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Theorem isbnd3 32023
Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isbnd3  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, X

Proof of Theorem isbnd3
Dummy variables  r 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndmet 32020 . . 3  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
2 0re 9594 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
32ne0ii 3711 . . . . 5  |-  RR  =/=  (/)
4 metf 21287 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M :
( X  X.  X
) --> RR )
5 ffn 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR  ->  M  Fn  ( X  X.  X ) )
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M  Fn  ( X  X.  X
) )
71, 6syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  M  Fn  ( X  X.  X
) )
87ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  M  Fn  ( X  X.  X ) )
91, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  M :
( X  X.  X
) --> RR )
10 fdm 5693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR  ->  dom 
M  =  ( X  X.  X ) )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  dom  M  =  ( X  X.  X
) )
12 xpeq2 4811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X  X.  X )  =  ( X  X.  (/) ) )
13 xp0 5217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  X.  (/) )  =  (/)
1412, 13syl6eq 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X  X.  X )  =  (/) )
1511, 14sylan9eq 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  ->  dom  M  =  (/) )
1615adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  dom  M  =  (/) )
17 dm0rn0 5013 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
M  =  (/)  <->  ran  M  =  (/) )
1816, 17sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  ran  M  =  (/) )
19 0ss 3736 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  (
0 [,] x )
2018, 19syl6eqss 3457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  ran  M  C_  (
0 [,] x ) )
21 df-f 5548 . . . . . . 7  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  ( M  Fn  ( X  X.  X
)  /\  ran  M  C_  ( 0 [,] x
) ) )
228, 20, 21sylanbrc 668 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )
2322ralrimiva 2779 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  ->  A. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )
24 r19.2z 3831 . . . . 5  |-  ( ( RR  =/=  (/)  /\  A. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) )
253, 23, 24sylancr 667 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )
26 isbnd2 32022 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) r ) ) )
2726simprbi 465 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) r ) )
28 2re 10630 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
29 simprlr 771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
3029rpred 11292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  r  e.  RR )
31 remulcl 9575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( 2  x.  r
)  e.  RR )
3228, 30, 31sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  ( 2  x.  r )  e.  RR )
336adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  M  Fn  ( X  X.  X
) )
34 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
35 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  x  e.  X )
36 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
37 metcl 21289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
x M z )  e.  RR )
3834, 35, 36, 37syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x M z )  e.  RR )
39 metge0 21302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  0  <_  ( x M z ) )
4034, 35, 36, 39syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x M z ) )
4132adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( 2  x.  r
)  e.  RR )
42 simprll 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  y  e.  X )
4342adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
44 metcl 21289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  (
y M x )  e.  RR )
4534, 43, 35, 44syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y M x )  e.  RR )
46 metcl 21289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y M z )  e.  RR )
4734, 43, 36, 46syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y M z )  e.  RR )
4845, 47readdcld 9621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y M x )  +  ( y M z ) )  e.  RR )
49 mettri2 21298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( x M z )  <_ 
( ( y M x )  +  ( y M z ) ) )
5034, 43, 35, 36, 49syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x M z )  <_  ( (
y M x )  +  ( y M z ) ) )
5130adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
r  e.  RR )
52 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  X  =  ( y
( ball `  M )
r ) )
5335, 52eleqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  x  e.  ( y
( ball `  M )
r ) )
54 metxmet 21291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M  e.  ( *Met `  X
) )
5534, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
56 rpxr 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
5756ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) )  ->  r  e.  RR* )
5857ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
r  e.  RR* )
59 elbl2 21347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  r  e.  RR* )  /\  ( y  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( x  e.  ( y ( ball `  M
) r )  <->  ( y M x )  < 
r ) )
6055, 58, 43, 35, 59syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x  e.  ( y ( ball `  M
) r )  <->  ( y M x )  < 
r ) )
6153, 60mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y M x )  <  r )
6236, 52eleqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
z  e.  ( y ( ball `  M
) r ) )
63 elbl2 21347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  r  e.  RR* )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z  e.  ( y ( ball `  M
) r )  <->  ( y M z )  < 
r ) )
6455, 58, 43, 36, 63syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z  e.  ( y ( ball `  M
) r )  <->  ( y M z )  < 
r ) )
6562, 64mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y M z )  <  r )
6645, 47, 51, 51, 61, 65lt2addd 10187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y M x )  +  ( y M z ) )  <  ( r  +  r ) )
6751recnd 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
r  e.  CC )
68672timesd 10806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( 2  x.  r
)  =  ( r  +  r ) )
6966, 68breqtrrd 4393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y M x )  +  ( y M z ) )  <  ( 2  x.  r ) )
7038, 48, 41, 50, 69lelttrd 9744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x M z )  <  ( 2  x.  r ) )
7138, 41, 70ltled 9734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x M z )  <_  ( 2  x.  r ) )
72 elicc2 11650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 2  x.  r
)  e.  RR )  ->  ( ( x M z )  e.  ( 0 [,] (
2  x.  r ) )  <->  ( ( x M z )  e.  RR  /\  0  <_ 
( x M z )  /\  ( x M z )  <_ 
( 2  x.  r
) ) ) )
732, 41, 72sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x M z )  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  r ) )  <-> 
( ( x M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( x M z )  /\  ( x M z )  <_  ( 2  x.  r ) ) ) )
7438, 40, 71, 73mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x M z )  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  r ) ) )
7574ralrimivva 2786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( x M z )  e.  ( 0 [,] (
2  x.  r ) ) )
76 ffnov 6358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] ( 2  x.  r ) )  <->  ( M  Fn  ( X  X.  X
)  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( x M z )  e.  ( 0 [,] (
2  x.  r ) ) ) )
7733, 75, 76sylanbrc 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] ( 2  x.  r
) ) )
78 oveq2 6257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 2  x.  r )  ->  (
0 [,] x )  =  ( 0 [,] ( 2  x.  r
) ) )
7978feq3d 5677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( 2  x.  r )  ->  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] ( 2  x.  r
) ) ) )
8079rspcev 3125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  r
)  e.  RR  /\  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] ( 2  x.  r ) ) )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) )
8132, 77, 80syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )
8281expr 618 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( X  =  ( y ( ball `  M ) r )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
8382rexlimdvva 2863 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) r )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
841, 83syl 17 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  ( E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) r )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
8584adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) r )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
8627, 85mpd 15 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )
8725, 86pm2.61dane 2688 . . 3  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )
881, 87jca 534 . 2  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) ) )
89 simpll 758 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )  ->  M  e.  ( Met `  X
) )
90 simpllr 767 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  x  e.  RR )
9189adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
92 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
93 met0 21300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
y M y )  =  0 )
9491, 92, 93syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( y M y )  =  0 )
95 simplr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) )
9695, 92, 92fovrnd 6399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( y M y )  e.  ( 0 [,] x ) )
97 elicc2 11650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y M y )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( ( y M y )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M y )  /\  ( y M y )  <_  x )
) )
982, 90, 97sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( ( y M y )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( ( y M y )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M y )  /\  ( y M y )  <_  x )
) )
9996, 98mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( ( y M y )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M y )  /\  ( y M y )  <_  x )
)
10099simp3d 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( y M y )  <_  x )
10194, 100eqbrtrrd 4389 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  x )
10290, 101ge0p1rpd 11319 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR+ )
103 fovrn 6397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
)  ->  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x
) )
1041033expa 1205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X )  ->  (
y M z )  e.  ( 0 [,] x ) )
105104adantlll 722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x
) )
106 elicc2 11650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z )  /\  ( y M z )  <_  x )
) )
1072, 90, 106sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z )  /\  ( y M z )  <_  x )
) )
108107adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( (
y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <->  ( (
y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z )  /\  ( y M z )  <_  x ) ) )
109105, 108mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( (
y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z )  /\  ( y M z )  <_  x ) )
110109simp1d 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y M z )  e.  RR )
11190adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  x  e.  RR )
112 peano2re 9757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
11390, 112syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR )
114113adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( x  +  1 )  e.  RR )
115109simp3d 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y M z )  <_  x )
116111ltp1d 10488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  x  <  ( x  +  1 ) )
117110, 111, 114, 115, 116lelttrd 9744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y M z )  < 
( x  +  1 ) )
118117ralrimiva 2779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  A. z  e.  X  ( y M z )  <  ( x  +  1 ) )
119 rabid2 2945 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { z  e.  X  |  ( y M z )  < 
( x  +  1 ) }  <->  A. z  e.  X  ( y M z )  < 
( x  +  1 ) )
120118, 119sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  X  =  { z  e.  X  |  ( y M z )  <  ( x  + 
1 ) } )
12191, 54syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
122113rexrd 9641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR* )
123 blval 21343 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( x  +  1 )  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  M ) ( x  +  1 ) )  =  { z  e.  X  |  ( y M z )  < 
( x  +  1 ) } )
124121, 92, 122, 123syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( y ( ball `  M ) ( x  +  1 ) )  =  { z  e.  X  |  ( y M z )  < 
( x  +  1 ) } )
125120, 124eqtr4d 2465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  X  =  ( y ( ball `  M
) ( x  + 
1 ) ) )
126 oveq2 6257 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( x  + 
1 )  ->  (
y ( ball `  M
) r )  =  ( y ( ball `  M ) ( x  +  1 ) ) )
127126eqeq2d 2438 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( x  + 
1 )  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) ( x  +  1 ) ) ) )
128127rspcev 3125 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  RR+  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
( x  +  1 ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) r ) )
129102, 125, 128syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) )
130129ralrimiva 2779 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )  ->  A. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) r ) )
131 isbnd 32019 . . . 4  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) r ) ) )
13289, 130, 131sylanbrc 668 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )  ->  M  e.  ( Bnd `  X
) )
133132r19.29an 2908 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) )  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) )
13488, 133impbii 190 1  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718    C_ wss 3379   (/)c0 3704   class class class wbr 4366    X. cxp 4794   dom cdm 4796   ran crn 4797    Fn wfn 5539   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627   2c2 10610   RR+crp 11253   [,]cicc 11589   *Metcxmt 18898   Metcme 18899   ballcbl 18900   Bndcbnd 32006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-er 7318  df-ec 7320  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-2 10619  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-icc 11593  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-bnd 32018
This theorem is referenced by:  isbnd3b  32024  prdsbnd  32032
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