MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscfil Structured version   Unicode version

Theorem iscfil 20776
Description: The property of being a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscfil  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, X, y    x, D, y

Proof of Theorem iscfil
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfilfval 20775 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (CauFil `  D )  =  {
f  e.  ( Fil `  X )  |  A. x  e.  RR+  E. y  e.  f  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) } )
21eleq2d 2510 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  F  e.  { f  e.  ( Fil `  X
)  |  A. x  e.  RR+  E. y  e.  f  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) } ) )
3 rexeq 2918 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( E. y  e.  f 
( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x )  <->  E. y  e.  F  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )
43ralbidv 2735 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  f  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )
54elrab 3117 . 2  |-  ( F  e.  { f  e.  ( Fil `  X
)  |  A. x  e.  RR+  E. y  e.  f  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) }  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )
62, 5syl6bb 261 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719    C_ wss 3328    X. cxp 4838   "cima 4843   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   0cc0 9282   RR+crp 10991   [,)cico 11302   *Metcxmt 17801   Filcfil 19418  CauFilccfil 20763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-map 7216  df-xr 9422  df-xmet 17810  df-cfil 20766
This theorem is referenced by:  iscfil2  20777  cfilfil  20778  cfilss  20781  cfilucfil3OLD  20829  cfilucfil3  20830  cmetcuspOLD  20865  cmetcusp  20866
  Copyright terms: Public domain W3C validator