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Theorem iscau4 20921
Description: Express the property " F is a Cauchy sequence of metric  D," using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iscau3.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
iscau3.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iscau4.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
iscau4.6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  B )
Assertion
Ref Expression
iscau4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, D    j, F, k, x    ph, j, k, x   
j, X, k, x   
j, M    j, Z, k, x
Allowed substitution hints:    A( x, j, k)    B( x, j, k)    M( x, k)

Proof of Theorem iscau4
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscau3.2 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 iscau3.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
3 iscau3.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
41, 2, 3iscau3 20920 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) ) )
5 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
65, 1syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7 eluzelz 10980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
8 uzid 10985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
96, 7, 83syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
10 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  ( ZZ>=
`  k )  =  ( ZZ>= `  j )
)
11 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
1211oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  =  ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )
1312breq1d 4409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x  <->  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
1410, 13raleqbidv 3035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
1514rspcv 3173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
169, 15syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
18 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
1918oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 m ) )  =  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) ) )
2019breq1d 4409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  x  <->  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  < 
x ) )
2120cbvralv 3051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  j
) D ( F `
 k ) )  <  x )
22 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
2322ralimi 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  X )
2411eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  j )  e.  X
) )
2524rspcv 3173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  X  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
269, 23, 25syl2im 38 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
2726imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
)
28 r19.26 2953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  <  x
)  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  <  x ) )
292ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j
)  e.  X )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
30 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j
)  e.  X )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  -> 
( F `  j
)  e.  X )
31 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j
)  e.  X )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  -> 
( F `  k
)  e.  X )
32 xmetsym 20053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  =  ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )
3329, 30, 31, 32syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j
)  e.  X )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  =  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )
3433breq1d 4409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j
)  e.  X )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  <  x  <->  ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
3534biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j
)  e.  X )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  <  x  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
3635expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j )  e.  X )  ->  (
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (
( F `  j
) D ( F `
 k ) )  <  x )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
3736ralimdv 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j )  e.  X )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  < 
x )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
3828, 37syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j )  e.  X )  ->  (
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  <  x )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
3938expd 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j )  e.  X )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  <  x  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
4039impancom 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( ( F `
 j )  e.  X  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  < 
x  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
4127, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  <  x  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
4221, 41syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  x  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
4317, 42syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
4443imdistanda 693 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
45 r19.26 2953 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  <-> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
46 r19.26 2953 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  <  x
)  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
4744, 45, 463imtr4g 270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
x ) ) )
48 df-3an 967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
4948ralbii 2838 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
50 df-3an 967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
5150ralbii 2838 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
5247, 49, 513imtr4g 270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5352reximdva 2932 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5453ralimdv 2833 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5554anim2d 565 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )  -> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
564, 55sylbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) ) )
57 uzssz 10990 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
581, 57eqsstri 3493 . . . . . . . 8  |-  Z  C_  ZZ
59 ssrexv 3524 . . . . . . . 8  |-  ( Z 
C_  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
6160ralimi 2818 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
6261anim2i 569 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
63 iscau2 20919 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
6462, 63syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )  ->  F  e.  ( Cau `  D ) ) )
652, 64syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )  ->  F  e.  ( Cau `  D ) ) )
6656, 65impbid 191 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
67 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
j  e.  Z )
681uztrn2 10988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
6967, 68jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( j  e.  Z  /\  k  e.  Z
) )
70 iscau4.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
7170adantrl 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( F `  k
)  =  A )
7271eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( F `  k )  e.  X  <->  A  e.  X ) )
73 iscau4.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  B )
7473adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( F `  j
)  =  B )
7571, 74oveq12d 6217 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  =  ( A D B ) )
7675breq1d 4409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  <  x  <->  ( A D B )  <  x ) )
7772, 763anbi23d 1293 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  < 
x ) ) )
7869, 77sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) )
7978anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) )
8079ralbidva 2843 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) )
8180rexbidva 2861 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) )
8281ralbidv 2845 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) )
8382anbi2d 703 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) ) )
8466, 83bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   E.wrex 2799    C_ wss 3435   class class class wbr 4399   dom cdm 4947   ` cfv 5525  (class class class)co 6199    ^pm cpm 7324   CCcc 9390    < clt 9528   ZZcz 10756   ZZ>=cuz 10971   RR+crp 11101   *Metcxmt 17925   Caucca 20895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-2 10490  df-z 10757  df-uz 10972  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-bl 17936  df-cau 20898
This theorem is referenced by:  iscauf  20922  cmetcaulem  20930  caures  28803  caushft  28804
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