Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscgra1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem iscgra1 24931
 Description: A special version of iscgra 24930 where one distance is known to be equal. In this case, angle congruence can be written with only one quantifier. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iscgra.p
iscgra.i Itv
iscgra.k hlG
iscgra.g TarskiG
iscgra.a
iscgra.b
iscgra.c
iscgra.d
iscgra.e
iscgra.f
iscgra1.m
iscgra1.1
iscgra1.2
Assertion
Ref Expression
iscgra1 cgrA cgrG
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem iscgra1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscgra.p . . 3
2 iscgra.i . . 3 Itv
3 iscgra.k . . 3 hlG
4 iscgra.g . . 3 TarskiG
5 iscgra.a . . 3
6 iscgra.b . . 3
7 iscgra.c . . 3
8 iscgra.d . . 3
9 iscgra.e . . 3
10 iscgra.f . . 3
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10iscgra 24930 . 2 cgrA cgrG
129ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 cgrG
136ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 cgrG
145ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 cgrG
154ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 cgrG TarskiG
168ad3antrrr 744 . . . . . . . 8 cgrG
17 iscgra1.m . . . . . . . 8
18 simpllr 777 . . . . . . . . 9 cgrG
19 simpr2 1037 . . . . . . . . 9 cgrG
201, 2, 3, 18, 16, 12, 15, 19hlne2 24730 . . . . . . . 8 cgrG
21 iscgra1.2 . . . . . . . . . . . 12
2221ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11 cgrG
2322eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10 cgrG
241, 17, 2, 15, 16, 12, 14, 13, 23, 20tgcgrneq 24606 . . . . . . . . 9 cgrG
2524necomd 2698 . . . . . . . 8 cgrG
261, 2, 3, 16, 12, 12, 15, 20hlid 24733 . . . . . . . 8 cgrG
27 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 cgrG cgrG
287ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11 cgrG
29 simplr 770 . . . . . . . . . . 11 cgrG
30 simpr1 1036 . . . . . . . . . . 11 cgrG cgrG
311, 17, 2, 27, 15, 14, 13, 28, 18, 12, 29, 30cgr3simp1 24644 . . . . . . . . . 10 cgrG
3231eqcomd 2477 . . . . . . . . 9 cgrG
331, 17, 2, 15, 18, 12, 14, 13, 32tgcgrcomlr 24603 . . . . . . . 8 cgrG
341, 17, 2, 15, 16, 12, 14, 13, 23tgcgrcomlr 24603 . . . . . . . 8 cgrG
351, 2, 3, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 25, 18, 16, 19, 26, 33, 34hlcgreulem 24741 . . . . . . 7 cgrG
36 simpr3 1038 . . . . . . 7 cgrG
3735, 30, 36jca32 544 . . . . . 6 cgrG cgrG
38 simprrl 782 . . . . . . 7 cgrG cgrG
39 id 22 . . . . . . . . 9
4039ad2antrl 742 . . . . . . . 8 cgrG
418ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9 cgrG
429ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9 cgrG
434ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9 cgrG TarskiG
44 iscgra1.1 . . . . . . . . . . 11
451, 17, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 21, 44tgcgrneq 24606 . . . . . . . . . 10
4645ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9 cgrG
471, 2, 3, 41, 41, 42, 43, 46hlid 24733 . . . . . . . 8 cgrG
4840, 47eqbrtrd 4416 . . . . . . 7 cgrG
49 simprrr 783 . . . . . . 7 cgrG
5038, 48, 493jca 1210 . . . . . 6 cgrG cgrG
5137, 50impbida 850 . . . . 5 cgrG cgrG
5251rexbidva 2889 . . . 4 cgrG cgrG
53 r19.42v 2931 . . . 4 cgrG cgrG
5452, 53syl6bb 269 . . 3 cgrG cgrG
5554rexbidva 2889 . 2 cgrG cgrG
56 eqidd 2472 . . . . . . . 8
57 eqidd 2472 . . . . . . . 8
5839, 56, 57s3eqd 13019 . . . . . . 7
5958breq2d 4407 . . . . . 6 cgrG cgrG
6059anbi1d 719 . . . . 5 cgrG cgrG
6160rexbidv 2892 . . . 4 cgrG cgrG
6261ceqsrexv 3160 . . 3 cgrG cgrG
638, 62syl 17 . 2 cgrG cgrG
6411, 55, 633bitrd 287 1 cgrA cgrG
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wrex 2757   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308  cs3 12997  cbs 15199  cds 15277  TarskiGcstrkg 24557  Itvcitv 24563  cgrGccgrg 24634  hlGchlg 24724  cgrAccgra 24928 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-s2 13003  df-s3 13004  df-trkgc 24575  df-trkgb 24576  df-trkgcb 24577  df-trkg 24580  df-cgrg 24635  df-hlg 24725  df-cgra 24929 This theorem is referenced by:  acopyeu  24954
 Copyright terms: Public domain W3C validator