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Theorem iscatd2 14615
Description: Version of iscatd2 14615 with a uniform assumption list, for increased proof sharing capabilities. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iscatd2.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  C ) )
iscatd2.h  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom  `  C ) )
iscatd2.o  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  C ) )
iscatd2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
iscatd2.ps  |-  ( ps  <->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B )  /\  (
f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) ) )
iscatd2.1  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  .1.  e.  ( y H y ) )
iscatd2.2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  (  .1.  ( <.
x ,  y >.  .x.  y ) f )  =  f )
iscatd2.3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( g ( <.
y ,  y >.  .x.  z )  .1.  )  =  g )
iscatd2.4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( g ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z ) )
iscatd2.5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( k (
<. y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )
Assertion
Ref Expression
iscatd2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  /\  ( Id `  C
)  =  ( y  e.  B  |->  .1.  )
) )
Distinct variable groups:    f, g,
k, w, x, z,  .1.    y, f, B, g, k, w, x, z    C, g, k, w, y, z    f, H, g, k, w, x, y, z    ph, f, g, k, w, x, y, z    .x. , f, g, k, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    ps( x, y, z, w, f, g, k)    C( x, f)    .1. ( y)    V( x, y, z, w, f, g, k)

Proof of Theorem iscatd2
Dummy variables  a 
r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscatd2.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  C ) )
2 iscatd2.h . . 3  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom  `  C ) )
3 iscatd2.o . . 3  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  C ) )
4 iscatd2.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
5 iscatd2.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  .1.  e.  ( y H y ) )
6 ne0i 3640 . . . . . . 7  |-  (  .1. 
e.  ( y H y )  ->  (
y H y )  =/=  (/) )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
y H y )  =/=  (/) )
873ad2antr1 1148 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( a H y ) ) )  -> 
( y H y )  =/=  (/) )
9 n0 3643 . . . . 5  |-  ( ( y H y )  =/=  (/)  <->  E. g  g  e.  ( y H y ) )
108, 9sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( a H y ) ) )  ->  E. g  g  e.  ( y H y ) )
11 n0 3643 . . . . 5  |-  ( ( y H y )  =/=  (/)  <->  E. k  k  e.  ( y H y ) )
128, 11sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( a H y ) ) )  ->  E. k  k  e.  ( y H y ) )
13 eeanv 1936 . . . . 5  |-  ( E. g E. k ( g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) )  <-> 
( E. g  g  e.  ( y H y )  /\  E. k  k  e.  (
y H y ) ) )
14 simpll 748 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( a H y ) ) )  /\  ( g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) ) )  ->  ph )
15 simplr2 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( a H y ) ) )  /\  ( g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) ) )  -> 
a  e.  B )
16 simplr1 1025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( a H y ) ) )  /\  ( g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) ) )  -> 
y  e.  B )
1715, 16jca 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( a H y ) ) )  /\  ( g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) ) )  -> 
( a  e.  B  /\  y  e.  B
) )
18 simplr3 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( a H y ) ) )  /\  ( g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) ) )  -> 
r  e.  ( a H y ) )
19 simprl 750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( a H y ) ) )  /\  ( g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) ) )  -> 
g  e.  ( y H y ) )
20 simprr 751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( a H y ) ) )  /\  ( g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) ) )  -> 
k  e.  ( y H y ) )
2118, 19, 203jca 1163 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( a H y ) ) )  /\  ( g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) ) )  -> 
( r  e.  ( a H y )  /\  g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) ) )
22 iscatd2.ps . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ps  <->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B )  /\  (
f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) ) )
23 simplll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  x  =  a )
2423eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  ( x  e.  B  <->  a  e.  B ) )
2524anbi1d 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  <->  ( a  e.  B  /\  y  e.  B ) ) )
26 simpllr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  z  =  y )
2726eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  ( z  e.  B  <->  y  e.  B ) )
28 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  w  =  y )
2928eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  ( w  e.  B  <->  y  e.  B ) )
3027, 29anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  ( ( z  e.  B  /\  w  e.  B )  <->  ( y  e.  B  /\  y  e.  B ) ) )
31 anidm 639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  B  /\  y  e.  B )  <->  y  e.  B )
3230, 31syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  ( ( z  e.  B  /\  w  e.  B )  <->  y  e.  B ) )
33 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  f  =  r )
3423oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  ( x H y )  =  ( a H y ) )
3533, 34eleq12d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  ( f  e.  ( x H y )  <-> 
r  e.  ( a H y ) ) )
3626oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  ( y H z )  =  ( y H y ) )
3736eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  ( g  e.  ( y H z )  <-> 
g  e.  ( y H y ) ) )
3826, 28oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  ( z H w )  =  ( y H y ) )
3938eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  ( k  e.  ( z H w )  <-> 
k  e.  ( y H y ) ) )
4035, 37, 393anbi123d 1284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  ( ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z )  /\  k  e.  ( z H w ) )  <->  ( r  e.  ( a H y )  /\  g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) ) ) )
4125, 32, 403anbi123d 1284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )  /\  ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) )  <->  ( (
a  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  y  e.  B  /\  ( r  e.  ( a H y )  /\  g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) ) ) ) )
4222, 41syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  ( ps  <->  ( (
a  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  y  e.  B  /\  ( r  e.  ( a H y )  /\  g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) ) ) ) )
4342anbi2d 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  ( ( ph  /\  ps )  <->  ( ph  /\  ( ( a  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  y  e.  B  /\  (
r  e.  ( a H y )  /\  g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) ) ) ) ) )
4423opeq1d 4062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  -> 
<. x ,  y >.  =  <. a ,  y
>. )
4544oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  ( <. x ,  y
>.  .x.  y )  =  ( <. a ,  y
>.  .x.  y ) )
46 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  .1.  =  .1.  )
4745, 46, 33oveq123d 6111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  (  .1.  ( <.
x ,  y >.  .x.  y ) f )  =  (  .1.  ( <. a ,  y >.  .x.  y ) r ) )
4847, 33eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  ( (  .1.  ( <. x ,  y >.  .x.  y ) f )  =  f  <->  (  .1.  ( <. a ,  y
>.  .x.  y ) r )  =  r ) )
4943, 48imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  /\  f  =  r )  ->  ( ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (  .1.  ( <. x ,  y
>.  .x.  y ) f )  =  f )  <-> 
( ( ph  /\  ( ( a  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  y  e.  B  /\  (
r  e.  ( a H y )  /\  g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) ) ) )  ->  (  .1.  ( <. a ,  y
>.  .x.  y ) r )  =  r ) ) )
5049sbiedv 2110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  /\  w  =  y )  ->  ( [ r  /  f ] ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (  .1.  ( <. x ,  y
>.  .x.  y ) f )  =  f )  <-> 
( ( ph  /\  ( ( a  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  y  e.  B  /\  (
r  e.  ( a H y )  /\  g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) ) ) )  ->  (  .1.  ( <. a ,  y
>.  .x.  y ) r )  =  r ) ) )
5150sbiedv 2110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  a  /\  z  =  y )  ->  ( [ y  /  w ] [ r  / 
f ] ( (
ph  /\  ps )  ->  (  .1.  ( <.
x ,  y >.  .x.  y ) f )  =  f )  <->  ( ( ph  /\  ( ( a  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  y  e.  B  /\  (
r  e.  ( a H y )  /\  g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) ) ) )  ->  (  .1.  ( <. a ,  y
>.  .x.  y ) r )  =  r ) ) )
5251sbiedv 2110 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  ( [ y  /  z ] [ y  /  w ] [ r  /  f ] ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (  .1.  ( <. x ,  y
>.  .x.  y ) f )  =  f )  <-> 
( ( ph  /\  ( ( a  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  y  e.  B  /\  (
r  e.  ( a H y )  /\  g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) ) ) )  ->  (  .1.  ( <. a ,  y
>.  .x.  y ) r )  =  r ) ) )
53 iscatd2.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  (  .1.  ( <.
x ,  y >.  .x.  y ) f )  =  f )
5453sbt 2124 . . . . . . . . . . 11  |-  [ r  /  f ] ( ( ph  /\  ps )  ->  (  .1.  ( <. x ,  y >.  .x.  y ) f )  =  f )
5554sbt 2124 . . . . . . . . . 10  |-  [ y  /  w ] [
r  /  f ] ( ( ph  /\  ps )  ->  (  .1.  ( <. x ,  y
>.  .x.  y ) f )  =  f )
5655sbt 2124 . . . . . . . . 9  |-  [ y  /  z ] [
y  /  w ] [ r  /  f ] ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (  .1.  ( <. x ,  y
>.  .x.  y ) f )  =  f )
5752, 56chvarv 1963 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  y  e.  B  /\  ( r  e.  ( a H y )  /\  g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) ) ) )  -> 
(  .1.  ( <.
a ,  y >.  .x.  y ) r )  =  r )
5814, 17, 16, 21, 57syl13anc 1215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( a H y ) ) )  /\  ( g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) ) )  -> 
(  .1.  ( <.
a ,  y >.  .x.  y ) r )  =  r )
5958ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( a H y ) ) )  -> 
( ( g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) )  ->  (  .1.  ( <. a ,  y
>.  .x.  y ) r )  =  r ) )
6059exlimdvv 1696 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( a H y ) ) )  -> 
( E. g E. k ( g  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( y H y ) )  ->  (  .1.  ( <. a ,  y
>.  .x.  y ) r )  =  r ) )
6113, 60syl5bir 218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( a H y ) ) )  -> 
( ( E. g 
g  e.  ( y H y )  /\  E. k  k  e.  ( y H y ) )  ->  (  .1.  ( <. a ,  y
>.  .x.  y ) r )  =  r ) )
6210, 12, 61mp2and 674 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( a H y ) ) )  -> 
(  .1.  ( <.
a ,  y >.  .x.  y ) r )  =  r )
6373ad2antr1 1148 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( y H a ) ) )  -> 
( y H y )  =/=  (/) )
64 n0 3643 . . . . 5  |-  ( ( y H y )  =/=  (/)  <->  E. f  f  e.  ( y H y ) )
6563, 64sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( y H a ) ) )  ->  E. f  f  e.  ( y H y ) )
66 simpr2 990 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( y H a ) ) )  -> 
a  e.  B )
677ralrimiva 2797 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  ( y H y )  =/=  (/) )
6867adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( y H a ) ) )  ->  A. y  e.  B  ( y H y )  =/=  (/) )
69 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  a  ->  y  =  a )
7069, 69oveq12d 6108 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  a  ->  (
y H y )  =  ( a H a ) )
7170neeq1d 2619 . . . . . . 7  |-  ( y  =  a  ->  (
( y H y )  =/=  (/)  <->  ( a H a )  =/=  (/) ) )
7271rspcv 3066 . . . . . 6  |-  ( a  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  ( y H y )  =/=  (/)  ->  (
a H a )  =/=  (/) ) )
7366, 68, 72sylc 60 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( y H a ) ) )  -> 
( a H a )  =/=  (/) )
74 n0 3643 . . . . 5  |-  ( ( a H a )  =/=  (/)  <->  E. k  k  e.  ( a H a ) )
7573, 74sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( y H a ) ) )  ->  E. k  k  e.  ( a H a ) )
76 eeanv 1936 . . . . 5  |-  ( E. f E. k ( f  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( a H a ) )  <-> 
( E. f  f  e.  ( y H y )  /\  E. k  k  e.  (
a H a ) ) )
77 simpll 748 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( y H a ) ) )  /\  ( f  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( a H a ) ) )  ->  ph )
78 simplr1 1025 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( y H a ) ) )  /\  ( f  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( a H a ) ) )  -> 
y  e.  B )
79 simplr2 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( y H a ) ) )  /\  ( f  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( a H a ) ) )  -> 
a  e.  B )
80 simprl 750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( y H a ) ) )  /\  ( f  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( a H a ) ) )  -> 
f  e.  ( y H y ) )
81 simplr3 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( y H a ) ) )  /\  ( f  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( a H a ) ) )  -> 
r  e.  ( y H a ) )
82 simprr 751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( y H a ) ) )  /\  ( f  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( a H a ) ) )  -> 
k  e.  ( a H a ) )
8380, 81, 823jca 1163 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( y H a ) ) )  /\  ( f  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( a H a ) ) )  -> 
( f  e.  ( y H y )  /\  r  e.  ( y H a )  /\  k  e.  ( a H a ) ) )
84 simplll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  x  =  y )
8584eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
8685anbi1d 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  <->  ( y  e.  B  /\  y  e.  B ) ) )
8786, 31syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  <->  y  e.  B ) )
88 simpllr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  z  =  a )
8988eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( z  e.  B  <->  a  e.  B ) )
90 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  w  =  a )
9190eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( w  e.  B  <->  a  e.  B ) )
9289, 91anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( ( z  e.  B  /\  w  e.  B )  <->  ( a  e.  B  /\  a  e.  B ) ) )
93 anidm 639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  B  /\  a  e.  B )  <->  a  e.  B )
9492, 93syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( ( z  e.  B  /\  w  e.  B )  <->  a  e.  B ) )
9584oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( x H y )  =  ( y H y ) )
9695eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( f  e.  ( x H y )  <-> 
f  e.  ( y H y ) ) )
97 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  g  =  r )
9888oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( y H z )  =  ( y H a ) )
9997, 98eleq12d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( g  e.  ( y H z )  <-> 
r  e.  ( y H a ) ) )
10088, 90oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( z H w )  =  ( a H a ) )
101100eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( k  e.  ( z H w )  <-> 
k  e.  ( a H a ) ) )
10296, 99, 1013anbi123d 1284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z )  /\  k  e.  ( z H w ) )  <->  ( f  e.  ( y H y )  /\  r  e.  ( y H a )  /\  k  e.  ( a H a ) ) ) )
10387, 94, 1023anbi123d 1284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )  /\  ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) )  <->  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  (
f  e.  ( y H y )  /\  r  e.  ( y H a )  /\  k  e.  ( a H a ) ) ) ) )
10422, 103syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( ps  <->  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  (
f  e.  ( y H y )  /\  r  e.  ( y H a )  /\  k  e.  ( a H a ) ) ) ) )
105104anbi2d 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( ( ph  /\  ps )  <->  ( ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  ( f  e.  ( y H y )  /\  r  e.  ( y H a )  /\  k  e.  ( a H a ) ) ) ) ) )
10688oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( <. y ,  y
>.  .x.  z )  =  ( <. y ,  y
>.  .x.  a ) )
107 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  .1.  =  .1.  )
108106, 97, 107oveq123d 6111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( g ( <.
y ,  y >.  .x.  z )  .1.  )  =  ( r (
<. y ,  y >.  .x.  a )  .1.  )
)
109108, 97eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( ( g (
<. y ,  y >.  .x.  z )  .1.  )  =  g  <->  ( r (
<. y ,  y >.  .x.  a )  .1.  )  =  r ) )
110105, 109imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  /\  g  =  r )  ->  ( ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
g ( <. y ,  y >.  .x.  z
)  .1.  )  =  g )  <->  ( ( ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  ( f  e.  ( y H y )  /\  r  e.  ( y H a )  /\  k  e.  ( a H a ) ) ) )  ->  ( r (
<. y ,  y >.  .x.  a )  .1.  )  =  r ) ) )
111110sbiedv 2110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  /\  w  =  a )  ->  ( [ r  /  g ] ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
g ( <. y ,  y >.  .x.  z
)  .1.  )  =  g )  <->  ( ( ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  ( f  e.  ( y H y )  /\  r  e.  ( y H a )  /\  k  e.  ( a H a ) ) ) )  ->  ( r (
<. y ,  y >.  .x.  a )  .1.  )  =  r ) ) )
112111sbiedv 2110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  y  /\  z  =  a )  ->  ( [ a  /  w ] [ r  / 
g ] ( (
ph  /\  ps )  ->  ( g ( <.
y ,  y >.  .x.  z )  .1.  )  =  g )  <->  ( ( ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  ( f  e.  ( y H y )  /\  r  e.  ( y H a )  /\  k  e.  ( a H a ) ) ) )  ->  ( r (
<. y ,  y >.  .x.  a )  .1.  )  =  r ) ) )
113112sbiedv 2110 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( [ a  /  z ] [ a  /  w ] [ r  /  g ] ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
g ( <. y ,  y >.  .x.  z
)  .1.  )  =  g )  <->  ( ( ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  ( f  e.  ( y H y )  /\  r  e.  ( y H a )  /\  k  e.  ( a H a ) ) ) )  ->  ( r (
<. y ,  y >.  .x.  a )  .1.  )  =  r ) ) )
114 iscatd2.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( g ( <.
y ,  y >.  .x.  z )  .1.  )  =  g )
115114sbt 2124 . . . . . . . . . . 11  |-  [ r  /  g ] ( ( ph  /\  ps )  ->  ( g (
<. y ,  y >.  .x.  z )  .1.  )  =  g )
116115sbt 2124 . . . . . . . . . 10  |-  [ a  /  w ] [
r  /  g ] ( ( ph  /\  ps )  ->  ( g ( <. y ,  y
>.  .x.  z )  .1.  )  =  g )
117116sbt 2124 . . . . . . . . 9  |-  [ a  /  z ] [
a  /  w ] [ r  /  g ] ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
g ( <. y ,  y >.  .x.  z
)  .1.  )  =  g )
118113, 117chvarv 1963 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  (
f  e.  ( y H y )  /\  r  e.  ( y H a )  /\  k  e.  ( a H a ) ) ) )  ->  (
r ( <. y ,  y >.  .x.  a
)  .1.  )  =  r )
11977, 78, 79, 83, 118syl13anc 1215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( y H a ) ) )  /\  ( f  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( a H a ) ) )  -> 
( r ( <.
y ,  y >.  .x.  a )  .1.  )  =  r )
120119ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( y H a ) ) )  -> 
( ( f  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( a H a ) )  ->  (
r ( <. y ,  y >.  .x.  a
)  .1.  )  =  r ) )
121120exlimdvv 1696 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( y H a ) ) )  -> 
( E. f E. k ( f  e.  ( y H y )  /\  k  e.  ( a H a ) )  ->  (
r ( <. y ,  y >.  .x.  a
)  .1.  )  =  r ) )
12276, 121syl5bir 218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( y H a ) ) )  -> 
( ( E. f 
f  e.  ( y H y )  /\  E. k  k  e.  ( a H a ) )  ->  ( r
( <. y ,  y
>.  .x.  a )  .1.  )  =  r ) )
12365, 75, 122mp2and 674 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  r  e.  ( y H a ) ) )  -> 
( r ( <.
y ,  y >.  .x.  a )  .1.  )  =  r )
124673ad2ant1 1004 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
r  e.  ( y H a )  /\  g  e.  ( a H z ) ) )  ->  A. y  e.  B  ( y H y )  =/=  (/) )
125 simp23 1018 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
r  e.  ( y H a )  /\  g  e.  ( a H z ) ) )  ->  z  e.  B )
126 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  y  =  z )
127126, 126oveq12d 6108 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
y H y )  =  ( z H z ) )
128127neeq1d 2619 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( y H y )  =/=  (/)  <->  ( z H z )  =/=  (/) ) )
129128rspccva 3069 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  B  ( y H y )  =/=  (/)  /\  z  e.  B )  ->  (
z H z )  =/=  (/) )
130124, 125, 129syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
r  e.  ( y H a )  /\  g  e.  ( a H z ) ) )  ->  ( z H z )  =/=  (/) )
131 n0 3643 . . . . 5  |-  ( ( z H z )  =/=  (/)  <->  E. k  k  e.  ( z H z ) )
132130, 131sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
r  e.  ( y H a )  /\  g  e.  ( a H z ) ) )  ->  E. k 
k  e.  ( z H z ) )
133 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
1341333anbi1d 1288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B
)  <->  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B ) ) )
135 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
x H a )  =  ( y H a ) )
136135eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
r  e.  ( x H a )  <->  r  e.  ( y H a ) ) )
137136anbi1d 699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z ) )  <->  ( r  e.  ( y H a )  /\  g  e.  ( a H z ) ) ) )
138137anbi1d 699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z ) )  /\  k  e.  ( z H z ) )  <->  ( (
r  e.  ( y H a )  /\  g  e.  ( a H z ) )  /\  k  e.  ( z H z ) ) ) )
139134, 138anbi12d 705 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z ) )  /\  k  e.  ( z H z ) ) )  <->  ( (
y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( ( r  e.  ( y H a )  /\  g  e.  ( a H z ) )  /\  k  e.  ( z H z ) ) ) ) )
140139anbi2d 698 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  (
( x  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B
)  /\  ( (
r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z ) )  /\  k  e.  ( z H z ) ) ) )  <->  ( ph  /\  ( ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
( r  e.  ( y H a )  /\  g  e.  ( a H z ) )  /\  k  e.  ( z H z ) ) ) ) ) )
141 opeq1 4056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  <. x ,  a >.  =  <. y ,  a >. )
142141oveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( <. x ,  a >.  .x.  z )  =  (
<. y ,  a >.  .x.  z ) )
143142oveqd 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
g ( <. x ,  a >.  .x.  z
) r )  =  ( g ( <.
y ,  a >.  .x.  z ) r ) )
144 oveq1 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x H z )  =  ( y H z ) )
145143, 144eleq12d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( g ( <.
x ,  a >.  .x.  z ) r )  e.  ( x H z )  <->  ( g
( <. y ,  a
>.  .x.  z ) r )  e.  ( y H z ) ) )
146140, 145imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  ( ( x  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z ) )  /\  k  e.  ( z H z ) ) ) )  ->  ( g (
<. x ,  a >.  .x.  z ) r )  e.  ( x H z ) )  <->  ( ( ph  /\  ( ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
( r  e.  ( y H a )  /\  g  e.  ( a H z ) )  /\  k  e.  ( z H z ) ) ) )  ->  ( g (
<. y ,  a >.  .x.  z ) r )  e.  ( y H z ) ) ) )
147 df-3an 962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B )  /\  (
f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) )  <->  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  /\  (
f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) ) )
14822, 147bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps  <->  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) ) )
149 simpll 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  y  =  a )
150149eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  (
y  e.  B  <->  a  e.  B ) )
151150anbi2d 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  (
( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  <->  ( x  e.  B  /\  a  e.  B ) ) )
152 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  w  =  z )
153152eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  (
w  e.  B  <->  z  e.  B ) )
154153anbi2d 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  (
( z  e.  B  /\  w  e.  B
)  <->  ( z  e.  B  /\  z  e.  B ) ) )
155 anidm 639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  B  /\  z  e.  B )  <->  z  e.  B )
156154, 155syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  (
( z  e.  B  /\  w  e.  B
)  <->  z  e.  B
) )
157151, 156anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  (
( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  <->  ( ( x  e.  B  /\  a  e.  B )  /\  z  e.  B ) ) )
158 df-3an 962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  <->  ( ( x  e.  B  /\  a  e.  B
)  /\  z  e.  B ) )
159157, 158syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  (
( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  <->  ( x  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B ) ) )
160 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  f  =  r )
161149oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  (
x H y )  =  ( x H a ) )
162160, 161eleq12d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  (
f  e.  ( x H y )  <->  r  e.  ( x H a ) ) )
163149oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  (
y H z )  =  ( a H z ) )
164163eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  (
g  e.  ( y H z )  <->  g  e.  ( a H z ) ) )
165152oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  (
z H w )  =  ( z H z ) )
166165eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  (
k  e.  ( z H w )  <->  k  e.  ( z H z ) ) )
167162, 164, 1663anbi123d 1284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  (
( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z )  /\  k  e.  ( z H w ) )  <->  ( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H z ) ) ) )
168 df-3an 962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H z ) )  <-> 
( ( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z ) )  /\  k  e.  ( z H z ) ) )
169167, 168syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  (
( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z )  /\  k  e.  ( z H w ) )  <->  ( ( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z ) )  /\  k  e.  ( z H z ) ) ) )
170159, 169anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  (
( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( ( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z ) )  /\  k  e.  ( z H z ) ) ) ) )
171148, 170syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  ( ps 
<->  ( ( x  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z ) )  /\  k  e.  ( z H z ) ) ) ) )
172171anbi2d 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  (
( ph  /\  ps )  <->  (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( ( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z ) )  /\  k  e.  ( z H z ) ) ) ) ) )
173149opeq2d 4063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  a >. )
174173oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  ( <. x ,  y >.  .x.  z )  =  (
<. x ,  a >.  .x.  z ) )
175 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  g  =  g )
176174, 175, 160oveq123d 6111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  (
g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f )  =  ( g ( <.
x ,  a >.  .x.  z ) r ) )
177176eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  (
( g ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  <->  ( g
( <. x ,  a
>.  .x.  z ) r )  e.  ( x H z ) ) )
178172, 177imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  /\  f  =  r )  ->  (
( ( ph  /\  ps )  ->  ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( ( x  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z ) )  /\  k  e.  ( z H z ) ) ) )  ->  ( g (
<. x ,  a >.  .x.  z ) r )  e.  ( x H z ) ) ) )
179178sbiedv 2110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  a  /\  w  =  z )  ->  ( [ r  / 
f ] ( (
ph  /\  ps )  ->  ( g ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z ) )  <->  ( ( ph  /\  ( ( x  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z ) )  /\  k  e.  ( z H z ) ) ) )  ->  ( g (
<. x ,  a >.  .x.  z ) r )  e.  ( x H z ) ) ) )
180179sbiedv 2110 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  a  ->  ( [ z  /  w ] [ r  /  f ] ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f )  e.  ( x H z ) )  <->  ( ( ph  /\  ( ( x  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z ) )  /\  k  e.  ( z H z ) ) ) )  ->  ( g (
<. x ,  a >.  .x.  z ) r )  e.  ( x H z ) ) ) )
181 iscatd2.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( g ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z ) )
182181sbt 2124 . . . . . . . . . 10  |-  [ r  /  f ] ( ( ph  /\  ps )  ->  ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z ) )
183182sbt 2124 . . . . . . . . 9  |-  [ z  /  w ] [
r  /  f ] ( ( ph  /\  ps )  ->  ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z ) )
184180, 183chvarv 1963 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( ( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z ) )  /\  k  e.  ( z H z ) ) ) )  ->  ( g (
<. x ,  a >.  .x.  z ) r )  e.  ( x H z ) )
185146, 184chvarv 1963 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  ( ( r  e.  ( y H a )  /\  g  e.  ( a H z ) )  /\  k  e.  ( z H z ) ) ) )  ->  ( g (
<. y ,  a >.  .x.  z ) r )  e.  ( y H z ) )
186185exp45 611 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
( r  e.  ( y H a )  /\  g  e.  ( a H z ) )  ->  ( k  e.  ( z H z )  ->  ( g
( <. y ,  a
>.  .x.  z ) r )  e.  ( y H z ) ) ) ) )
1871863imp 1176 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
r  e.  ( y H a )  /\  g  e.  ( a H z ) ) )  ->  ( k  e.  ( z H z )  ->  ( g
( <. y ,  a
>.  .x.  z ) r )  e.  ( y H z ) ) )
188187exlimdv 1695 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
r  e.  ( y H a )  /\  g  e.  ( a H z ) ) )  ->  ( E. k  k  e.  (
z H z )  ->  ( g (
<. y ,  a >.  .x.  z ) r )  e.  ( y H z ) ) )
189132, 188mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  a  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
r  e.  ( y H a )  /\  g  e.  ( a H z ) ) )  ->  ( g
( <. y ,  a
>.  .x.  z ) r )  e.  ( y H z ) )
190133anbi1d 699 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  B  /\  a  e.  B
)  <->  ( y  e.  B  /\  a  e.  B ) ) )
191190anbi1d 699 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e.  B  /\  a  e.  B )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  <->  ( ( y  e.  B  /\  a  e.  B )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
) ) )
1921363anbi1d 1288 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H w ) )  <->  ( r  e.  ( y H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) ) )
193191, 1923anbi23d 1287 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  (
( x  e.  B  /\  a  e.  B
)  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) )  <->  ( ph  /\  ( ( y  e.  B  /\  a  e.  B )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( r  e.  ( y H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) ) ) )
194141oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( <. x ,  a >.  .x.  w )  =  (
<. y ,  a >.  .x.  w ) )
195194oveqd 6107 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( k ( <.
a ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  a
>.  .x.  w ) r )  =  ( ( k ( <. a ,  z >.  .x.  w
) g ) (
<. y ,  a >.  .x.  w ) r ) )
196 opeq1 4056 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  <. x ,  z >.  =  <. y ,  z >. )
197196oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( <. x ,  z >.  .x.  w )  =  (
<. y ,  z >.  .x.  w ) )
198 eqidd 2442 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  k  =  k )
199197, 198, 143oveq123d 6111 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
k ( <. x ,  z >.  .x.  w
) ( g (
<. x ,  a >.  .x.  z ) r ) )  =  ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. y ,  a >.  .x.  z
) r ) ) )
200195, 199eqeq12d 2455 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( k (
<. a ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  a
>.  .x.  w ) r )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  a >.  .x.  z
) r ) )  <-> 
( ( k (
<. a ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. y ,  a
>.  .x.  w ) r )  =  ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. y ,  a >.  .x.  z
) r ) ) ) )
201193, 200imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  ( ( x  e.  B  /\  a  e.  B )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) )  -> 
( ( k (
<. a ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  a
>.  .x.  w ) r )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  a >.  .x.  z
) r ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ( ( y  e.  B  /\  a  e.  B )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( r  e.  ( y H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) )  -> 
( ( k (
<. a ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. y ,  a
>.  .x.  w ) r )  =  ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. y ,  a >.  .x.  z
) r ) ) ) ) )
202 simpl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  y  =  a )
203202eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( y  e.  B  <->  a  e.  B ) )
204203anbi2d 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  <->  ( x  e.  B  /\  a  e.  B ) ) )
205 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  f  =  r )
206202oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( x H y )  =  ( x H a ) )
207205, 206eleq12d 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( f  e.  ( x H y )  <-> 
r  e.  ( x H a ) ) )
208202oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( y H z )  =  ( a H z ) )
209208eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( g  e.  ( y H z )  <-> 
g  e.  ( a H z ) ) )
210207, 2093anbi12d 1285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z )  /\  k  e.  ( z H w ) )  <->  ( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) ) )
211204, 2103anbi13d 1286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )  /\  ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  a  e.  B )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
)  /\  ( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) ) ) )
21222, 211syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( ps  <->  ( (
x  e.  B  /\  a  e.  B )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
)  /\  ( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) ) ) )
213 df-3an 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  a  e.  B
)  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B )  /\  (
r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) )  <->  ( ( ( x  e.  B  /\  a  e.  B )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  /\  (
r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) ) )
214212, 213syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( ps  <->  ( (
( x  e.  B  /\  a  e.  B
)  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) ) ) )
215214anbi2d 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( ( ph  /\  ps )  <->  ( ph  /\  ( ( ( x  e.  B  /\  a  e.  B )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) ) ) ) )
216 3anass 964 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  a  e.  B )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  /\  (
r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) )  <->  ( ph  /\  ( ( ( x  e.  B  /\  a  e.  B )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) ) ) )
217215, 216syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( ( ph  /\  ps )  <->  ( ph  /\  ( ( x  e.  B  /\  a  e.  B )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) ) ) )
218202opeq2d 4063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  -> 
<. x ,  y >.  =  <. x ,  a
>. )
219218oveq1d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( <. x ,  y
>.  .x.  w )  =  ( <. x ,  a
>.  .x.  w ) )
220202opeq1d 4062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  -> 
<. y ,  z >.  =  <. a ,  z
>. )
221220oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( <. y ,  z
>.  .x.  w )  =  ( <. a ,  z
>.  .x.  w ) )
222221oveqd 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g )  =  ( k (
<. a ,  z >.  .x.  w ) g ) )
223219, 222, 205oveq123d 6111 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( ( k (
<. y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( ( k ( <. a ,  z >.  .x.  w
) g ) (
<. x ,  a >.  .x.  w ) r ) )
224218oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( <. x ,  y
>.  .x.  z )  =  ( <. x ,  a
>.  .x.  z ) )
225 eqidd 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  g  =  g )
226224, 225, 205oveq123d 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( g ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) f )  =  ( g (
<. x ,  a >.  .x.  z ) r ) )
227226oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) )  =  ( k ( <. x ,  z >.  .x.  w
) ( g (
<. x ,  a >.  .x.  z ) r ) ) )
228223, 227eqeq12d 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( ( ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y >.  .x.  w
) f )  =  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) )  <->  ( (
k ( <. a ,  z >.  .x.  w
) g ) (
<. x ,  a >.  .x.  w ) r )  =  ( k (
<. x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  a
>.  .x.  z ) r ) ) ) )
229217, 228imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  a  /\  f  =  r )  ->  ( ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ( ( x  e.  B  /\  a  e.  B )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) )  -> 
( ( k (
<. a ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  a
>.  .x.  w ) r )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  a >.  .x.  z
) r ) ) ) ) )
230229sbiedv 2110 . . . . 5  |-  ( y  =  a  ->  ( [ r  /  f ] ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ( ( x  e.  B  /\  a  e.  B )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  /\  ( r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) )  -> 
( ( k (
<. a ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  a
>.  .x.  w ) r )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  a >.  .x.  z
) r ) ) ) ) )
231 iscatd2.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( k (
<. y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )
232231sbt 2124 . . . . 5  |-  [ r  /  f ] ( ( ph  /\  ps )  ->  ( ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y >.  .x.  w
) f )  =  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) ) )
233230, 232chvarv 1963 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  a  e.  B )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  /\  (
r  e.  ( x H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) )  ->  ( (
k ( <. a ,  z >.  .x.  w
) g ) (
<. x ,  a >.  .x.  w ) r )  =  ( k (
<. x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  a
>.  .x.  z ) r ) ) )
234201, 233chvarv 1963 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  B  /\  a  e.  B )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  /\  (
r  e.  ( y H a )  /\  g  e.  ( a H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) )  ->  ( (
k ( <. a ,  z >.  .x.  w
) g ) (
<. y ,  a >.  .x.  w ) r )  =  ( k (
<. y ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. y ,  a
>.  .x.  z ) r ) ) )
2351, 2, 3, 4, 5, 62, 123, 189, 234iscatd 14607 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
2361, 2, 3, 235, 5, 62, 123catidd 14614 . 2  |-  ( ph  ->  ( Id `  C
)  =  ( y  e.  B  |->  .1.  )
)
237235, 236jca 529 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  /\  ( Id `  C
)  =  ( y  e.  B  |->  .1.  )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   E.wex 1591   [wsb 1705    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   (/)c0 3634   <.cop 3880    e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   Hom chom 14245  compcco 14246   Catccat 14598   Idccid 14599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-cat 14602  df-cid 14603
This theorem is referenced by:  oppccatid  14654  subccatid  14752  fuccatid  14875  setccatid  14948  catccatid  14966  xpccatid  14994
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