Theorem iscld 8945

Description: The predicate "S is a closed set."

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
iscld	|- (J e. Top -> (S e. (Clsd` J) <-> (S C_ X /\ (X \ S) e. J)))

Proof of Theorem iscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscld.1	. . . 4 |- X = U.J
2	1	cldval 8942	. . 3 |- (J e. Top -> (Clsd` J) = {x | (x C_ X /\ (X \ x) e. J)})
3	2	eleq2d 1964	. 2 |- (J e. Top -> (S e. (Clsd` J) <-> S e. {x | (x C_ X /\ (X \ x) e. J)}))
4		elisset 2299	. . . 4 |- (S e. {x | (x C_ X /\ (X \ x) e. J)} -> S e. _V)
5	4	adantl 424	. . 3 |- ((J e. Top /\ S e. {x | (x C_ X /\ (X \ x) e. J)}) -> S e. _V)
6		ssexg 3457	. . . . . 6 |- ((S C_ X /\ X e. _V) -> S e. _V)
7	6	ancoms 484	. . . . 5 |- ((X e. _V /\ S C_ X) -> S e. _V)
8		uniexg 3795	. . . . . 6 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
9	8, 1	syl5eqel 1975	. . . . 5 |- (J e. Top -> X e. _V)
10	7, 9	sylan 497	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> S e. _V)
11	10	adantrr 431	. . 3 |- ((J e. Top /\ (S C_ X /\ (X \ S) e. J)) -> S e. _V)
12		sseq1 2637	. . . . 5 |- (x = S -> (x C_ X <-> S C_ X))
13		difeq2 2719	. . . . . 6 |- (x = S -> (X \ x) = (X \ S))
14	13	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (x = S -> ((X \ x) e. J <-> (X \ S) e. J))
15	12, 14	anbi12d 690	. . . 4 |- (x = S -> ((x C_ X /\ (X \ x) e. J) <-> (S C_ X /\ (X \ S) e. J)))
16	15	elabg 2405	. . 3 |- (S e. _V -> (S e. {x | (x C_ X /\ (X \ x) e. J)} <-> (S C_ X /\ (X \ S) e. J)))
17	5, 11, 16	pm5.21nd 744	. 2 |- (J e. Top -> (S e. {x | (x C_ X /\ (X \ x) e. J)} <-> (S C_ X /\ (X \ S) e. J)))
18	3, 17	bitrd 587	1 |- (J e. Top -> (S e. (Clsd` J) <-> (S C_ X /\ (X \ S) e. J)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  Clsdccld 8936

This theorem is referenced by:  iscld2 8946  cldss 8947  cldopn 8948  topcld 8951  iincld 8955  islp2 9023  clint3 10184  subcld 10254  dtopcl 14948  hscptsscld 15434  ist1-2 15542  filcon 15580  ufcondr 15581  txcld 15914

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-cld 8939

Copyright terms: Public domain