Theorem isbnd2 31561

Description: The predicate "is a bounded metric space". Uses a single point instead of an arbitrary point in the space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
isbnd2	|- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )

Distinct variable groups:   x, r, M   X, r, x

Proof of Theorem isbnd2

Dummy variables s y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbndx 31560	. . 3 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
2	1	anbi1i 693	. 2 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) <-> ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) /\ X =/= (/) ) )
3		anass 647	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) /\ X =/= (/) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) ) )
4		r19.2z 3862	. . . . 5 |- ( ( X =/= (/) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) -> E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
5	4	ancoms 451	. . . 4 |- ( ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) -> E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
6		oveq1 6285	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x ( ball ` M ) r ) = ( y ( ball ` M ) r ) )
7	6	eqeq2d 2416	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> X = ( y ( ball ` M ) r ) ) )
8		oveq2 6286	. . . . . . . 8 |- ( r = s -> ( y ( ball ` M ) r ) = ( y ( ball ` M ) s ) )
9	8	eqeq2d 2416	. . . . . . 7 |- ( r = s -> ( X = ( y ( ball ` M ) r ) <-> X = ( y ( ball ` M ) s ) ) )
10	7, 9	cbvrex2v 3043	. . . . . 6 |- ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> E. y e. X E. s e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) s ) )
11		2rp 11270	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR+
12		rpmulcl 11287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR+ /\ s e. RR+ ) -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
13	11, 12	mpan 668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. RR+ -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
14	13	ad2antll 727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
15	14	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
16		rpcn 11273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. RR+ -> s e. CC )
17		2cnd 10649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. RR+ -> 2 e. CC )
18		2ne0 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 =/= 0
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. RR+ -> 2 =/= 0 )
20		divcan3 10272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( s e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> ( ( 2 x. s ) / 2 ) = s )
21	20	eqcomd 2410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( s e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> s = ( ( 2 x. s ) / 2 ) )
22	16, 17, 19, 21	syl3anc 1230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. RR+ -> s = ( ( 2 x. s ) / 2 ) )
23	22	oveq2d 6294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. RR+ -> ( y ( ball ` M ) s ) = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) )
24	23	eqeq2d 2416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. RR+ -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) <-> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
25	24	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. RR+ -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
26	25	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
27	26	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
28	27	imp 427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) )
29		simpr 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) )
30		eleq2 2475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) -> ( x e. X <-> x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
31	30	biimpac 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) )
32		2re 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. RR
33		rpre 11271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. RR+ -> s e. RR )
34		remulcl 9607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. RR /\ s e. RR ) -> ( 2 x. s ) e. RR )
35	32, 33, 34	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. RR+ -> ( 2 x. s ) e. RR )
36		blhalf 21200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( ( 2 x. s ) e. RR /\ x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
37	36	expr 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( 2 x. s ) e. RR ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) )
38	35, 37	sylan2 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ s e. RR+ ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) )
39	38	anasss 645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) )
40	39	imp 427	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
41	31, 40	sylan2 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
42	41	anassrs 646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
43	29, 42	eqsstrd 3476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> X C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
44	28, 43	syldan 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> X C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
45	13	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. X /\ s e. RR+ ) -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
46		rpxr 11272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 x. s ) e. RR+ -> ( 2 x. s ) e. RR* )
47		blssm 21213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ ( 2 x. s ) e. RR* ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
48	46, 47	syl3an3 1265	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ ( 2 x. s ) e. RR+ ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
49	48	3expa 1197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( 2 x. s ) e. RR+ ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
50	45, 49	sylan2 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
51	50	an32s 805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
52	51	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
53	44, 52	eqssd 3459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> X = ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
54		oveq2 6286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( 2 x. s ) -> ( x ( ball ` M ) r ) = ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
55	54	eqeq2d 2416	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( 2 x. s ) -> ( X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> X = ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) )
56	55	rspcev 3160	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. s ) e. RR+ /\ X = ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) -> E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
57	15, 53, 56	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
58	57	ex 432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
59	58	ralrimdva 2822	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
60	59	rexlimdvva 2903	. . . . . 6 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( E. y e. X E. s e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) s ) -> A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
61	10, 60	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
62		rexn0 3876	. . . . . 6 |- ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> X =/= (/) )
63	62	a1i 11	. . . . 5 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> X =/= (/) ) )
64	61, 63	jcad 531	. . . 4 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) ) )
65	5, 64	impbid2 204	. . 3 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) <-> E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
66	65	pm5.32i 635	. 2 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
67	2, 3, 66	3bitri 271	1 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   C_ wss 3414   (/)c0 3738   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   x. cmul 9527   RR*cxr 9657   / cdiv 10247   2c2 10626   RR+crp 11265   *Metcxmt 18723   ballcbl 18725   Bndcbnd 31545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7348  df-ec 7350  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-2 10635  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-bnd 31557

This theorem is referenced by:  isbnd3  31562  blbnd  31565  ssbnd  31566