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Theorem iscau3 21694
Description: Express the Cauchy sequence property in the more conventional three-quantifier form. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iscau3.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
iscau3.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
iscau3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, m, x, D    j, F, k, m, x    ph, j,
k, x    j, X, k, m, x    j, M   
j, Z, k, x
Allowed substitution hints:    ph( m)    M( x, k, m)    Z( m)

Proof of Theorem iscau3
StepHypRef Expression
1 iscau3.3 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
2 iscau2 21693 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
41adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
5 ssid 3508 . . . . . . 7  |-  ZZ  C_  ZZ
6 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
7 eleq1 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  k )  =  ( F `  j )  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  j )  e.  X
) )
8 eleq1 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  k )  =  ( F `  m )  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  m )  e.  X
) )
9 xmetsym 20827 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  =  ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )
109fveq2d 5860 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  (  _I  `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  =  (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) ) )
11 xmetsym 20827 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  m )  e.  X  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) )  =  ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )
1211fveq2d 5860 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  m )  e.  X  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  (  _I  `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  =  (  _I  `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) ) )
13 simp1 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
14 simp2l 1023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( F `  k )  e.  X
)
15 simp3l 1025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( F `  j )  e.  X
)
16 xmetcl 20811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  e.  RR* )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  e. 
RR* )
18 simp2r 1024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( F `  m )  e.  X
)
19 xmetcl 20811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( F `  m
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) )  e.  RR* )
2013, 15, 18, 19syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  e. 
RR* )
21 simp3r 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  x  e.  RR )
2221rehalfcld 10792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( x  /  2 )  e.  RR )
2322rexrd 9646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( x  /  2 )  e. 
RR* )
24 xlt2add 11462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  e.  RR*  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  e.  RR* )  /\  ( ( x  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( x  /  2
)  e.  RR* )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) +e ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  < 
( ( x  / 
2 ) +e
( x  /  2
) ) ) )
2517, 20, 23, 23, 24syl22anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) +e ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  < 
( ( x  / 
2 ) +e
( x  /  2
) ) ) )
26 rexadd 11441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  /  2
)  e.  RR  /\  ( x  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( x  /  2 ) +e ( x  / 
2 ) )  =  ( ( x  / 
2 )  +  ( x  /  2 ) ) )
2722, 22, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
x  /  2 ) +e ( x  /  2 ) )  =  ( ( x  /  2 )  +  ( x  /  2
) ) )
2821recnd 9625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  x  e.  CC )
29282halvesd 10791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
x  /  2 )  +  ( x  / 
2 ) )  =  x )
3027, 29eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
x  /  2 ) +e ( x  /  2 ) )  =  x )
3130breq2d 4449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) +e ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  <  ( ( x  /  2 ) +e ( x  /  2 ) )  <-> 
( ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) +e
( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) )
32 xmettri 20831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X  /\  ( F `
 j )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <_  ( (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) +e ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) ) )
3313, 14, 18, 15, 32syl13anc 1231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <_ 
( ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) +e
( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) ) )
34 xmetcl 20811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  m
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  e.  RR* )
3513, 14, 18, 34syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  e. 
RR* )
3617, 20xaddcld 11503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) +e ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  e.  RR* )
3721rexrd 9646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  x  e.  RR* )
38 xrlelttr 11369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  e.  RR*  /\  (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) +e ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <_  (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) +e ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  /\  ( ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) ) +e ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  x )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <_  ( (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) +e ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  /\  ( ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) +e ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  < 
x )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
4033, 39mpand 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) +e ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
4131, 40sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) +e ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  <  ( ( x  /  2 ) +e ( x  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <  x
) )
4225, 41syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <  x
) )
43 ovex 6309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  e. 
_V
44 fvi 5915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  e.  _V  ->  (  _I  `  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  =  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I 
`  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  =  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )
4645breq1i 4444 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 )  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
( x  /  2
) )
47 ovex 6309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  e. 
_V
48 fvi 5915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) )  e.  _V  ->  (  _I  `  ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  =  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I 
`  ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  =  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )
5049breq1i 4444 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  ( x  / 
2 )  <->  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  < 
( x  /  2
) )
5146, 50anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  (  _I  `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  <->  ( (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  ( x  / 
2 )  /\  (
( F `  j
) D ( F `
 m ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
52 ovex 6309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  e. 
_V
53 fvi 5915 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  e.  _V  ->  (  _I  `  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  =  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (  _I 
`  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  =  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )
5554breq1i 4444 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )
5642, 51, 553imtr4g 270 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
(  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  (  _I  `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
(  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
575, 6, 7, 8, 10, 12, 56cau3lem 13168 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (  _I  `  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) (  _I 
`  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
584, 57syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (  _I  `  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) (  _I 
`  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
5945breq1i 4444 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
x )
6059anbi2i 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
)  <->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
61 df-3an 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
6260, 61bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
)  <->  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
6362ralbii 2874 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
)  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
6463rexbii 2945 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
)  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
6564ralbii 2874 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (  _I  `  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
6655ralbii 2874 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) (  _I 
`  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )
6766anbi2i 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
(  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x )  <-> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
68 df-3an 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
6967, 68bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
(  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
7069ralbii 2874 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
(  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
7170rexbii 2945 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
(  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
7271ralbii 2874 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) (  _I 
`  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
7358, 65, 723bitr3g 287 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
74 iscau3.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7574adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  M  e.  ZZ )
76 iscau3.2 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
7776rexuz3 13162 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
7875, 77syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
7978ralbidv 2882 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
8073, 79bitr4d 256 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
8180pm5.32da 641 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) ) )
823, 81bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095   class class class wbr 4437    _I cid 4780   dom cdm 4989   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ^pm cpm 7423   CCcc 9493   RRcr 9494    + caddc 9498   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632    / cdiv 10213   2c2 10592   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11091   RR+crp 11230   +ecxad 11326   *Metcxmt 18381   Caucca 21669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-2 10601  df-z 10872  df-uz 11092  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-psmet 18389  df-xmet 18390  df-bl 18392  df-cau 21672
This theorem is referenced by:  iscau4  21695  caucfil  21699  cmetcaulem  21704  heibor1lem  30280
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