Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbnd3b Structured version   Unicode version

Theorem isbnd3b 30486
Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isbnd3b  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x
) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, M    x, X, y, z

Proof of Theorem isbnd3b
StepHypRef Expression
1 isbnd3 30485 . 2  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) ) )
2 metf 20959 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M :
( X  X.  X
) --> RR )
32adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  ->  M : ( X  X.  X ) --> RR )
4 ffn 5737 . . . . . 6  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR  ->  M  Fn  ( X  X.  X ) )
5 ffnov 6405 . . . . . . 7  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  ( M  Fn  ( X  X.  X
)  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x
) ) )
65baib 903 . . . . . 6  |-  ( M  Fn  ( X  X.  X )  ->  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x
) ) )
73, 4, 63syl 20 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x
) ) )
8 0red 9614 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
0  e.  RR )
9 simplr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  x  e.  RR )
10 metcl 20961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y M z )  e.  RR )
11103expb 1197 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( y M z )  e.  RR )
1211adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y M z )  e.  RR )
13 metge0 20974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  0  <_  ( y M z ) )
14133expb 1197 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  0  <_  ( y M z ) )
1514adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( y M z ) )
16 elicc2 11614 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z )  /\  ( y M z )  <_  x )
) )
17 df-3an 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z )  /\  (
y M z )  <_  x )  <->  ( (
( y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z ) )  /\  ( y M z )  <_  x )
)
1816, 17syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( ( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y M z ) )  /\  (
y M z )  <_  x ) ) )
1918baibd 909 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y M z ) ) )  -> 
( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( y M z )  <_  x )
)
208, 9, 12, 15, 19syl22anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( y M z )  <_  x )
)
21202ralbidva 2899 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x ) )
227, 21bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x ) )
2322rexbidva 2965 . . 3  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x
) )
2423pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) )  <-> 
( M  e.  ( Met `  X )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x
) )
251, 24bitri 249 1  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4456    X. cxp 5006    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509    <_ cle 9646   [,]cicc 11557   Metcme 18531   Bndcbnd 30468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7329  df-ec 7331  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-2 10615  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-bnd 30480
This theorem is referenced by:  equivbnd  30491  iccbnd  30541
  Copyright terms: Public domain W3C validator