Theorem isbnd3 29881

Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isbnd3	|- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )

Distinct variable groups:   x, M   x, X

Proof of Theorem isbnd3

Dummy variables r y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bndmet 29878	. . 3 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> M e. ( Met ` X ) )
2		0re 9592	. . . . . 6 |- 0 e. RR
3		ne0i 3791	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR -> RR =/= (/) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- RR =/= (/)
5		metf 20565	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M : ( X X. X ) --> RR )
6		ffn 5729	. . . . . . . . . 10 |- ( M : ( X X. X ) --> RR -> M Fn ( X X. X ) )
7	5, 6	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M Fn ( X X. X ) )
8	1, 7	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> M Fn ( X X. X ) )
9	8	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) /\ x e. RR ) -> M Fn ( X X. X ) )
10	1, 5	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> M : ( X X. X ) --> RR )
11		fdm 5733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M : ( X X. X ) --> RR -> dom M = ( X X. X ) )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> dom M = ( X X. X ) )
13		xpeq2 5014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X = (/) -> ( X X. X ) = ( X X. (/) ) )
14		xp0 5423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X X. (/) ) = (/)
15	13, 14	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( X = (/) -> ( X X. X ) = (/) )
16	12, 15	sylan9eq 2528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) -> dom M = (/) )
17	16	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) /\ x e. RR ) -> dom M = (/) )
18		dm0rn0 5217	. . . . . . . . 9 |- ( dom M = (/) <-> ran M = (/) )
19	17, 18	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) /\ x e. RR ) -> ran M = (/) )
20		0ss 3814	. . . . . . . 8 |- (/) C_ ( 0 [,] x )
21	19, 20	syl6eqss 3554	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) /\ x e. RR ) -> ran M C_ ( 0 [,] x ) )
22		df-f 5590	. . . . . . 7 |- ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> ( M Fn ( X X. X ) /\ ran M C_ ( 0 [,] x ) ) )
23	9, 21, 22	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) /\ x e. RR ) -> M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
24	23	ralrimiva 2878	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) -> A. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
25		r19.2z 3917	. . . . 5 |- ( ( RR =/= (/) /\ A. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
26	4, 24, 25	sylancr 663	. . . 4 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
27		isbnd2 29880	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ E. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) )
28	27	simprbi 464	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) -> E. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) )
29		2re 10601	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
30		simprlr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> r e. RR+ )
31	30	rpred 11252	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> r e. RR )
32		remulcl 9573	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ r e. RR ) -> ( 2 x. r ) e. RR )
33	29, 31, 32	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> ( 2 x. r ) e. RR )
34	7	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> M Fn ( X X. X ) )
35		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> M e. ( Met ` X ) )
36		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> x e. X )
37		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> z e. X )
38		metcl 20567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. X /\ z e. X ) -> ( x M z ) e. RR )
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) e. RR )
40		metge0 20580	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. X /\ z e. X ) -> 0 <_ ( x M z ) )
41	35, 36, 37, 40	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> 0 <_ ( x M z ) )
42	33	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( 2 x. r ) e. RR )
43		simprll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> y e. X )
44	43	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> y e. X )
45		metcl 20567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X /\ x e. X ) -> ( y M x ) e. RR )
46	35, 44, 36, 45	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M x ) e. RR )
47		metcl 20567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. RR )
48	35, 44, 37, 47	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M z ) e. RR )
49	46, 48	readdcld 9619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y M x ) + ( y M z ) ) e. RR )
50		mettri2 20576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( y e. X /\ x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) <_ ( ( y M x ) + ( y M z ) ) )
51	35, 44, 36, 37, 50	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) <_ ( ( y M x ) + ( y M z ) ) )
52	31	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> r e. RR )
53		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> X = ( y ( ball ` M ) r ) )
54	36, 53	eleqtrd 2557	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> x e. ( y ( ball ` M ) r ) )
55		metxmet 20569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M e. ( *Met ` X ) )
56	35, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
57		rpxr 11223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
58	57	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) -> r e. RR* )
59	58	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> r e. RR* )
60		elbl2 20625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ r e. RR* ) /\ ( y e. X /\ x e. X ) ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) r ) <-> ( y M x ) < r ) )
61	56, 59, 44, 36, 60	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) r ) <-> ( y M x ) < r ) )
62	54, 61	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M x ) < r )
63	37, 53	eleqtrd 2557	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> z e. ( y ( ball ` M ) r ) )
64		elbl2 20625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ r e. RR* ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z e. ( y ( ball ` M ) r ) <-> ( y M z ) < r ) )
65	56, 59, 44, 37, 64	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( z e. ( y ( ball ` M ) r ) <-> ( y M z ) < r ) )
66	63, 65	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M z ) < r )
67	46, 48, 52, 52, 62, 66	lt2addd 10170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y M x ) + ( y M z ) ) < ( r + r ) )
68	52	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> r e. CC )
69	68	2timesd 10777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( 2 x. r ) = ( r + r ) )
70	67, 69	breqtrrd 4473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y M x ) + ( y M z ) ) < ( 2 x. r ) )
71	39, 49, 42, 51, 70	lelttrd 9735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) < ( 2 x. r ) )
72	39, 42, 71	ltled 9728	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) <_ ( 2 x. r ) )
73		elicc2 11585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 2 x. r ) e. RR ) -> ( ( x M z ) e. ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) <-> ( ( x M z ) e. RR /\ 0 <_ ( x M z ) /\ ( x M z ) <_ ( 2 x. r ) ) ) )
74	2, 42, 73	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x M z ) e. ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) <-> ( ( x M z ) e. RR /\ 0 <_ ( x M z ) /\ ( x M z ) <_ ( 2 x. r ) ) ) )
75	39, 41, 72, 74	mpbir3and 1179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) e. ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) )
76	75	ralrimivva 2885	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> A. x e. X A. z e. X ( x M z ) e. ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) )
77		ffnov 6388	. . . . . . . . . . 11 |- ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) <-> ( M Fn ( X X. X ) /\ A. x e. X A. z e. X ( x M z ) e. ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) ) )
78	34, 76, 77	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) )
79		oveq2 6290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 2 x. r ) -> ( 0 [,] x ) = ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) )
80		feq3 5713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 [,] x ) = ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) ) )
81	79, 80	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( 2 x. r ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) ) )
82	81	rspcev 3214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. r ) e. RR /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
83	33, 78, 82	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
84	83	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( y e. X /\ r e. RR+ ) ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) r ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
85	84	rexlimdvva 2962	. . . . . . 7 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
86	1, 85	syl 16	. . . . . 6 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> ( E. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
87	86	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) -> ( E. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
88	28, 87	mpd 15	. . . 4 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
89	26, 88	pm2.61dane 2785	. . 3 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
90	1, 89	jca 532	. 2 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
91		simpll 753	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) -> M e. ( Met ` X ) )
92		simpllr 758	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> x e. RR )
93	91	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> M e. ( Met ` X ) )
94		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> y e. X )
95		met0 20578	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) -> ( y M y ) = 0 )
96	93, 94, 95	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( y M y ) = 0 )
97		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
98	97, 94, 94	fovrnd 6429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( y M y ) e. ( 0 [,] x ) )
99		elicc2 11585	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y M y ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M y ) e. RR /\ 0 <_ ( y M y ) /\ ( y M y ) <_ x ) ) )
100	2, 92, 99	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( ( y M y ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M y ) e. RR /\ 0 <_ ( y M y ) /\ ( y M y ) <_ x ) ) )
101	98, 100	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( ( y M y ) e. RR /\ 0 <_ ( y M y ) /\ ( y M y ) <_ x ) )
102	101	simp3d 1010	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( y M y ) <_ x )
103	96, 102	eqbrtrrd 4469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> 0 <_ x )
104	92, 103	ge0p1rpd 11278	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( x + 1 ) e. RR+ )
105		fovrn 6427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) )
106	105	3expa 1196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) )
107	106	adantlll 717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) )
108		elicc2 11585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) )
109	2, 92, 108	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) )
110	109	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) )
111	107, 110	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) )
112	111	simp1d 1008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. RR )
113	92	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> x e. RR )
114		peano2re 9748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR )
115	92, 114	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( x + 1 ) e. RR )
116	115	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( x + 1 ) e. RR )
117	111	simp3d 1010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( y M z ) <_ x )
118	113	ltp1d 10472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> x < ( x + 1 ) )
119	112, 113, 116, 117, 118	lelttrd 9735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( y M z ) < ( x + 1 ) )
120	119	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> A. z e. X ( y M z ) < ( x + 1 ) )
121		rabid2 3039	. . . . . . . . . 10 |- ( X = { z e. X | ( y M z ) < ( x + 1 ) } <-> A. z e. X ( y M z ) < ( x + 1 ) )
122	120, 121	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> X = { z e. X | ( y M z ) < ( x + 1 ) } )
123	93, 55	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> M e. ( *Met ` X ) )
124	115	rexrd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( x + 1 ) e. RR* )
125		blval 20621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) = { z e. X | ( y M z ) < ( x + 1 ) } )
126	123, 94, 124, 125	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) = { z e. X | ( y M z ) < ( x + 1 ) } )
127	122, 126	eqtr4d 2511	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) )
128		oveq2 6290	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( x + 1 ) -> ( y ( ball ` M ) r ) = ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) )
129	128	eqeq2d 2481	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( x + 1 ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) r ) <-> X = ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) ) )
130	129	rspcev 3214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x + 1 ) e. RR+ /\ X = ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) ) -> E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) )
131	104, 127, 130	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) )
132	131	ralrimiva 2878	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) -> A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) )
133		isbnd 29877	. . . . . 6 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) )
134	91, 132, 133	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) -> M e. ( Bnd ` X ) )
135	134	ex 434	. . . 4 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) -> M e. ( Bnd ` X ) ) )
136	135	rexlimdva 2955	. . 3 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) -> M e. ( Bnd ` X ) ) )
137	136	imp 429	. 2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) -> M e. ( Bnd ` X ) )
138	90, 137	impbii 188	1 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000   Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   RR*cxr 9623   < clt 9624   <_ cle 9625   2c2 10581   RR+crp 11216   [,]cicc 11528   *Metcxmt 18171   Metcme 18172   ballcbl 18173   Bndcbnd 29864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7308  df-ec 7310  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-2 10590  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-icc 11532  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-bnd 29876

This theorem is referenced by:  isbnd3b  29882  prdsbnd  29890