MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscau3 Structured version   Unicode version

Theorem iscau3 20792
Description: Express the Cauchy sequence property in the more conventional three-quantifier form. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iscau3.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
iscau3.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
iscau3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, m, x, D    j, F, k, m, x    ph, j,
k, x    j, X, k, m, x    j, M   
j, Z, k, x
Allowed substitution hints:    ph( m)    M( x, k, m)    Z( m)

Proof of Theorem iscau3
StepHypRef Expression
1 iscau3.3 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
2 iscau2 20791 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
41adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
5 ssid 3378 . . . . . . 7  |-  ZZ  C_  ZZ
6 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
7 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  k )  =  ( F `  j )  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  j )  e.  X
) )
8 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  k )  =  ( F `  m )  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  m )  e.  X
) )
9 xmetsym 19925 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  =  ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )
109fveq2d 5698 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  (  _I  `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  =  (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) ) )
11 xmetsym 19925 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  m )  e.  X  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) )  =  ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )
1211fveq2d 5698 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  m )  e.  X  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  (  _I  `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  =  (  _I  `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) ) )
13 simp1 988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
14 simp2l 1014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( F `  k )  e.  X
)
15 simp3l 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( F `  j )  e.  X
)
16 xmetcl 19909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  e.  RR* )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  e. 
RR* )
18 simp2r 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( F `  m )  e.  X
)
19 xmetcl 19909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( F `  m
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) )  e.  RR* )
2013, 15, 18, 19syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  e. 
RR* )
21 simp3r 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  x  e.  RR )
2221rehalfcld 10574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( x  /  2 )  e.  RR )
2322rexrd 9436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( x  /  2 )  e. 
RR* )
24 xlt2add 11226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  e.  RR*  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  e.  RR* )  /\  ( ( x  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( x  /  2
)  e.  RR* )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) +e ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  < 
( ( x  / 
2 ) +e
( x  /  2
) ) ) )
2517, 20, 23, 23, 24syl22anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) +e ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  < 
( ( x  / 
2 ) +e
( x  /  2
) ) ) )
26 rexadd 11205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  /  2
)  e.  RR  /\  ( x  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( x  /  2 ) +e ( x  / 
2 ) )  =  ( ( x  / 
2 )  +  ( x  /  2 ) ) )
2722, 22, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
x  /  2 ) +e ( x  /  2 ) )  =  ( ( x  /  2 )  +  ( x  /  2
) ) )
2821recnd 9415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  x  e.  CC )
29282halvesd 10573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
x  /  2 )  +  ( x  / 
2 ) )  =  x )
3027, 29eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
x  /  2 ) +e ( x  /  2 ) )  =  x )
3130breq2d 4307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) +e ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  <  ( ( x  /  2 ) +e ( x  /  2 ) )  <-> 
( ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) +e
( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) )
32 xmettri 19929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X  /\  ( F `
 j )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <_  ( (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) +e ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) ) )
3313, 14, 18, 15, 32syl13anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <_ 
( ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) +e
( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) ) )
34 xmetcl 19909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  m
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  e.  RR* )
3513, 14, 18, 34syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  e. 
RR* )
3617, 20xaddcld 11267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) +e ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  e.  RR* )
3721rexrd 9436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  x  e.  RR* )
38 xrlelttr 11133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  e.  RR*  /\  (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) +e ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <_  (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) +e ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  /\  ( ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) ) +e ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  x )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <_  ( (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) +e ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  /\  ( ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) +e ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  < 
x )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
4033, 39mpand 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) +e ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
4131, 40sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) +e ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  <  ( ( x  /  2 ) +e ( x  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <  x
) )
4225, 41syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <  x
) )
43 ovex 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  e. 
_V
44 fvi 5751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  e.  _V  ->  (  _I  `  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  =  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I 
`  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  =  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )
4645breq1i 4302 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 )  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
( x  /  2
) )
47 ovex 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  e. 
_V
48 fvi 5751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) )  e.  _V  ->  (  _I  `  ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  =  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I 
`  ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  =  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )
5049breq1i 4302 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  ( x  / 
2 )  <->  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  < 
( x  /  2
) )
5146, 50anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  (  _I  `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  <->  ( (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  ( x  / 
2 )  /\  (
( F `  j
) D ( F `
 m ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
52 ovex 6119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  e. 
_V
53 fvi 5751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  e.  _V  ->  (  _I  `  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  =  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (  _I 
`  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  =  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )
5554breq1i 4302 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )
5642, 51, 553imtr4g 270 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
(  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  (  _I  `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
(  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
575, 6, 7, 8, 10, 12, 56cau3lem 12845 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (  _I  `  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) (  _I 
`  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
584, 57syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (  _I  `  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) (  _I 
`  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
5945breq1i 4302 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
x )
6059anbi2i 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
)  <->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
61 df-3an 967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
6260, 61bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
)  <->  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
6362ralbii 2742 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
)  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
6463rexbii 2743 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
)  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
6564ralbii 2742 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (  _I  `  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
6655ralbii 2742 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) (  _I 
`  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )
6766anbi2i 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
(  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x )  <-> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
68 df-3an 967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
6967, 68bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
(  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
7069ralbii 2742 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
(  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
7170rexbii 2743 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
(  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
7271ralbii 2742 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) (  _I 
`  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
7358, 65, 723bitr3g 287 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
74 iscau3.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7574adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  M  e.  ZZ )
76 iscau3.2 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
7776rexuz3 12839 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
7875, 77syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
7978ralbidv 2738 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
8073, 79bitr4d 256 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
8180pm5.32da 641 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) ) )
823, 81bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2718   E.wrex 2719   _Vcvv 2975   class class class wbr 4295    _I cid 4634   dom cdm 4843   ` cfv 5421  (class class class)co 6094    ^pm cpm 7218   CCcc 9283   RRcr 9284    + caddc 9288   RR*cxr 9420    < clt 9421    <_ cle 9422    / cdiv 9996   2c2 10374   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864   RR+crp 10994   +ecxad 11090   *Metcxmt 17804   Caucca 20767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-2 10383  df-z 10650  df-uz 10865  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-bl 17815  df-cau 20770
This theorem is referenced by:  iscau4  20793  caucfil  20797  cmetcaulem  20802  heibor1lem  28711
  Copyright terms: Public domain W3C validator