Theorem isbnd3b 30486

Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isbnd3b	|- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, M   x, X, y, z

Proof of Theorem isbnd3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbnd3 30485	. 2 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
2		metf 20959	. . . . . . 7 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M : ( X X. X ) --> RR )
3	2	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> M : ( X X. X ) --> RR )
4		ffn 5737	. . . . . 6 |- ( M : ( X X. X ) --> RR -> M Fn ( X X. X ) )
5		ffnov 6405	. . . . . . 7 |- ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> ( M Fn ( X X. X ) /\ A. y e. X A. z e. X ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) ) )
6	5	baib 903	. . . . . 6 |- ( M Fn ( X X. X ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> A. y e. X A. z e. X ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) ) )
7	3, 4, 6	3syl 20	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> A. y e. X A. z e. X ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) ) )
8		0red 9614	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 e. RR )
9		simplr 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> x e. RR )
10		metcl 20961	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. RR )
11	10	3expb 1197	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M z ) e. RR )
12	11	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M z ) e. RR )
13		metge0 20974	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X /\ z e. X ) -> 0 <_ ( y M z ) )
14	13	3expb 1197	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 <_ ( y M z ) )
15	14	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 <_ ( y M z ) )
16		elicc2 11614	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) )
17		df-3an 975	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) <-> ( ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) ) /\ ( y M z ) <_ x ) )
18	16, 17	syl6bb 261	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) )
19	18	baibd 909	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) /\ ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) ) ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( y M z ) <_ x ) )
20	8, 9, 12, 15, 19	syl22anc 1229	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( y M z ) <_ x ) )
21	20	2ralbidva 2899	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> ( A. y e. X A. z e. X ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )
22	7, 21	bitrd 253	. . . 4 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )
23	22	rexbidva 2965	. . 3 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> E. x e. RR A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )
24	23	pm5.32i 637	. 2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )
25	1, 24	bitri 249	1 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   X. cxp 5006   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   <_ cle 9646   [,]cicc 11557   Metcme 18531   Bndcbnd 30468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7329  df-ec 7331  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-2 10615  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-bnd 30480

This theorem is referenced by:  equivbnd  30491  iccbnd  30541