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Theorem isbnd2 31561
Description: The predicate "is a bounded metric space". Uses a single point instead of an arbitrary point in the space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
isbnd2  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
Distinct variable groups:    x, r, M    X, r, x

Proof of Theorem isbnd2
Dummy variables  s 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbndx 31560 . . 3  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
21anbi1i 693 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )  /\  X  =/=  (/) ) )
3 anass 647 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  /\  X  =/=  (/) ) ) )
4 r19.2z 3862 . . . . 5  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )  ->  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) )
54ancoms 451 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )
6 oveq1 6285 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x ( ball `  M
) r )  =  ( y ( ball `  M ) r ) )
76eqeq2d 2416 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( X  =  ( x
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) r ) ) )
8 oveq2 6286 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  s  ->  (
y ( ball `  M
) r )  =  ( y ( ball `  M ) s ) )
98eqeq2d 2416 . . . . . . 7  |-  ( r  =  s  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) ) )
107, 9cbvrex2v 3043 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  <->  E. y  e.  X  E. s  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )
11 2rp 11270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
12 rpmulcl 11287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  s )  e.  RR+ )
1311, 12mpan 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( 2  x.  s )  e.  RR+ )
1413ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  (
2  x.  s )  e.  RR+ )
1514ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )  ->  ( 2  x.  s )  e.  RR+ )
16 rpcn 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  e.  CC )
17 2cnd 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  RR+  ->  2  e.  CC )
18 2ne0 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  RR+  ->  2  =/=  0 )
20 divcan3 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  s
)  /  2 )  =  s )
2120eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  s  =  ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) )
2216, 17, 19, 21syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  =  ( ( 2  x.  s )  /  2
) )
2322oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( y ( ball `  M
) s )  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) )
2423eqeq2d 2416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( X  =  ( y (
ball `  M )
s )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) ) )
2524biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( X  =  ( y (
ball `  M )
s )  ->  X  =  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) ) )
2625ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
s )  ->  X  =  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) ) )
2726adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( X  =  ( y ( ball `  M
) s )  ->  X  =  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) ) )
2827imp 427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )  ->  X  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) )
29 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) )  ->  X  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) )
30 eleq2 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  =  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) ) )
3130biimpac 484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  X  =  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) )  ->  x  e.  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) )
32 2re 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  RR
33 rpre 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  e.  RR )
34 remulcl 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  ( 2  x.  s
)  e.  RR )
3532, 33, 34sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( 2  x.  s )  e.  RR )
36 blhalf 21200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
( 2  x.  s
)  e.  RR  /\  x  e.  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) ) )  ->  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
3736expr 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
2  x.  s )  e.  RR )  -> 
( x  e.  ( y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) )  -> 
( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) ) )
3835, 37sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  s  e.  RR+ )  ->  (
x  e.  ( y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) )  -> 
( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) ) )
3938anasss 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  (
x  e.  ( y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) )  -> 
( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) ) )
4039imp 427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) )  -> 
( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) )
4131, 40sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( x  e.  X  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
4241anassrs 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) )  ->  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
4329, 42eqsstrd 3476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) )  ->  X  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
4428, 43syldan 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )  ->  X  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
4513adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ )  -> 
( 2  x.  s
)  e.  RR+ )
46 rpxr 11272 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  s )  e.  RR+  ->  ( 2  x.  s )  e. 
RR* )
47 blssm 21213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( 2  x.  s
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) 
C_  X )
4846, 47syl3an3 1265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( 2  x.  s
)  e.  RR+ )  ->  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) 
C_  X )
49483expa 1197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
2  x.  s )  e.  RR+ )  ->  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) )  C_  X )
5045, 49sylan2 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) )  C_  X
)
5150an32s 805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) 
C_  X )
5251adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )  ->  ( x
( ball `  M )
( 2  x.  s
) )  C_  X
)
5344, 52eqssd 3459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )  ->  X  =  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) )
54 oveq2 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( 2  x.  s )  ->  (
x ( ball `  M
) r )  =  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) )
5554eqeq2d 2416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( 2  x.  s )  ->  ( X  =  ( x
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) ) )
5655rspcev 3160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  s
)  e.  RR+  /\  X  =  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )
5715, 53, 56syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) )
5857ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( X  =  ( y ( ball `  M
) s )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
5958ralrimdva 2822 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
s )  ->  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) ) )
6059rexlimdvva 2903 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  ( E. y  e.  X  E. s  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) s )  ->  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
6110, 60syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
62 rexn0 3876 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  X  =/=  (/) )
6362a1i 11 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  X  =/=  (/) ) )
6461, 63jcad 531 . . . 4  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r )  /\  X  =/=  (/) ) ) )
655, 64impbid2 204 . . 3  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r )  /\  X  =/=  (/) )  <->  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) ) )
6665pm5.32i 635 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r )  /\  X  =/=  (/) ) )  <->  ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
672, 3, 663bitri 271 1  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755    C_ wss 3414   (/)c0 3738   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522    x. cmul 9527   RR*cxr 9657    / cdiv 10247   2c2 10626   RR+crp 11265   *Metcxmt 18723   ballcbl 18725   Bndcbnd 31545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7348  df-ec 7350  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-2 10635  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-bnd 31557
This theorem is referenced by:  isbnd3  31562  blbnd  31565  ssbnd  31566
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