Theorem iscau 9214

Description: Express the property "F is a Cauchy sequence of metric D." Part of Definition 1.4-3 of [Kreyszig] p. 28. The condition F C_ (CC X. X) allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 9200.

Hypothesis

Ref	Expression
lmbr.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
iscau	|- (D e. Met -> (F e. (Cau` D) <-> (F C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x))))))

Distinct variable groups:   j,k,m,x,F   D,j,k,m,x   m,X

Proof of Theorem iscau

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbr.1	. . . . 5 |- X = dom dom D
2	1	caufval 9204	. . . 4 |- (D e. Met -> (Cau` D) = {f | (f C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))})
3		df-rab 2112	. . . . 5 |- {f e. ~P(CC X. X) | A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))} = {f | (f e. ~P(CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))}
4		visset 2295	. . . . . . . 8 |- f e. _V
5	4	elpw 3037	. . . . . . 7 |- (f e. ~P(CC X. X) <-> f C_ (CC X. X))
6	5	anbi1i 539	. . . . . 6 |- ((f e. ~P(CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))) <-> (f C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))))
7	6	abbii 2006	. . . . 5 |- {f | (f e. ~P(CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))} = {f | (f C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))}
8	3, 7	eqtr2i 1909	. . . 4 |- {f | (f C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))))} = {f e. ~P(CC X. X) | A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))}
9	2, 8	syl6eq 1944	. . 3 |- (D e. Met -> (Cau` D) = {f e. ~P(CC X. X) | A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))})
10	9	eleq2d 1964	. 2 |- (D e. Met -> (F e. (Cau` D) <-> F e. {f e. ~P(CC X. X) | A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))}))
11		xpexg 4095	. . . . . 6 |- ((CC e. _V /\ X e. _V) -> (CC X. X) e. _V)
12		axcnex 6419	. . . . . 6 |- CC e. _V
13		dmexg 4206	. . . . . . . 8 |- (D e. Met -> dom D e. _V)
14		dmexg 4206	. . . . . . . 8 |- (dom D e. _V -> dom dom D e. _V)
15	13, 14	syl 12	. . . . . . 7 |- (D e. Met -> dom dom D e. _V)
16	15, 1	syl5eqel 1975	. . . . . 6 |- (D e. Met -> X e. _V)
17	11, 12, 16	sylancr 526	. . . . 5 |- (D e. Met -> (CC X. X) e. _V)
18		elpw2g 3463	. . . . 5 |- ((CC X. X) e. _V -> (F e. ~P(CC X. X) <-> F C_ (CC X. X)))
19	17, 18	syl 12	. . . 4 |- (D e. Met -> (F e. ~P(CC X. X) <-> F C_ (CC X. X)))
20	19	anbi1d 679	. . 3 |- (D e. Met -> ((F e. ~P(CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x)))) <-> (F C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x))))))
21		fveq1 4680	. . . . . . . . . . 11 |- (f = F -> (f` k) = (F` k))
22	21	eleq1d 1963	. . . . . . . . . 10 |- (f = F -> ((f` k) e. X <-> (F` k) e. X))
23		fveq1 4680	. . . . . . . . . . 11 |- (f = F -> (f` m) = (F` m))
24	23	eleq1d 1963	. . . . . . . . . 10 |- (f = F -> ((f` m) e. X <-> (F` m) e. X))
25	21, 23	opreq12d 4900	. . . . . . . . . . 11 |- (f = F -> ((f` k)D(f` m)) = ((F` k)D(F` m)))
26	25	breq1d 3348	. . . . . . . . . 10 |- (f = F -> (((f` k)D(f` m)) < x <-> ((F` k)D(F` m)) < x))
27	22, 24, 26	3anbi123d 1168	. . . . . . . . 9 |- (f = F -> (((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x) <-> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x)))
28	27	imbi2d 674	. . . . . . . 8 |- (f = F -> (((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)) <-> ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x))))
29	28	ralbidv 2123	. . . . . . 7 |- (f = F -> (A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)) <-> A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x))))
30	29	rexralbidv 2142	. . . . . 6 |- (f = F -> (E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)) <-> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x))))
31	30	imbi2d 674	. . . . 5 |- (f = F -> ((0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))) <-> (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x)))))
32	31	ralbidv 2123	. . . 4 |- (f = F -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x))) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x)))))
33	32	elrab 2414	. . 3 |- (F e. {f e. ~P(CC X. X) | A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))} <-> (F e. ~P(CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x)))))
34	20, 33	syl5bb 591	. 2 |- (D e. Met -> (F e. {f e. ~P(CC X. X) | A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((f` k) e. X /\ (f` m) e. X /\ ((f` k)D(f` m)) < x)))} <-> (F C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x))))))
35	10, 34	bitrd 587	1 |- (D e. Met -> (F e. (Cau` D) <-> (F C_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ A.m e. ZZ ((j <_ k /\ j <_ m) -> ((F` k) e. X /\ (F` m) e. X /\ ((F` k)D(F` m)) < x))))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  dom cdm 3986  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  Metcme 9066  Caucca 9198

This theorem is referenced by:  iscau2 9215  iscau4 9218  caufss 9228  lmcau 9274

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-qs 5323  df-ni 6152  df-nq 6190  df-np 6238  df-nr 6319  df-c 6392  df-cau 9201

Copyright terms: Public domain