Theorem isclati 16892

Description: Properties that determine a complete lattice.

Hypotheses

Ref	Expression
isclati.1	|- K e. PosetNEW
isclati.b	|- B = (base` K)
isclati.u	|- U = (lub` K)
isclati.g	|- G = (glb` K)
isclati.5	|- (s C_ B -> (U` s) e. B)
isclati.6	|- (s C_ B -> (G` s) e. B)

Assertion

Ref	Expression
isclati	|- K e. CLat

Distinct variable group:   K,s

Proof of Theorem isclati

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isclati.b	. . 3 |- B = (base` K)
2		isclati.u	. . 3 |- U = (lub` K)
3		isclati.g	. . 3 |- G = (glb` K)
4	1, 2, 3	isclat 16888	. 2 |- (K e. CLat <-> (K e. PosetNEW /\ A.s(s C_ B -> ((U` s) e. B /\ (G` s) e. B))))
5		isclati.1	. 2 |- K e. PosetNEW
6		isclati.5	. . . 4 |- (s C_ B -> (U` s) e. B)
7		isclati.6	. . . 4 |- (s C_ B -> (G` s) e. B)
8	6, 7	jca 310	. . 3 |- (s C_ B -> ((U` s) e. B /\ (G` s) e. B))
9	8	ax-gen 1305	. 2 |- A.s(s C_ B -> ((U` s) e. B /\ (G` s) e. B))
10	4, 5, 9	mpbir2an 800	1 |- K e. CLat

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  ` cfv 3998  basecbs 16758  PosetNEWcpo 16760  lubclub 16764  glbcglb 16765  CLatccla 16835

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-clat 16848

Copyright terms: Public domain