Theorem isbnd3b 28689

Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isbnd3b	|- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, M   x, X, y, z

Proof of Theorem isbnd3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbnd3 28688	. 2 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
2		metf 19910	. . . . . . 7 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M : ( X X. X ) --> RR )
3	2	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> M : ( X X. X ) --> RR )
4		ffn 5564	. . . . . 6 |- ( M : ( X X. X ) --> RR -> M Fn ( X X. X ) )
5		ffnov 6199	. . . . . . 7 |- ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> ( M Fn ( X X. X ) /\ A. y e. X A. z e. X ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) ) )
6	5	baib 896	. . . . . 6 |- ( M Fn ( X X. X ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> A. y e. X A. z e. X ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) ) )
7	3, 4, 6	3syl 20	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> A. y e. X A. z e. X ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) ) )
8		0re 9391	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 e. RR )
10		simplr 754	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> x e. RR )
11		metcl 19912	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. RR )
12	11	3expb 1188	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M z ) e. RR )
13	12	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M z ) e. RR )
14		metge0 19925	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X /\ z e. X ) -> 0 <_ ( y M z ) )
15	14	3expb 1188	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 <_ ( y M z ) )
16	15	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> 0 <_ ( y M z ) )
17		elicc2 11365	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) )
18		df-3an 967	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) <-> ( ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) ) /\ ( y M z ) <_ x ) )
19	17, 18	syl6bb 261	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) )
20	19	baibd 900	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) /\ ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) ) ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( y M z ) <_ x ) )
21	9, 10, 13, 16, 20	syl22anc 1219	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( y M z ) <_ x ) )
22	21	2ralbidva 2760	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> ( A. y e. X A. z e. X ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )
23	7, 22	bitrd 253	. . . 4 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )
24	23	rexbidva 2737	. . 3 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> E. x e. RR A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )
25	24	pm5.32i 637	. 2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )
26	1, 25	bitri 249	1 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR A. y e. X A. z e. X ( y M z ) <_ x ) )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   class class class wbr 4297   X. cxp 4843   Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   RRcr 9286   0cc0 9287   <_ cle 9424   [,]cicc 11308   Metcme 17807   Bndcbnd 28671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-er 7106  df-ec 7108  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-2 10385  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-icc 11312  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-bnd 28683

This theorem is referenced by:  equivbnd  28694  iccbnd  28744