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Theorem iscauf 21845
Description: Express the property " F is a Cauchy sequence of metric  D " presupposing  F is a function. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iscau3.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
iscau3.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iscau4.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
iscau4.6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  B )
iscauf.7  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
Assertion
Ref Expression
iscauf  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( B D A )  <  x ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, D    j, F, k, x    ph, j, k, x   
j, X, k, x   
j, M    j, Z, k, x
Allowed substitution hints:    A( x, j, k)    B( x, j, k)    M( x, k)

Proof of Theorem iscauf
StepHypRef Expression
1 iscau3.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
2 elfvdm 5898 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  dom  *Met )
4 cnex 9590 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
53, 4jctir 538 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  dom  *Met  /\  CC  e.  _V ) )
6 iscauf.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
7 iscau3.2 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
8 uzssz 11125 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
9 zsscn 10893 . . . . . . 7  |-  ZZ  C_  CC
108, 9sstri 3508 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
117, 10eqsstri 3529 . . . . 5  |-  Z  C_  CC
126, 11jctir 538 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )
13 elpm2r 7455 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  dom  *Met  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)
145, 12, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
1514biantrurd 508 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) ) )
161adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
17 iscau4.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  B )
1817adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( F `  j )  =  B )
196adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  F : Z --> X )
20 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  j  e.  Z )
2119, 20ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( F `  j )  e.  X )
2218, 21eqeltrrd 2546 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  B  e.  X )
237uztrn2 11123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
24 iscau4.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
2523, 24sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( F `  k )  =  A )
26 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : Z --> X  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  X )
276, 23, 26syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( F `  k )  e.  X )
2825, 27eqeltrrd 2546 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  A  e.  X )
29 xmetsym 20976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( B D A )  =  ( A D B ) )
3016, 22, 28, 29syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( B D A )  =  ( A D B ) )
3130breq1d 4466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( B D A )  <  x  <->  ( A D B )  <  x
) )
32 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : Z --> X  ->  dom  F  =  Z )
3332eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Z --> X  -> 
( k  e.  dom  F  <-> 
k  e.  Z ) )
3433biimpar 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : Z --> X  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  dom  F
)
356, 23, 34syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  k  e.  dom  F )
3635, 28jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
k  e.  dom  F  /\  A  e.  X
) )
3736biantrurd 508 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( A D B )  <  x  <->  ( (
k  e.  dom  F  /\  A  e.  X
)  /\  ( A D B )  <  x
) ) )
38 df-3an 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x )  <-> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  A  e.  X )  /\  ( A D B )  < 
x ) )
3937, 38syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( A D B )  <  x  <->  ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  < 
x ) ) )
4031, 39bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( B D A )  <  x  <->  ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  < 
x ) ) )
4140anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( B D A )  < 
x  <->  ( k  e. 
dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  < 
x ) ) )
4241ralbidva 2893 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( B D A )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) )
4342rexbidva 2965 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( B D A )  <  x  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) )
4443ralbidv 2896 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( B D A )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) )
45 iscau3.4 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
467, 1, 45, 24, 17iscau4 21844 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) ) )
4715, 44, 463bitr4rd 286 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( B D A )  <  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^pm cpm 7439   CCcc 9507    < clt 9645   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   *Metcxmt 18530   Caucca 21818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-2 10615  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-bl 18541  df-cau 21821
This theorem is referenced by:  iscmet3lem1  21856  causs  21863  caubl  21872  minvecolem3  25919  h2hcau  26023  geomcau  30457  caushft  30459  rrncmslem  30533
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