Theorem iscaunns 9222

Description: Express the property "F is a Cauchy sequence of metric D."

Hypotheses

Ref	Expression
lmbrnns.1	|- X = dom dom D
lmbrnns.2	|- (k e. NN -> A = (F` k))

Assertion

Ref	Expression
iscaunns	|- ((D e. Met /\ F:NN-->X) -> (F e. (Cau` D) <-> A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ([_j / k]_ADA) < x)))

Distinct variable groups:   j,k,x,D   j,F,k,x   j,X,k,x

Proof of Theorem iscaunns

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbrnns.1	. . . 4 |- X = dom dom D
2		1z 7368	. . . 4 |- 1 e. ZZ
3		nnuz 7608	. . . 4 |- NN = (ZZ>=` 1)
4	1, 2, 3	iscau3 9216	. . 3 |- (D e. Met -> (F e. (Cau` D) <-> (F C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))))
5	4	adantr 425	. 2 |- ((D e. Met /\ F:NN-->X) -> (F e. (Cau` D) <-> (F C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))))
6		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (j e. NN -> A.k j e. NN)
7		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- j e. _V
8		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y e. j -> A.k y e. j)
9	7, 8	hbcsb1 2568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. [_j / k]_A -> A.k y e. [_j / k]_A)
10		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. (F` j) -> A.k y e. (F` j))
11	9, 10	hbeq 1995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ([_j / k]_A = (F` j) -> A.k[_j / k]_A = (F` j))
12	6, 11	hbim 1354	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((j e. NN -> [_j / k]_A = (F` j)) -> A.k(j e. NN -> [_j / k]_A = (F` j)))
13		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k = j -> (k e. NN <-> j e. NN))
14		csbeq1a 2546	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k = j -> A = [_j / k]_A)
15		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k = j -> (F` k) = (F` j))
16	14, 15	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k = j -> (A = (F` k) <-> [_j / k]_A = (F` j)))
17	13, 16	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k = j -> ((k e. NN -> A = (F` k)) <-> (j e. NN -> [_j / k]_A = (F` j))))
18		lmbrnns.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. NN -> A = (F` k))
19	12, 17, 18	chvar 1530	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (j e. NN -> [_j / k]_A = (F` j))
20	19, 18	opreqan12d 4902	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> ([_j / k]_ADA) = ((F` j)D(F` k)))
21	20	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . 12 |- ((j e. NN /\ k e. NN) -> (([_j / k]_ADA) < x <-> ((F` j)D(F` k)) < x))
22	21	adantll 428	. . . . . . . . . . 11 |- (((F:NN-->X /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (([_j / k]_ADA) < x <-> ((F` j)D(F` k)) < x))
23		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F:NN-->X /\ j e. NN) -> (F` j) e. X)
24		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F:NN-->X /\ k e. NN) -> (F` k) e. X)
25	23, 24	anim12i 360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F:NN-->X /\ j e. NN) /\ (F:NN-->X /\ k e. NN)) -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X))
26	25	anandis 570	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F:NN-->X /\ (j e. NN /\ k e. NN)) -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X))
27	26	anassrs 489	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F:NN-->X /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X))
28	27	biantrurd 796	. . . . . . . . . . 11 |- (((F:NN-->X /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (((F` j)D(F` k)) < x <-> (((F` j) e. X /\ (F` k) e. X) /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))
29	22, 28	bitrd 587	. . . . . . . . . 10 |- (((F:NN-->X /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (([_j / k]_ADA) < x <-> (((F` j) e. X /\ (F` k) e. X) /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))
30		df-3an 860	. . . . . . . . . 10 |- (((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x) <-> (((F` j) e. X /\ (F` k) e. X) /\ ((F` j)D(F` k)) < x))
31	29, 30	syl6bbr 597	. . . . . . . . 9 |- (((F:NN-->X /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (([_j / k]_ADA) < x <-> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))
32	31	imbi2d 674	. . . . . . . 8 |- (((F:NN-->X /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> ((j <_ k -> ([_j / k]_ADA) < x) <-> (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))
33	32	ralbidva 2119	. . . . . . 7 |- ((F:NN-->X /\ j e. NN) -> (A.k e. NN (j <_ k -> ([_j / k]_ADA) < x) <-> A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))
34	33	rexbidva 2120	. . . . . 6 |- (F:NN-->X -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ([_j / k]_ADA) < x) <-> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))
35	34	ralbidv 2123	. . . . 5 |- (F:NN-->X -> (A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ([_j / k]_ADA) < x) <-> A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))
36		ralrp 7246	. . . . 5 |- (A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))
37	35, 36	syl6bb 595	. . . 4 |- (F:NN-->X -> (A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ([_j / k]_ADA) < x) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))))
38		sstr 2625	. . . . . 6 |- ((F C_ (NN X. X) /\ (NN X. X) C_ (CC X. X)) -> F C_ (CC X. X))
39		fssxp 4575	. . . . . 6 |- (F:NN-->X -> F C_ (NN X. X))
40		nnsscn 7111	. . . . . . 7 |- NN C_ CC
41		ssid 2634	. . . . . . 7 |- X C_ X
42		xpss12 4089	. . . . . . 7 |- ((NN C_ CC /\ X C_ X) -> (NN X. X) C_ (CC X. X))
43	40, 41, 42	mp2an 761	. . . . . 6 |- (NN X. X) C_ (CC X. X)
44	38, 39, 43	sylancl 525	. . . . 5 |- (F:NN-->X -> F C_ (CC X. X))
45	44	biantrurd 796	. . . 4 |- (F:NN-->X -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))) <-> (F C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))))
46	37, 45	bitrd 587	. . 3 |- (F:NN-->X -> (A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ([_j / k]_ADA) < x) <-> (F C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))))
47	46	adantl 424	. 2 |- ((D e. Met /\ F:NN-->X) -> (A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ([_j / k]_ADA) < x) <-> (F C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))))
48	5, 47	bitr4d 590	1 |- ((D e. Met /\ F:NN-->X) -> (F e. (Cau` D) <-> A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ([_j / k]_ADA) < x)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  [_csb 2540   C_ wss 2593   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  dom cdm 3986  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   <_ cle 6448  NNcn 6449  RR+crp 6453   < clt 6653  Metcme 9066  Caucca 9198

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-rp 7232  df-z 7345  df-uz 7587  df-met 9070  df-cau 9201

Copyright terms: Public domain