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Theorem iscfil3 22321
Description: A filter is Cauchy iff it contains a ball of any chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscfil3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) ) )
Distinct variable groups:    x, r, F    X, r, x    D, r, x

Proof of Theorem iscfil3
Dummy variables  u  s  v  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfilfil 22315 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2 cfil3i 22317 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F
)
323expa 1231 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) r )  e.  F )
43ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F
)
51, 4jca 541 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  -> 
( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) r )  e.  F ) )
6 simprl 772 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
7 rphalfcl 11350 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( s  /  2 )  e.  RR+ )
87adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR+ )
9 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( s  / 
2 )  ->  (
x ( ball `  D
) r )  =  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) )
109eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( s  / 
2 )  ->  (
( x ( ball `  D ) r )  e.  F  <->  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) )  e.  F
) )
1110rexbidv 2892 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( s  / 
2 )  ->  ( E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) r )  e.  F  <->  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) )  e.  F
) )
1211rspcv 3132 . . . . . . 7  |-  ( ( s  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )
138, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )
14 simprr 774 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  ->  ( x (
ball `  D )
( s  /  2
) )  e.  F
)
15 simp-4l 784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
16 simplrl 778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  x  e.  X )
17 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  s  e.  RR+ )
1817rpred 11364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  s  e.  RR )
19 simprl 772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) )
20 blhalf 21498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
s  e.  RR  /\  u  e.  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) ) ) )  ->  ( x (
ball `  D )
( s  /  2
) )  C_  (
u ( ball `  D
) s ) )
2115, 16, 18, 19, 20syl22anc 1293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) )  C_  (
u ( ball `  D
) s ) )
22 simprr 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  v  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) )
2321, 22sseldd 3419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  v  e.  ( u ( ball `  D ) s ) )
2417rpxrd 11365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  s  e.  RR* )
2517, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR+ )
2625rpxrd 11365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( s  /  2 )  e. 
RR* )
27 blssm 21511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( s  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) 
C_  X )
2815, 16, 26, 27syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) )  C_  X
)
2928, 19sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  u  e.  X )
3028, 22sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  v  e.  X )
31 elbl2 21483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  s  e.  RR* )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X ) )  -> 
( v  e.  ( u ( ball `  D
) s )  <->  ( u D v )  < 
s ) )
3215, 24, 29, 30, 31syl22anc 1293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( v  e.  ( u ( ball `  D ) s )  <-> 
( u D v )  <  s ) )
3323, 32mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( u D v )  < 
s )
3433ralrimivva 2814 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  ->  A. u  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) A. v  e.  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) ) ( u D v )  < 
s )
35 raleq 2973 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x (
ball `  D )
( s  /  2
) )  ->  ( A. v  e.  y 
( u D v )  <  s  <->  A. v  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) ( u D v )  <  s ) )
3635raleqbi1dv 2981 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x (
ball `  D )
( s  /  2
) )  ->  ( A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u D v )  <  s  <->  A. u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) A. v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ( u D v )  <  s ) )
3736rspcev 3136 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F  /\  A. u  e.  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) ) A. v  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) ( u D v )  <  s )  ->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u D v )  <  s )
3814, 34, 37syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  ->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u D v )  <  s )
3938rexlimdvaa 2872 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( E. x  e.  X  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) )  e.  F  ->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
s ) )
4013, 39syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F  ->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u D v )  <  s ) )
4140ralrimdva 2812 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F  ->  A. s  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  (
u D v )  <  s ) )
4241impr 631 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) )  ->  A. s  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  <  s
)
43 iscfil2 22314 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. s  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  <  s
) ) )
4443adantr 472 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. s  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  <  s
) ) )
456, 42, 44mpbir2and 936 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) )  ->  F  e.  (CauFil `  D )
)
465, 45impbida 850 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3390   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   RR*cxr 9692    < clt 9693    / cdiv 10291   2c2 10681   RR+crp 11325   *Metcxmt 19032   ballcbl 19034   Filcfil 20938  CauFilccfil 22300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-2 10690  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-bl 19042  df-fbas 19044  df-fil 20939  df-cfil 22303
This theorem is referenced by:  equivcfil  22347  flimcfil  22361
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