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Theorem isbnd2 30255
Description: The predicate "is a bounded metric space". Uses a single point instead of an arbitrary point in the space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
isbnd2  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
Distinct variable groups:    x, r, M    X, r, x

Proof of Theorem isbnd2
Dummy variables  s 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbndx 30254 . . 3  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
21anbi1i 695 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )  /\  X  =/=  (/) ) )
3 anass 649 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  /\  X  =/=  (/) ) ) )
4 r19.2z 3904 . . . . 5  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )  ->  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) )
54ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )
6 oveq1 6288 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x ( ball `  M
) r )  =  ( y ( ball `  M ) r ) )
76eqeq2d 2457 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( X  =  ( x
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) r ) ) )
8 oveq2 6289 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  s  ->  (
y ( ball `  M
) r )  =  ( y ( ball `  M ) s ) )
98eqeq2d 2457 . . . . . . 7  |-  ( r  =  s  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) ) )
107, 9cbvrex2v 3079 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  <->  E. y  e.  X  E. s  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )
11 2rp 11236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
12 rpmulcl 11252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  s )  e.  RR+ )
1311, 12mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( 2  x.  s )  e.  RR+ )
1413ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  (
2  x.  s )  e.  RR+ )
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )  ->  ( 2  x.  s )  e.  RR+ )
16 rpcn 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  e.  CC )
17 2cnd 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  RR+  ->  2  e.  CC )
18 2ne0 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  RR+  ->  2  =/=  0 )
20 divcan3 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  s
)  /  2 )  =  s )
2120eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  s  =  ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) )
2216, 17, 19, 21syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  =  ( ( 2  x.  s )  /  2
) )
2322oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( y ( ball `  M
) s )  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) )
2423eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( X  =  ( y (
ball `  M )
s )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) ) )
2524biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( X  =  ( y (
ball `  M )
s )  ->  X  =  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) ) )
2625ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
s )  ->  X  =  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) ) )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( X  =  ( y ( ball `  M
) s )  ->  X  =  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) ) )
2827imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )  ->  X  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) )
29 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) )  ->  X  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) )
30 eleq2 2516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  =  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) ) )
3130biimpac 486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  X  =  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) )  ->  x  e.  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) )
32 2re 10612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  RR
33 rpre 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  e.  RR )
34 remulcl 9580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  ( 2  x.  s
)  e.  RR )
3532, 33, 34sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( 2  x.  s )  e.  RR )
36 blhalf 20886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
( 2  x.  s
)  e.  RR  /\  x  e.  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) ) )  ->  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
3736expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
2  x.  s )  e.  RR )  -> 
( x  e.  ( y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) )  -> 
( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) ) )
3835, 37sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  s  e.  RR+ )  ->  (
x  e.  ( y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) )  -> 
( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) ) )
3938anasss 647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  (
x  e.  ( y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) )  -> 
( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) ) )
4039imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) )  -> 
( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) )
4131, 40sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( x  e.  X  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
4241anassrs 648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) )  ->  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
4329, 42eqsstrd 3523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) )  ->  X  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
4428, 43syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )  ->  X  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
4513adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ )  -> 
( 2  x.  s
)  e.  RR+ )
46 rpxr 11238 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  s )  e.  RR+  ->  ( 2  x.  s )  e. 
RR* )
47 blssm 20899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( 2  x.  s
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) 
C_  X )
4846, 47syl3an3 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( 2  x.  s
)  e.  RR+ )  ->  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) 
C_  X )
49483expa 1197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
2  x.  s )  e.  RR+ )  ->  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) )  C_  X )
5045, 49sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) )  C_  X
)
5150an32s 804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) 
C_  X )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )  ->  ( x
( ball `  M )
( 2  x.  s
) )  C_  X
)
5344, 52eqssd 3506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )  ->  X  =  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) )
54 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( 2  x.  s )  ->  (
x ( ball `  M
) r )  =  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) )
5554eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( 2  x.  s )  ->  ( X  =  ( x
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) ) )
5655rspcev 3196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  s
)  e.  RR+  /\  X  =  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )
5715, 53, 56syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) )
5857ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( X  =  ( y ( ball `  M
) s )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
5958ralrimdva 2861 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
s )  ->  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) ) )
6059rexlimdvva 2942 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  ( E. y  e.  X  E. s  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) s )  ->  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
6110, 60syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
62 rexn0 3917 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  X  =/=  (/) )
6362a1i 11 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  X  =/=  (/) ) )
6461, 63jcad 533 . . . 4  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r )  /\  X  =/=  (/) ) ) )
655, 64impbid2 204 . . 3  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r )  /\  X  =/=  (/) )  <->  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) ) )
6665pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r )  /\  X  =/=  (/) ) )  <->  ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
672, 3, 663bitri 271 1  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495    x. cmul 9500   RR*cxr 9630    / cdiv 10213   2c2 10592   RR+crp 11231   *Metcxmt 18382   ballcbl 18384   Bndcbnd 30239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-er 7313  df-ec 7315  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-2 10601  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-bnd 30251
This theorem is referenced by:  isbnd3  30256  blbnd  30259  ssbnd  30260
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