Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbnd3b Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isbnd3b 32129
Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isbnd3b  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x
) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, M    x, X, y, z

Proof of Theorem isbnd3b
StepHypRef Expression
1 isbnd3 32128 . 2  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) ) )
2 metf 21357 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M :
( X  X.  X
) --> RR )
32adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  ->  M : ( X  X.  X ) --> RR )
4 ffn 5733 . . . . . 6  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR  ->  M  Fn  ( X  X.  X ) )
5 ffnov 6405 . . . . . . 7  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  ( M  Fn  ( X  X.  X
)  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x
) ) )
65baib 915 . . . . . 6  |-  ( M  Fn  ( X  X.  X )  ->  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x
) ) )
73, 4, 63syl 18 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x
) ) )
8 0red 9649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
0  e.  RR )
9 simplr 763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  x  e.  RR )
10 metcl 21359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y M z )  e.  RR )
11103expb 1210 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( y M z )  e.  RR )
1211adantlr 722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y M z )  e.  RR )
13 metge0 21372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  0  <_  ( y M z ) )
14133expb 1210 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  0  <_  ( y M z ) )
1514adantlr 722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( y M z ) )
16 elicc2 11706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z )  /\  ( y M z )  <_  x )
) )
17 df-3an 988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z )  /\  (
y M z )  <_  x )  <->  ( (
( y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z ) )  /\  ( y M z )  <_  x )
)
1816, 17syl6bb 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( ( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y M z ) )  /\  (
y M z )  <_  x ) ) )
1918baibd 921 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y M z ) ) )  -> 
( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( y M z )  <_  x )
)
208, 9, 12, 15, 19syl22anc 1270 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( y M z )  <_  x )
)
21202ralbidva 2832 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x ) )
227, 21bitrd 257 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x ) )
2322rexbidva 2900 . . 3  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x
) )
2423pm5.32i 643 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) )  <-> 
( M  e.  ( Met `  X )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x
) )
251, 24bitri 253 1  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   class class class wbr 4405    X. cxp 4835    Fn wfn 5580   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   RRcr 9543   0cc0 9544    <_ cle 9681   [,]cicc 11645   Metcme 18968   Bndcbnd 32111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-er 7368  df-ec 7370  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-2 10675  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-icc 11649  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-bnd 32123
This theorem is referenced by:  equivbnd  32134  iccbnd  32184
  Copyright terms: Public domain W3C validator