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Theorem iscfil3 21475
Description: A filter is Cauchy iff it contains a ball of any chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscfil3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) ) )
Distinct variable groups:    x, r, F    X, r, x    D, r, x

Proof of Theorem iscfil3
Dummy variables  u  s  v  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfilfil 21469 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2 cfil3i 21471 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F
)
323expa 1196 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) r )  e.  F )
43ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F
)
51, 4jca 532 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  -> 
( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) r )  e.  F ) )
6 simprl 755 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
7 rphalfcl 11244 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( s  /  2 )  e.  RR+ )
87adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR+ )
9 oveq2 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( s  / 
2 )  ->  (
x ( ball `  D
) r )  =  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) )
109eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( s  / 
2 )  ->  (
( x ( ball `  D ) r )  e.  F  <->  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) )  e.  F
) )
1110rexbidv 2973 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( s  / 
2 )  ->  ( E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) r )  e.  F  <->  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) )  e.  F
) )
1211rspcv 3210 . . . . . . 7  |-  ( ( s  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )
138, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )
14 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  ->  ( x (
ball `  D )
( s  /  2
) )  e.  F
)
15 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
16 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  x  e.  X )
17 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  s  e.  RR+ )
1817rpred 11256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  s  e.  RR )
19 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) )
20 blhalf 20671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
s  e.  RR  /\  u  e.  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) ) ) )  ->  ( x (
ball `  D )
( s  /  2
) )  C_  (
u ( ball `  D
) s ) )
2115, 16, 18, 19, 20syl22anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) )  C_  (
u ( ball `  D
) s ) )
22 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  v  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) )
2321, 22sseldd 3505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  v  e.  ( u ( ball `  D ) s ) )
2417rpxrd 11257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  s  e.  RR* )
2517, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR+ )
2625rpxrd 11257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( s  /  2 )  e. 
RR* )
27 blssm 20684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( s  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) 
C_  X )
2815, 16, 26, 27syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) )  C_  X
)
2928, 19sseldd 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  u  e.  X )
3028, 22sseldd 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  v  e.  X )
31 elbl2 20656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  s  e.  RR* )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X ) )  -> 
( v  e.  ( u ( ball `  D
) s )  <->  ( u D v )  < 
s ) )
3215, 24, 29, 30, 31syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( v  e.  ( u ( ball `  D ) s )  <-> 
( u D v )  <  s ) )
3323, 32mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( u D v )  < 
s )
3433ralrimivva 2885 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  ->  A. u  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) A. v  e.  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) ) ( u D v )  < 
s )
35 raleq 3058 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x (
ball `  D )
( s  /  2
) )  ->  ( A. v  e.  y 
( u D v )  <  s  <->  A. v  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) ( u D v )  <  s ) )
3635raleqbi1dv 3066 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x (
ball `  D )
( s  /  2
) )  ->  ( A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u D v )  <  s  <->  A. u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) A. v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ( u D v )  <  s ) )
3736rspcev 3214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F  /\  A. u  e.  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) ) A. v  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) ( u D v )  <  s )  ->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u D v )  <  s )
3814, 34, 37syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  ->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u D v )  <  s )
3938rexlimdvaa 2956 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( E. x  e.  X  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) )  e.  F  ->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
s ) )
4013, 39syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F  ->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u D v )  <  s ) )
4140ralrimdva 2882 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F  ->  A. s  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  (
u D v )  <  s ) )
4241impr 619 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) )  ->  A. s  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  <  s
)
43 iscfil2 21468 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. s  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  <  s
) ) )
4443adantr 465 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. s  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  <  s
) ) )
456, 42, 44mpbir2and 920 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) )  ->  F  e.  (CauFil `  D )
)
465, 45impbida 830 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   RR*cxr 9627    < clt 9628    / cdiv 10206   2c2 10585   RR+crp 11220   *Metcxmt 18202   ballcbl 18204   Filcfil 20109  CauFilccfil 21454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-2 10594  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ico 11535  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-bl 18213  df-fbas 18215  df-fil 20110  df-cfil 21457
This theorem is referenced by:  equivcfil  21501  flimcfil  21515
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