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Theorem iscldtop 19402
Description: A family is the closed sets of a topology iff it is a Moore collection and closed under finite union. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscldtop  |-  ( K  e.  ( Clsd " (TopOn `  B ) )  <->  ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, K, y

Proof of Theorem iscldtop
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fncld 19329 . . . . 5  |-  Clsd  Fn  Top
2 fnfun 5678 . . . . 5  |-  ( Clsd 
Fn  Top  ->  Fun  Clsd )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  Fun  Clsd
4 fvelima 5920 . . . 4  |-  ( ( Fun  Clsd  /\  K  e.  ( Clsd " (TopOn `  B ) ) )  ->  E. a  e.  (TopOn `  B ) ( Clsd `  a )  =  K )
53, 4mpan 670 . . 3  |-  ( K  e.  ( Clsd " (TopOn `  B ) )  ->  E. a  e.  (TopOn `  B ) ( Clsd `  a )  =  K )
6 cldmreon 19401 . . . . . 6  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( Clsd `  a )  e.  (Moore `  B ) )
7 topontop 19234 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  a  e.  Top )
8 0cld 19345 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  a )
)
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  (/)  e.  (
Clsd `  a )
)
10 uncld 19348 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( Clsd `  a )  /\  y  e.  ( Clsd `  a
) )  ->  (
x  u.  y )  e.  ( Clsd `  a
) )
1110adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  (TopOn `  B )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  a )  /\  y  e.  ( Clsd `  a
) ) )  -> 
( x  u.  y
)  e.  ( Clsd `  a ) )
1211ralrimivva 2885 . . . . . 6  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  A. x  e.  ( Clsd `  a
) A. y  e.  ( Clsd `  a
) ( x  u.  y )  e.  (
Clsd `  a )
)
136, 9, 123jca 1176 . . . . 5  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( ( Clsd `  a )  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  ( Clsd `  a )  /\  A. x  e.  ( Clsd `  a ) A. y  e.  ( Clsd `  a
) ( x  u.  y )  e.  (
Clsd `  a )
) )
14 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( (
Clsd `  a )  e.  (Moore `  B )  <->  K  e.  (Moore `  B
) ) )
15 eleq2 2540 . . . . . 6  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( (/)  e.  ( Clsd `  a
)  <->  (/)  e.  K ) )
16 eleq2 2540 . . . . . . . 8  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( ( x  u.  y )  e.  ( Clsd `  a
)  <->  ( x  u.  y )  e.  K
) )
1716raleqbi1dv 3066 . . . . . . 7  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( A. y  e.  ( Clsd `  a ) ( x  u.  y )  e.  ( Clsd `  a
)  <->  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K ) )
1817raleqbi1dv 3066 . . . . . 6  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( A. x  e.  ( Clsd `  a ) A. y  e.  ( Clsd `  a
) ( x  u.  y )  e.  (
Clsd `  a )  <->  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) )
1914, 15, 183anbi123d 1299 . . . . 5  |-  ( (
Clsd `  a )  =  K  ->  ( ( ( Clsd `  a
)  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  (
Clsd `  a )  /\  A. x  e.  (
Clsd `  a ) A. y  e.  ( Clsd `  a ) ( x  u.  y )  e.  ( Clsd `  a
) )  <->  ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) ) )
2013, 19syl5ibcom 220 . . . 4  |-  ( a  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( ( Clsd `  a )  =  K  ->  ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) ) )
2120rexlimiv 2949 . . 3  |-  ( E. a  e.  (TopOn `  B ) ( Clsd `  a )  =  K  ->  ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) )
225, 21syl 16 . 2  |-  ( K  e.  ( Clsd " (TopOn `  B ) )  -> 
( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K ) )
23 simp1 996 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  K  e.  (Moore `  B ) )
24 simp2 997 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  (/)  e.  K )
25 uneq1 3651 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  (
x  u.  y )  =  ( b  u.  y ) )
2625eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  b  ->  (
( x  u.  y
)  e.  K  <->  ( b  u.  y )  e.  K
) )
27 uneq2 3652 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  c  ->  (
b  u.  y )  =  ( b  u.  c ) )
2827eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  c  ->  (
( b  u.  y
)  e.  K  <->  ( b  u.  c )  e.  K
) )
2926, 28rspc2v 3223 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  K  /\  c  e.  K )  ->  ( A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y )  e.  K  ->  ( b  u.  c
)  e.  K ) )
3029com12 31 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K  ->  (
( b  e.  K  /\  c  e.  K
)  ->  ( b  u.  c )  e.  K
) )
31303ad2ant3 1019 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  ( ( b  e.  K  /\  c  e.  K )  ->  (
b  u.  c )  e.  K ) )
32313impib 1194 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  /\  b  e.  K  /\  c  e.  K
)  ->  ( b  u.  c )  e.  K
)
33 eqid 2467 . . . . 5  |-  { a  e.  ~P B  | 
( B  \  a
)  e.  K }  =  { a  e.  ~P B  |  ( B  \  a )  e.  K }
3423, 24, 32, 33mretopd 19399 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  ( { a  e.  ~P B  | 
( B  \  a
)  e.  K }  e.  (TopOn `  B )  /\  K  =  ( Clsd `  { a  e. 
~P B  |  ( B  \  a )  e.  K } ) ) )
3534simprd 463 . . 3  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  K  =  (
Clsd `  { a  e.  ~P B  |  ( B  \  a )  e.  K } ) )
3634simpld 459 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  { a  e. 
~P B  |  ( B  \  a )  e.  K }  e.  (TopOn `  B ) )
377ssriv 3508 . . . . . 6  |-  (TopOn `  B )  C_  Top
38 fndm 5680 . . . . . . 7  |-  ( Clsd 
Fn  Top  ->  dom  Clsd  =  Top )
391, 38ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  Clsd  =  Top
4037, 39sseqtr4i 3537 . . . . 5  |-  (TopOn `  B )  C_  dom  Clsd
41 funfvima2 6137 . . . . 5  |-  ( ( Fun  Clsd  /\  (TopOn `  B )  C_  dom  Clsd )  ->  ( {
a  e.  ~P B  |  ( B  \ 
a )  e.  K }  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( Clsd `  { a  e.  ~P B  |  ( B  \  a )  e.  K } )  e.  (
Clsd " (TopOn `  B
) ) ) )
423, 40, 41mp2an 672 . . . 4  |-  ( { a  e.  ~P B  |  ( B  \ 
a )  e.  K }  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( Clsd `  { a  e.  ~P B  |  ( B  \  a )  e.  K } )  e.  (
Clsd " (TopOn `  B
) ) )
4336, 42syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  ( Clsd `  {
a  e.  ~P B  |  ( B  \ 
a )  e.  K } )  e.  (
Clsd " (TopOn `  B
) ) )
4435, 43eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  ( x  u.  y
)  e.  K )  ->  K  e.  (
Clsd " (TopOn `  B
) ) )
4522, 44impbii 188 1  |-  ( K  e.  ( Clsd " (TopOn `  B ) )  <->  ( K  e.  (Moore `  B )  /\  (/)  e.  K  /\  A. x  e.  K  A. y  e.  K  (
x  u.  y )  e.  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   dom cdm 4999   "cima 5002   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   ` cfv 5588  Moorecmre 14840   Topctop 19201  TopOnctopon 19202   Clsdccld 19323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-fv 5596  df-mre 14844  df-top 19206  df-topon 19209  df-cld 19326
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