Theorem isbnd3 26383

Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isbnd3	|- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )

Distinct variable groups:   x, M   x, X

Proof of Theorem isbnd3

Dummy variables r y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bndmet 26380	. . 3 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> M e. ( Met ` X ) )
2		0re 9047	. . . . . 6 |- 0 e. RR
3		ne0i 3594	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR -> RR =/= (/) )
4	2, 3	ax-mp 8	. . . . 5 |- RR =/= (/)
5		metf 18313	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M : ( X X. X ) --> RR )
6		ffn 5550	. . . . . . . . . 10 |- ( M : ( X X. X ) --> RR -> M Fn ( X X. X ) )
7	5, 6	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M Fn ( X X. X ) )
8	1, 7	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> M Fn ( X X. X ) )
9	8	ad2antrr 707	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) /\ x e. RR ) -> M Fn ( X X. X ) )
10	1, 5	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> M : ( X X. X ) --> RR )
11		fdm 5554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M : ( X X. X ) --> RR -> dom M = ( X X. X ) )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> dom M = ( X X. X ) )
13		xpeq2 4852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X = (/) -> ( X X. X ) = ( X X. (/) ) )
14		xp0 5250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X X. (/) ) = (/)
15	13, 14	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . 11 |- ( X = (/) -> ( X X. X ) = (/) )
16	12, 15	sylan9eq 2456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) -> dom M = (/) )
17	16	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) /\ x e. RR ) -> dom M = (/) )
18		dm0rn0 5045	. . . . . . . . 9 |- ( dom M = (/) <-> ran M = (/) )
19	17, 18	sylib 189	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) /\ x e. RR ) -> ran M = (/) )
20		0ss 3616	. . . . . . . 8 |- (/) C_ ( 0 [,] x )
21	19, 20	syl6eqss 3358	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) /\ x e. RR ) -> ran M C_ ( 0 [,] x ) )
22		df-f 5417	. . . . . . 7 |- ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> ( M Fn ( X X. X ) /\ ran M C_ ( 0 [,] x ) ) )
23	9, 21, 22	sylanbrc 646	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) /\ x e. RR ) -> M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
24	23	ralrimiva 2749	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) -> A. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
25		r19.2z 3677	. . . . 5 |- ( ( RR =/= (/) /\ A. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
26	4, 24, 25	sylancr 645	. . . 4 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
27		isbnd2 26382	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) <-> ( M e. ( * Met ` X ) /\ E. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) )
28	27	simprbi 451	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) -> E. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) )
29		2re 10025	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
30		simprlr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> r e. RR+ )
31	30	rpred 10604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> r e. RR )
32		remulcl 9031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ r e. RR ) -> ( 2 x. r ) e. RR )
33	29, 31, 32	sylancr 645	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> ( 2 x. r ) e. RR )
34	7	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> M Fn ( X X. X ) )
35		simpll 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> M e. ( Met ` X ) )
36		simprl 733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> x e. X )
37		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> z e. X )
38		metcl 18315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. X /\ z e. X ) -> ( x M z ) e. RR )
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) e. RR )
40		metge0 18328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. X /\ z e. X ) -> 0 <_ ( x M z ) )
41	35, 36, 37, 40	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> 0 <_ ( x M z ) )
42	33	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( 2 x. r ) e. RR )
43		simprll 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> y e. X )
44	43	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> y e. X )
45		metcl 18315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X /\ x e. X ) -> ( y M x ) e. RR )
46	35, 44, 36, 45	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M x ) e. RR )
47		metcl 18315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. RR )
48	35, 44, 37, 47	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M z ) e. RR )
49	46, 48	readdcld 9071	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y M x ) + ( y M z ) ) e. RR )
50		mettri2 18324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( y e. X /\ x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) <_ ( ( y M x ) + ( y M z ) ) )
51	35, 44, 36, 37, 50	syl13anc 1186	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) <_ ( ( y M x ) + ( y M z ) ) )
52	31	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> r e. RR )
53		simplrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> X = ( y ( ball ` M ) r ) )
54	36, 53	eleqtrd 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> x e. ( y ( ball ` M ) r ) )
55		metxmet 18317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M e. ( * Met ` X ) )
56	35, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> M e. ( * Met ` X ) )
57		rpxr 10575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
58	57	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) -> r e. RR* )
59	58	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> r e. RR* )
60		elbl2 18373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ r e. RR* ) /\ ( y e. X /\ x e. X ) ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) r ) <-> ( y M x ) < r ) )
61	56, 59, 44, 36, 60	syl22anc 1185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) r ) <-> ( y M x ) < r ) )
62	54, 61	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M x ) < r )
63	37, 53	eleqtrd 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> z e. ( y ( ball ` M ) r ) )
64		elbl2 18373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ r e. RR* ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z e. ( y ( ball ` M ) r ) <-> ( y M z ) < r ) )
65	56, 59, 44, 37, 64	syl22anc 1185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( z e. ( y ( ball ` M ) r ) <-> ( y M z ) < r ) )
66	63, 65	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M z ) < r )
67	46, 48, 52, 52, 62, 66	lt2addd 9604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y M x ) + ( y M z ) ) < ( r + r ) )
68	52	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> r e. CC )
69	68	2timesd 10166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( 2 x. r ) = ( r + r ) )
70	67, 69	breqtrrd 4198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y M x ) + ( y M z ) ) < ( 2 x. r ) )
71	39, 49, 42, 51, 70	lelttrd 9184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) < ( 2 x. r ) )
72	39, 42, 71	ltled 9177	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) <_ ( 2 x. r ) )
73		elicc2 10931	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 2 x. r ) e. RR ) -> ( ( x M z ) e. ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) <-> ( ( x M z ) e. RR /\ 0 <_ ( x M z ) /\ ( x M z ) <_ ( 2 x. r ) ) ) )
74	2, 42, 73	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x M z ) e. ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) <-> ( ( x M z ) e. RR /\ 0 <_ ( x M z ) /\ ( x M z ) <_ ( 2 x. r ) ) ) )
75	39, 41, 72, 74	mpbir3and 1137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) e. ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) )
76	75	ralrimivva 2758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> A. x e. X A. z e. X ( x M z ) e. ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) )
77		ffnov 6133	. . . . . . . . . . 11 |- ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) <-> ( M Fn ( X X. X ) /\ A. x e. X A. z e. X ( x M z ) e. ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) ) )
78	34, 76, 77	sylanbrc 646	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) )
79		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 2 x. r ) -> ( 0 [,] x ) = ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) )
80		feq3 5537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 [,] x ) = ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) ) )
81	79, 80	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( 2 x. r ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) ) )
82	81	rspcev 3012	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. r ) e. RR /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
83	33, 78, 82	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
84	83	expr 599	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( y e. X /\ r e. RR+ ) ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) r ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
85	84	rexlimdvva 2797	. . . . . . 7 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
86	1, 85	syl 16	. . . . . 6 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> ( E. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
87	86	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) -> ( E. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
88	28, 87	mpd 15	. . . 4 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
89	26, 88	pm2.61dane 2645	. . 3 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
90	1, 89	jca 519	. 2 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
91		simpll 731	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) -> M e. ( Met ` X ) )
92		simpllr 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> x e. RR )
93	91	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> M e. ( Met ` X ) )
94		simpr 448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> y e. X )
95		met0 18326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) -> ( y M y ) = 0 )
96	93, 94, 95	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( y M y ) = 0 )
97		simplr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
98	97, 94, 94	fovrnd 6177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( y M y ) e. ( 0 [,] x ) )
99		elicc2 10931	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y M y ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M y ) e. RR /\ 0 <_ ( y M y ) /\ ( y M y ) <_ x ) ) )
100	2, 92, 99	sylancr 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( ( y M y ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M y ) e. RR /\ 0 <_ ( y M y ) /\ ( y M y ) <_ x ) ) )
101	98, 100	mpbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( ( y M y ) e. RR /\ 0 <_ ( y M y ) /\ ( y M y ) <_ x ) )
102	101	simp3d 971	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( y M y ) <_ x )
103	96, 102	eqbrtrrd 4194	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> 0 <_ x )
104	92, 103	ge0p1rpd 10630	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( x + 1 ) e. RR+ )
105		fovrn 6175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) )
106	105	3expa 1153	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) )
107	106	adantlll 699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) )
108		elicc2 10931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) )
109	2, 92, 108	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) )
110	109	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) )
111	107, 110	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) )
112	111	simp1d 969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. RR )
113	92	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> x e. RR )
114		peano2re 9195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR )
115	92, 114	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( x + 1 ) e. RR )
116	115	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( x + 1 ) e. RR )
117	111	simp3d 971	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( y M z ) <_ x )
118	113	ltp1d 9897	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> x < ( x + 1 ) )
119	112, 113, 116, 117, 118	lelttrd 9184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( y M z ) < ( x + 1 ) )
120	119	ralrimiva 2749	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> A. z e. X ( y M z ) < ( x + 1 ) )
121		rabid2 2845	. . . . . . . . . 10 |- ( X = { z e. X | ( y M z ) < ( x + 1 ) } <-> A. z e. X ( y M z ) < ( x + 1 ) )
122	120, 121	sylibr 204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> X = { z e. X | ( y M z ) < ( x + 1 ) } )
123	93, 55	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> M e. ( * Met ` X ) )
124	115	rexrd 9090	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( x + 1 ) e. RR* )
125		blval 18369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( * Met ` X ) /\ y e. X /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) = { z e. X | ( y M z ) < ( x + 1 ) } )
126	123, 94, 124, 125	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) = { z e. X | ( y M z ) < ( x + 1 ) } )
127	122, 126	eqtr4d 2439	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) )
128		oveq2 6048	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( x + 1 ) -> ( y ( ball ` M ) r ) = ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) )
129	128	eqeq2d 2415	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( x + 1 ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) r ) <-> X = ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) ) )
130	129	rspcev 3012	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x + 1 ) e. RR+ /\ X = ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) ) -> E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) )
131	104, 127, 130	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) )
132	131	ralrimiva 2749	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) -> A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) )
133		isbnd 26379	. . . . . 6 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) )
134	91, 132, 133	sylanbrc 646	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) -> M e. ( Bnd ` X ) )
135	134	ex 424	. . . 4 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) -> M e. ( Bnd ` X ) ) )
136	135	rexlimdva 2790	. . 3 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) -> M e. ( Bnd ` X ) ) )
137	136	imp 419	. 2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) -> M e. ( Bnd ` X ) )
138	90, 137	impbii 181	1 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   2c2 10005   RR+crp 10568   [,]cicc 10875   * Metcxmt 16641   Metcme 16642   ballcbl 16643   Bndcbnd 26366

This theorem is referenced by:  isbnd3b  26384  prdsbnd  26392

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-er 6864  df-ec 6866  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-2 10014  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-bnd 26378