Theorem isbnd3 28832

Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isbnd3	|- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )

Distinct variable groups:   x, M   x, X

Proof of Theorem isbnd3

Dummy variables r y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bndmet 28829	. . 3 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> M e. ( Met ` X ) )
2		0re 9498	. . . . . 6 |- 0 e. RR
3		ne0i 3752	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR -> RR =/= (/) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- RR =/= (/)
5		metf 20038	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M : ( X X. X ) --> RR )
6		ffn 5668	. . . . . . . . . 10 |- ( M : ( X X. X ) --> RR -> M Fn ( X X. X ) )
7	5, 6	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M Fn ( X X. X ) )
8	1, 7	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> M Fn ( X X. X ) )
9	8	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) /\ x e. RR ) -> M Fn ( X X. X ) )
10	1, 5	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> M : ( X X. X ) --> RR )
11		fdm 5672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M : ( X X. X ) --> RR -> dom M = ( X X. X ) )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> dom M = ( X X. X ) )
13		xpeq2 4964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X = (/) -> ( X X. X ) = ( X X. (/) ) )
14		xp0 5365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X X. (/) ) = (/)
15	13, 14	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . 11 |- ( X = (/) -> ( X X. X ) = (/) )
16	12, 15	sylan9eq 2515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) -> dom M = (/) )
17	16	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) /\ x e. RR ) -> dom M = (/) )
18		dm0rn0 5165	. . . . . . . . 9 |- ( dom M = (/) <-> ran M = (/) )
19	17, 18	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) /\ x e. RR ) -> ran M = (/) )
20		0ss 3775	. . . . . . . 8 |- (/) C_ ( 0 [,] x )
21	19, 20	syl6eqss 3515	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) /\ x e. RR ) -> ran M C_ ( 0 [,] x ) )
22		df-f 5531	. . . . . . 7 |- ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> ( M Fn ( X X. X ) /\ ran M C_ ( 0 [,] x ) ) )
23	9, 21, 22	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) /\ x e. RR ) -> M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
24	23	ralrimiva 2830	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) -> A. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
25		r19.2z 3878	. . . . 5 |- ( ( RR =/= (/) /\ A. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
26	4, 24, 25	sylancr 663	. . . 4 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X = (/) ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
27		isbnd2 28831	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ E. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) )
28	27	simprbi 464	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) -> E. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) )
29		2re 10503	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
30		simprlr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> r e. RR+ )
31	30	rpred 11139	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> r e. RR )
32		remulcl 9479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ r e. RR ) -> ( 2 x. r ) e. RR )
33	29, 31, 32	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> ( 2 x. r ) e. RR )
34	7	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> M Fn ( X X. X ) )
35		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> M e. ( Met ` X ) )
36		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> x e. X )
37		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> z e. X )
38		metcl 20040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. X /\ z e. X ) -> ( x M z ) e. RR )
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) e. RR )
40		metge0 20053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. X /\ z e. X ) -> 0 <_ ( x M z ) )
41	35, 36, 37, 40	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> 0 <_ ( x M z ) )
42	33	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( 2 x. r ) e. RR )
43		simprll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> y e. X )
44	43	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> y e. X )
45		metcl 20040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X /\ x e. X ) -> ( y M x ) e. RR )
46	35, 44, 36, 45	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M x ) e. RR )
47		metcl 20040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. RR )
48	35, 44, 37, 47	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M z ) e. RR )
49	46, 48	readdcld 9525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y M x ) + ( y M z ) ) e. RR )
50		mettri2 20049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( y e. X /\ x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) <_ ( ( y M x ) + ( y M z ) ) )
51	35, 44, 36, 37, 50	syl13anc 1221	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) <_ ( ( y M x ) + ( y M z ) ) )
52	31	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> r e. RR )
53		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> X = ( y ( ball ` M ) r ) )
54	36, 53	eleqtrd 2544	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> x e. ( y ( ball ` M ) r ) )
55		metxmet 20042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M e. ( *Met ` X ) )
56	35, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
57		rpxr 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
58	57	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) -> r e. RR* )
59	58	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> r e. RR* )
60		elbl2 20098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ r e. RR* ) /\ ( y e. X /\ x e. X ) ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) r ) <-> ( y M x ) < r ) )
61	56, 59, 44, 36, 60	syl22anc 1220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) r ) <-> ( y M x ) < r ) )
62	54, 61	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M x ) < r )
63	37, 53	eleqtrd 2544	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> z e. ( y ( ball ` M ) r ) )
64		elbl2 20098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ r e. RR* ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z e. ( y ( ball ` M ) r ) <-> ( y M z ) < r ) )
65	56, 59, 44, 37, 64	syl22anc 1220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( z e. ( y ( ball ` M ) r ) <-> ( y M z ) < r ) )
66	63, 65	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( y M z ) < r )
67	46, 48, 52, 52, 62, 66	lt2addd 10073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y M x ) + ( y M z ) ) < ( r + r ) )
68	52	recnd 9524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> r e. CC )
69	68	2timesd 10679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( 2 x. r ) = ( r + r ) )
70	67, 69	breqtrrd 4427	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y M x ) + ( y M z ) ) < ( 2 x. r ) )
71	39, 49, 42, 51, 70	lelttrd 9641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) < ( 2 x. r ) )
72	39, 42, 71	ltled 9634	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) <_ ( 2 x. r ) )
73		elicc2 11472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 2 x. r ) e. RR ) -> ( ( x M z ) e. ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) <-> ( ( x M z ) e. RR /\ 0 <_ ( x M z ) /\ ( x M z ) <_ ( 2 x. r ) ) ) )
74	2, 42, 73	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x M z ) e. ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) <-> ( ( x M z ) e. RR /\ 0 <_ ( x M z ) /\ ( x M z ) <_ ( 2 x. r ) ) ) )
75	39, 41, 72, 74	mpbir3and 1171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x M z ) e. ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) )
76	75	ralrimivva 2914	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> A. x e. X A. z e. X ( x M z ) e. ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) )
77		ffnov 6305	. . . . . . . . . . 11 |- ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) <-> ( M Fn ( X X. X ) /\ A. x e. X A. z e. X ( x M z ) e. ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) ) )
78	34, 76, 77	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) )
79		oveq2 6209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 2 x. r ) -> ( 0 [,] x ) = ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) )
80		feq3 5653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 [,] x ) = ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) ) )
81	79, 80	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( 2 x. r ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) <-> M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) ) )
82	81	rspcev 3179	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. r ) e. RR /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] ( 2 x. r ) ) ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
83	33, 78, 82	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( ( y e. X /\ r e. RR+ ) /\ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
84	83	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ ( y e. X /\ r e. RR+ ) ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) r ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
85	84	rexlimdvva 2954	. . . . . . 7 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
86	1, 85	syl 16	. . . . . 6 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> ( E. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
87	86	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) -> ( E. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
88	28, 87	mpd 15	. . . 4 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
89	26, 88	pm2.61dane 2770	. . 3 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
90	1, 89	jca 532	. 2 |- ( M e. ( Bnd ` X ) -> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
91		simpll 753	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) -> M e. ( Met ` X ) )
92		simpllr 758	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> x e. RR )
93	91	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> M e. ( Met ` X ) )
94		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> y e. X )
95		met0 20051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ y e. X ) -> ( y M y ) = 0 )
96	93, 94, 95	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( y M y ) = 0 )
97		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) )
98	97, 94, 94	fovrnd 6346	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( y M y ) e. ( 0 [,] x ) )
99		elicc2 11472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y M y ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M y ) e. RR /\ 0 <_ ( y M y ) /\ ( y M y ) <_ x ) ) )
100	2, 92, 99	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( ( y M y ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M y ) e. RR /\ 0 <_ ( y M y ) /\ ( y M y ) <_ x ) ) )
101	98, 100	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( ( y M y ) e. RR /\ 0 <_ ( y M y ) /\ ( y M y ) <_ x ) )
102	101	simp3d 1002	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( y M y ) <_ x )
103	96, 102	eqbrtrrd 4423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> 0 <_ x )
104	92, 103	ge0p1rpd 11165	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( x + 1 ) e. RR+ )
105		fovrn 6344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) )
106	105	3expa 1188	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) )
107	106	adantlll 717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) )
108		elicc2 11472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) )
109	2, 92, 108	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) )
110	109	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( ( y M z ) e. ( 0 [,] x ) <-> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) ) )
111	107, 110	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( ( y M z ) e. RR /\ 0 <_ ( y M z ) /\ ( y M z ) <_ x ) )
112	111	simp1d 1000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( y M z ) e. RR )
113	92	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> x e. RR )
114		peano2re 9654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR )
115	92, 114	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( x + 1 ) e. RR )
116	115	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( x + 1 ) e. RR )
117	111	simp3d 1002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( y M z ) <_ x )
118	113	ltp1d 10375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> x < ( x + 1 ) )
119	112, 113, 116, 117, 118	lelttrd 9641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) /\ z e. X ) -> ( y M z ) < ( x + 1 ) )
120	119	ralrimiva 2830	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> A. z e. X ( y M z ) < ( x + 1 ) )
121		rabid2 3004	. . . . . . . . . 10 |- ( X = { z e. X | ( y M z ) < ( x + 1 ) } <-> A. z e. X ( y M z ) < ( x + 1 ) )
122	120, 121	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> X = { z e. X | ( y M z ) < ( x + 1 ) } )
123	93, 55	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> M e. ( *Met ` X ) )
124	115	rexrd 9545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( x + 1 ) e. RR* )
125		blval 20094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) = { z e. X | ( y M z ) < ( x + 1 ) } )
126	123, 94, 124, 125	syl3anc 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) = { z e. X | ( y M z ) < ( x + 1 ) } )
127	122, 126	eqtr4d 2498	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) )
128		oveq2 6209	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( x + 1 ) -> ( y ( ball ` M ) r ) = ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) )
129	128	eqeq2d 2468	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( x + 1 ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) r ) <-> X = ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) ) )
130	129	rspcev 3179	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x + 1 ) e. RR+ /\ X = ( y ( ball ` M ) ( x + 1 ) ) ) -> E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) )
131	104, 127, 130	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) /\ y e. X ) -> E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) )
132	131	ralrimiva 2830	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) -> A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) )
133		isbnd 28828	. . . . . 6 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ A. y e. X E. r e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) r ) ) )
134	91, 132, 133	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) /\ M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) -> M e. ( Bnd ` X ) )
135	134	ex 434	. . . 4 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ x e. RR ) -> ( M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) -> M e. ( Bnd ` X ) ) )
136	135	rexlimdva 2947	. . 3 |- ( M e. ( Met ` X ) -> ( E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) -> M e. ( Bnd ` X ) ) )
137	136	imp 429	. 2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) -> M e. ( Bnd ` X ) )
138	90, 137	impbii 188	1 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( Met ` X ) /\ E. x e. RR M : ( X X. X ) --> ( 0 [,] x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803   C_ wss 3437   (/)c0 3746   class class class wbr 4401   X. cxp 4947   dom cdm 4949   ran crn 4950   Fn wfn 5522   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   RRcr 9393   0cc0 9394   1c1 9395   + caddc 9397   x. cmul 9399   RR*cxr 9529   < clt 9530   <_ cle 9531   2c2 10483   RR+crp 11103   [,]cicc 11415   *Metcxmt 17927   Metcme 17928   ballcbl 17929   Bndcbnd 28815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-er 7212  df-ec 7214  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-2 10492  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-icc 11419  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-bnd 28827

This theorem is referenced by:  isbnd3b  28833  prdsbnd  28841