Theorem isbnd3b 32129

Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isbnd3b	|- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, M   x, X, y, z

Proof of Theorem isbnd3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbnd3 32128	. 2 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
2		metf 21357	. . . . . . 7 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M : ( X X. X ) --> RR )
3	2	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> M : ( X X. X ) --> RR )
4		ffn 5733	. . . . . 6 |- ( M : ( X X. X ) --> RR -> M Fn ( X X. X ) )
5		ffnov 6405	. . . . . . 7 |- ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> ( M Fn ( X X. X ) /\ A. y e. X A. z e. X ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) ) )
6	5	baib 915	. . . . . 6 |- ( M Fn ( X X. X ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> A. y e. X A. z e. X ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) ) )
7	3, 4, 6	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> A. y e. X A. z e. X ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) ) )
8		0red 9649	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 e. RR )
9		simplr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> x e. RR )
10		metcl 21359	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. RR )
11	10	3expb 1210	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M z ) e. RR )
12	11	adantlr 722	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M z ) e. RR )
13		metge0 21372	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X /\ z e. X ) -> 0 <_ ( y M z ) )
14	13	3expb 1210	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 <_ ( y M z ) )
15	14	adantlr 722	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 <_ ( y M z ) )
16		elicc2 11706	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) )
17		df-3an 988	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) <-> ( ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) ) /\ ( y M z ) <_ x ) )
18	16, 17	syl6bb 265	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) )
19	18	baibd 921	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) /\ ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) ) ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( y M z ) <_ x ) )
20	8, 9, 12, 15, 19	syl22anc 1270	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( y M z ) <_ x ) )
21	20	2ralbidva 2832	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> ( A. y e. X A. z e. X ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )
22	7, 21	bitrd 257	. . . 4 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )
23	22	rexbidva 2900	. . 3 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> E. x e. RR A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )
24	23	pm5.32i 643	. 2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )
25	1, 24	bitri 253	1 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )

Syntax hints:   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 986   e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   class class class wbr 4405   X. cxp 4835   Fn wfn 5580   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   RRcr 9543   0cc0 9544   <_ cle 9681   [,]cicc 11645   Metcme 18968   Bndcbnd 32111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-er 7368  df-ec 7370  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-2 10675  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-icc 11649  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-bnd 32123

This theorem is referenced by:  equivbnd  32134  iccbnd  32184