Theorem isbnd3 28636

Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isbnd3	|- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )

Distinct variable groups:   x, M   x, X

Proof of Theorem isbnd3

Dummy variables r y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bndmet 28633	. . 3 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> M e. ( Met ` X ) )
2		0re 9378	. . . . . 6 |- 0 e. RR
3		ne0i 3638	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR -> RR =/= (/) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- RR =/= (/)
5		metf 19880	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M : ( X X. X ) --> RR )
6		ffn 5554	. . . . . . . . . 10 |- ( M : ( X X. X ) --> RR -> M Fn ( X X. X ) )
7	5, 6	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M Fn ( X X. X ) )
8	1, 7	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> M Fn ( X X. X ) )
9	8	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) /\ x e. RR ) -> M Fn ( X X. X ) )
10	1, 5	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> M : ( X X. X ) --> RR )
11		fdm 5558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M : ( X X. X ) --> RR -> dom M = ( X X. X ) )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> dom M = ( X X. X ) )
13		xpeq2 4850	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X = (/) -> ( X X. X ) = ( X X. (/) ) )
14		xp0 5251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X X. (/) ) = (/)
15	13, 14	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . 11 |- ( X = (/) -> ( X X. X ) = (/) )
16	12, 15	sylan9eq 2490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) -> dom M = (/) )
17	16	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) /\ x e. RR ) -> dom M = (/) )
18		dm0rn0 5051	. . . . . . . . 9 |- ( dom M = (/) <-> ran M = (/) )
19	17, 18	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) /\ x e. RR ) -> ran M = (/) )
20		0ss 3661	. . . . . . . 8 |- (/) C_ ( 0 [,] x )
21	19, 20	syl6eqss 3401	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) /\ x e. RR ) -> ran M C_ ( 0 [,] x ) )
22		df-f 5417	. . . . . . 7 |- ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> ( M Fn ( X X. X ) /\ ran M C_ ( 0 [,] x ) ) )
23	9, 21, 22	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) /\ x e. RR ) -> M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
24	23	ralrimiva 2794	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) -> A. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
25		r19.2z 3764	. . . . 5 |- ( ( RR =/= (/) /\ A. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
26	4, 24, 25	sylancr 663	. . . 4 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
27		isbnd2 28635	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ E. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) )
28	27	simprbi 464	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) -> E. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) )
29		2re 10383	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
30		simprlr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> r e. RR+ )
31	30	rpred 11019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> r e. RR )
32		remulcl 9359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ r e. RR ) -> ( 2 x. r ) e. RR )
33	29, 31, 32	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> ( 2 x. r ) e. RR )
34	7	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> M Fn ( X X. X ) )
35		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> M e. ( Met ` X ) )
36		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> x e. X )
37		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> z e. X )
38		metcl 19882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. X /\ z e. X ) -> ( x M z ) e. RR )
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) e. RR )
40		metge0 19895	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. X /\ z e. X ) -> 0 <_ ( x M z ) )
41	35, 36, 37, 40	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> 0 <_ ( x M z ) )
42	33	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( 2 x. r ) e. RR )
43		simprll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> y e. X )
44	43	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> y e. X )
45		metcl 19882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X /\ x e. X ) -> ( y M x ) e. RR )
46	35, 44, 36, 45	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M x ) e. RR )
47		metcl 19882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. RR )
48	35, 44, 37, 47	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M z ) e. RR )
49	46, 48	readdcld 9405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y M x ) + ( y M z ) ) e. RR )
50		mettri2 19891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( y e. X /\ x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) <_ ( ( y M x ) + ( y M z ) ) )
51	35, 44, 36, 37, 50	syl13anc 1220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) <_ ( ( y M x ) + ( y M z ) ) )
52	31	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> r e. RR )
53		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> X = ( y ( ball ` M ) r ) )
54	36, 53	eleqtrd 2514	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> x e. ( y ( ball ` M ) r ) )
55		metxmet 19884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M e. ( *Met ` X ) )
56	35, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
57		rpxr 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
58	57	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) -> r e. RR* )
59	58	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> r e. RR* )
60		elbl2 19940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ r e. RR* ) /\ ( y e. X /\ x e. X ) ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) r ) <-> ( y M x ) < r ) )
61	56, 59, 44, 36, 60	syl22anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) r ) <-> ( y M x ) < r ) )
62	54, 61	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M x ) < r )
63	37, 53	eleqtrd 2514	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> z e. ( y ( ball ` M ) r ) )
64		elbl2 19940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ r e. RR* ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z e. ( y ( ball ` M ) r ) <-> ( y M z ) < r ) )
65	56, 59, 44, 37, 64	syl22anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( z e. ( y ( ball ` M ) r ) <-> ( y M z ) < r ) )
66	63, 65	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M z ) < r )
67	46, 48, 52, 52, 62, 66	lt2addd 9953	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y M x ) + ( y M z ) ) < ( r + r ) )
68	52	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> r e. CC )
69	68	2timesd 10559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( 2 x. r ) = ( r + r ) )
70	67, 69	breqtrrd 4313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y M x ) + ( y M z ) ) < ( 2 x. r ) )
71	39, 49, 42, 51, 70	lelttrd 9521	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) < ( 2 x. r ) )
72	39, 42, 71	ltled 9514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) <_ ( 2 x. r ) )
73		elicc2 11352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 2 x. r ) e. RR ) -> ( ( x M z ) e. ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) <-> ( ( x M z ) e. RR /\ 0 <_ ( x M z ) /\ ( x M z ) <_ ( 2 x. r ) ) ) )
74	2, 42, 73	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x M z ) e. ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) <-> ( ( x M z ) e. RR /\ 0 <_ ( x M z ) /\ ( x M z ) <_ ( 2 x. r ) ) ) )
75	39, 41, 72, 74	mpbir3and 1171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) e. ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) )
76	75	ralrimivva 2803	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> A. x e. X A. z e. X ( x M z ) e. ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) )
77		ffnov 6189	. . . . . . . . . . 11 |- ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) <-> ( M Fn ( X X. X ) /\ A. x e. X A. z e. X ( x M z ) e. ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) ) )
78	34, 76, 77	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) )
79		oveq2 6094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 2 x. r ) -> ( 0 [,] x ) = ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) )
80		feq3 5539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 [,] x ) = ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) ) )
81	79, 80	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( 2 x. r ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) ) )
82	81	rspcev 3068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. r ) e. RR /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
83	33, 78, 82	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
84	83	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( y e. X /\ r e. RR+ ) ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) r ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
85	84	rexlimdvva 2843	. . . . . . 7 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
86	1, 85	syl 16	. . . . . 6 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> ( E. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
87	86	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) -> ( E. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
88	28, 87	mpd 15	. . . 4 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
89	26, 88	pm2.61dane 2684	. . 3 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
90	1, 89	jca 532	. 2 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
91		simpll 753	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) -> M e. ( Met ` X ) )
92		simpllr 758	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> x e. RR )
93	91	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> M e. ( Met ` X ) )
94		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> y e. X )
95		met0 19893	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) -> ( y M y ) = 0 )
96	93, 94, 95	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( y M y ) = 0 )
97		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
98	97, 94, 94	fovrnd 6230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( y M y ) e. ( 0 [,] x ) )
99		elicc2 11352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y M y ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M y ) e. RR /\ 0 <_ ( y M y ) /\ ( y M y ) <_ x ) ) )
100	2, 92, 99	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( ( y M y ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M y ) e. RR /\ 0 <_ ( y M y ) /\ ( y M y ) <_ x ) ) )
101	98, 100	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( ( y M y ) e. RR /\ 0 <_ ( y M y ) /\ ( y M y ) <_ x ) )
102	101	simp3d 1002	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( y M y ) <_ x )
103	96, 102	eqbrtrrd 4309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> 0 <_ x )
104	92, 103	ge0p1rpd 11045	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( x + 1 ) e. RR+ )
105		fovrn 6228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) )
106	105	3expa 1187	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) )
107	106	adantlll 717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) )
108		elicc2 11352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) )
109	2, 92, 108	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) )
110	109	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) )
111	107, 110	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) )
112	111	simp1d 1000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. RR )
113	92	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> x e. RR )
114		peano2re 9534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR )
115	92, 114	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( x + 1 ) e. RR )
116	115	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( x + 1 ) e. RR )
117	111	simp3d 1002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( y M z ) <_ x )
118	113	ltp1d 10255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> x < ( x + 1 ) )
119	112, 113, 116, 117, 118	lelttrd 9521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( y M z ) < ( x + 1 ) )
120	119	ralrimiva 2794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> A. z e. X ( y M z ) < ( x + 1 ) )
121		rabid2 2893	. . . . . . . . . 10 |- ( X = { z e. X | ( y M z ) < ( x + 1 ) } <-> A. z e. X ( y M z ) < ( x + 1 ) )
122	120, 121	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> X = { z e. X | ( y M z ) < ( x + 1 ) } )
123	93, 55	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> M e. ( *Met ` X ) )
124	115	rexrd 9425	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( x + 1 ) e. RR* )
125		blval 19936	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) = { z e. X | ( y M z ) < ( x + 1 ) } )
126	123, 94, 124, 125	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) = { z e. X | ( y M z ) < ( x + 1 ) } )
127	122, 126	eqtr4d 2473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) )
128		oveq2 6094	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( x + 1 ) -> ( y ( ball ` M ) r ) = ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) )
129	128	eqeq2d 2449	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( x + 1 ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) r ) <-> X = ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) ) )
130	129	rspcev 3068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x + 1 ) e. RR+ /\ X = ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) ) -> E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) )
131	104, 127, 130	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) )
132	131	ralrimiva 2794	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) -> A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) )
133		isbnd 28632	. . . . . 6 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) )
134	91, 132, 133	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) -> M e. ( Bnd ` X ) )
135	134	ex 434	. . . 4 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) -> M e. ( Bnd ` X ) ) )
136	135	rexlimdva 2836	. . 3 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) -> M e. ( Bnd ` X ) ) )
137	136	imp 429	. 2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) -> M e. ( Bnd ` X ) )
138	90, 137	impbii 188	1 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714   C_ wss 3323   (/)c0 3632   class class class wbr 4287   X. cxp 4833   dom cdm 4835   ran crn 4836   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   RR*cxr 9409   < clt 9410   <_ cle 9411   2c2 10363   RR+crp 10983   [,]cicc 11295   *Metcxmt 17776   Metcme 17777   ballcbl 17778   Bndcbnd 28619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-er 7093  df-ec 7095  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-2 10372  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-icc 11299  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-bnd 28631

This theorem is referenced by:  isbnd3b  28637  prdsbnd  28645