Theorem iscard3 6036

Description: Two ways to express the property of being a cardinal number.

Assertion

Ref	Expression
iscard3	|- ((card` A) = A <-> A e. (om u. ran aleph))

Proof of Theorem iscard3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 5976	. . . . . . . 8 |- (card` A) e. On
2		eleq1 1957	. . . . . . . 8 |- ((card` A) = A -> ((card` A) e. On <-> A e. On))
3	1, 2	mpbii 210	. . . . . . 7 |- ((card` A) = A -> A e. On)
4		eloni 3667	. . . . . . 7 |- (A e. On -> Ord A)
5		ordom 3960	. . . . . . . 8 |- Ord om
6		ordtri2or 3766	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ Ord om) -> (A e. om \/ om C_ A))
7	5, 6	mpan2 760	. . . . . . 7 |- (Ord A -> (A e. om \/ om C_ A))
8	3, 4, 7	3syl 24	. . . . . 6 |- ((card` A) = A -> (A e. om \/ om C_ A))
9	8	ord 249	. . . . 5 |- ((card` A) = A -> (-. A e. om -> om C_ A))
10		isinfcard 6035	. . . . . . 7 |- ((om C_ A /\ (card` A) = A) <-> A e. ran aleph)
11	10	biimpi 168	. . . . . 6 |- ((om C_ A /\ (card` A) = A) -> A e. ran aleph)
12	11	expcom 403	. . . . 5 |- ((card` A) = A -> (om C_ A -> A e. ran aleph))
13	9, 12	syld 30	. . . 4 |- ((card` A) = A -> (-. A e. om -> A e. ran aleph))
14	13	orrd 250	. . 3 |- ((card` A) = A -> (A e. om \/ A e. ran aleph))
15		cardnn 5870	. . . 4 |- (A e. om -> (card` A) = A)
16	10	bicomi 189	. . . . 5 |- (A e. ran aleph <-> (om C_ A /\ (card` A) = A))
17	16	simprbi 353	. . . 4 |- (A e. ran aleph -> (card` A) = A)
18	15, 17	jaoi 368	. . 3 |- ((A e. om \/ A e. ran aleph) -> (card` A) = A)
19	14, 18	impbii 174	. 2 |- ((card` A) = A <-> (A e. om \/ A e. ran aleph))
20		elun 2741	. 2 |- (A e. (om u. ran aleph) <-> (A e. om \/ A e. ran aleph))
21	19, 20	bitr4i 193	1 |- ((card` A) = A <-> A e. (om u. ran aleph))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   u. cun 2591   C_ wss 2593  Ord word 3656  Oncon0 3657  omcom 3949  ran crn 3987  ` cfv 3998  cardccrd 5859  alephcale 5860

This theorem is referenced by:  cardnum 6037  carduniima 6038  cardinfima 6039

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-card 5862  df-aleph 5863

Copyright terms: Public domain