
x  u.  y )  e.  ( Clsd `  a
) )
1110adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  (TopOn `  B )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  a )  /\  y  e.  ( Clsd `  a
) ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  ( Clsd `  a ) )
1211ralrimivva 2853 . . . . . 6  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  A. x  e.  ( Clsd `  a
) A. y  e.  ( Clsd `  a
) ( x  u.  y )  e.  (
Clsd `  a )
)
136, 9, 123jca 1185 . . . . 5  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( ( Clsd `  a )  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  ( Clsd `  a )  /\  A. x  e.  ( Clsd `  a ) A. y  e.  ( Clsd `  a
) ( x  u.  y )  e.  (
Clsd `  a )
) )
14 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( (
Clsd `  a )  e.  (Moore `  B )  <->  K  e.  (Moore `  B
) ) )
15 eleq2 2502 . . . . . 6  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( (/)  e.  ( Clsd `  a
)  <->  (/)  e.  K ) )
16 eleq2 2502 . . . . . . . 8  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( ( x  u.  y )  e.  ( Clsd `  a
)  <->  ( x  u.  y )  e.  K
) )
1716raleqbi1dv 3040 . . . . . . 7  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( A. y  e.  ( Clsd `  a ) ( x  u.  y )  e.  ( Clsd `  a
)  <->  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K ) )
1817raleqbi1dv 3040 . . . . . 6  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( A. x  e.  ( Clsd `  a ) A. y  e.  ( Clsd `  a
) ( x  u.  y )  e.  (
Clsd `  a )  <->  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) )
1914, 15, 183anbi123d 1335 . . . . 5  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( ( ( Clsd `  a
)  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  (
Clsd `  a )  /\  A. x  e.  (
Clsd `  a ) A. y  e.  ( Clsd `  a ) ( x  u.  y )  e.  ( Clsd `  a
) )  <->  ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) ) )
2013, 19syl5ibcom 223 . . . 4  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( ( Clsd `  a )  =  K  ->  ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) ) )
2120rexlimiv 2918 . . 3  |-  ( E. a  e.  (TopOn `  B ) ( Clsd `  a )  =  K  ->  ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) )
225, 21syl 17 . 2  |-  ( K  e.  ( Clsd " (TopOn `  B ) )  -> 
( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K ) )
23 simp1 1005 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  K  e.  (Moore `  B ) )
24 simp2 1006 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  (/)  e.  K )
25 uneq1 3619 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  (
x  u.  y )  =  ( b  u.  y ) )
2625eleq1d 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  b  ->  (
( x  u.  y
)  e.  K  <->  ( b  u.  y )  e.  K
) )
27 uneq2 3620 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  c  ->  (
b  u.  y )  =  ( b  u.  c ) )
2827eleq1d 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  c  ->  (
( b  u.  y
)  e.  K  <->  ( b  u.  c )  e.  K
) )
2926, 28rspc2v 3197 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  K  /\  c  e.  K )  ->  ( A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y )  e.  K  ->  ( b  u.  c
)  e.  K ) )
3029com12 32 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K  ->  (
( b  e.  K  /\  c  e.  K
)  ->  ( b  u.  c )  e.  K
) )
31303ad2ant3 1028 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  ( ( b  e.  K  /\  c  e.  K )  ->  (
b  u.  c )  e.  K ) )
32313impib 1203 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  /\  b  e.  K  /\  c  e.  K
)  ->  ( b  u.  c )  e.  K
)
33 eqid 2429 . . . . 5  |-  { a  e.  ~P B  | 
( B  \  a
)  e.  K }  =  { a  e.  ~P B  |  ( B  \  a )  e.  K }
3423, 24, 32, 33mretopd 20039 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  ( { a  e.  ~P B  | 
( B  \  a
)  e.  K }  e.  (TopOn `  B )  /\  K  =  ( Clsd `  { a  e. 
~P B  |  ( B  \  a )  e.  K } ) ) )
3534simprd 464 . . 3  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  K  =  (
Clsd `  { a  e.  ~P B  |  ( B  \  a )  e.  K } ) )
3634simpld 460 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  { a  e. 
~P B  |  ( B  \  a )  e.  K }  e.  (TopOn `  B ) )
377ssriv 3474 . . . . . 6  |-  (TopOn `  B )  C_  Top
38 fndm 5693 . . . . . . 7  |-  ( Clsd 
Fn  Top  ->  dom  Clsd  =  Top )
391, 38ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  Clsd  =  Top
4037, 39sseqtr4i 3503 . . . . 5  |-  (TopOn `  B )  C_  dom  Clsd
41 funfvima2 6156 . . . . 5  |-  ( ( Fun  Clsd  /\  (TopOn `  B )  C_  dom  Clsd )  ->  ( {
a  e.  ~P B  |  ( B  \ 
a )  e.  K }  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( Clsd `  { a  e.  ~P B  |  ( B  \  a )  e.  K } )  e.  (
Clsd " (TopOn `  B
) ) ) )
423, 40, 41mp2an 676 . . . 4  |-  ( { a  e.  ~P B  |  ( B  \ 
a )  e.  K }  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( Clsd `  { a  e.  ~P B  |  ( B  \  a )  e.  K } )  e.  (
Clsd " (TopOn `  B
) ) )
4336, 42syl 17 . . 3  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  ( Clsd `  {
a  e.  ~P B  |  ( B  \ 
a )  e.  K } )  e.  (
Clsd " (TopOn `  B
) ) )
4435, 43eqeltrd 2517 . 2  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  K  e.  (
Clsd " (TopOn `  B
) ) )
4522, 44impbii 190 1  |-  ( K  e.  ( Clsd " (TopOn `  B ) )  <->  ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786    \ cdif 3439    u. cun 3440    C_ wss 3442   (/)c0 3767   ~Pcpw 3985   dom cdm 4854   "cima 4857   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   ` cfv 5601  Moorecmre 15439   Topctop 19848  TopOnctopon 19849   Clsdccld 19962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-fv 5609  df-mre 15443  df-top 19852  df-topon 19854  df-cld 19965
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