Theorem isbnd2 30255

Description: The predicate "is a bounded metric space". Uses a single point instead of an arbitrary point in the space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
isbnd2	|- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )

Distinct variable groups:   x, r, M   X, r, x

Proof of Theorem isbnd2

Dummy variables s y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbndx 30254	. . 3 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
2	1	anbi1i 695	. 2 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) <-> ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) /\ X =/= (/) ) )
3		anass 649	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) /\ X =/= (/) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) ) )
4		r19.2z 3904	. . . . 5 |- ( ( X =/= (/) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) -> E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
5	4	ancoms 453	. . . 4 |- ( ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) -> E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
6		oveq1 6288	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x ( ball ` M ) r ) = ( y ( ball ` M ) r ) )
7	6	eqeq2d 2457	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> X = ( y ( ball ` M ) r ) ) )
8		oveq2 6289	. . . . . . . 8 |- ( r = s -> ( y ( ball ` M ) r ) = ( y ( ball ` M ) s ) )
9	8	eqeq2d 2457	. . . . . . 7 |- ( r = s -> ( X = ( y ( ball ` M ) r ) <-> X = ( y ( ball ` M ) s ) ) )
10	7, 9	cbvrex2v 3079	. . . . . 6 |- ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> E. y e. X E. s e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) s ) )
11		2rp 11236	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR+
12		rpmulcl 11252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR+ /\ s e. RR+ ) -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
13	11, 12	mpan 670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. RR+ -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
14	13	ad2antll 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
16		rpcn 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. RR+ -> s e. CC )
17		2cnd 10615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. RR+ -> 2 e. CC )
18		2ne0 10635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 =/= 0
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. RR+ -> 2 =/= 0 )
20		divcan3 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( s e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> ( ( 2 x. s ) / 2 ) = s )
21	20	eqcomd 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( s e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> s = ( ( 2 x. s ) / 2 ) )
22	16, 17, 19, 21	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. RR+ -> s = ( ( 2 x. s ) / 2 ) )
23	22	oveq2d 6297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. RR+ -> ( y ( ball ` M ) s ) = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) )
24	23	eqeq2d 2457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. RR+ -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) <-> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
25	24	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. RR+ -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
26	25	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
27	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
28	27	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) )
29		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) )
30		eleq2 2516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) -> ( x e. X <-> x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
31	30	biimpac 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) )
32		2re 10612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. RR
33		rpre 11237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. RR+ -> s e. RR )
34		remulcl 9580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. RR /\ s e. RR ) -> ( 2 x. s ) e. RR )
35	32, 33, 34	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. RR+ -> ( 2 x. s ) e. RR )
36		blhalf 20886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( ( 2 x. s ) e. RR /\ x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
37	36	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( 2 x. s ) e. RR ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) )
38	35, 37	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ s e. RR+ ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) )
39	38	anasss 647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) )
40	39	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
41	31, 40	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
42	41	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
43	29, 42	eqsstrd 3523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> X C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
44	28, 43	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> X C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
45	13	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. X /\ s e. RR+ ) -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
46		rpxr 11238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 x. s ) e. RR+ -> ( 2 x. s ) e. RR* )
47		blssm 20899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ ( 2 x. s ) e. RR* ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
48	46, 47	syl3an3 1264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ ( 2 x. s ) e. RR+ ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
49	48	3expa 1197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( 2 x. s ) e. RR+ ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
50	45, 49	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
51	50	an32s 804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
52	51	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
53	44, 52	eqssd 3506	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> X = ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
54		oveq2 6289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( 2 x. s ) -> ( x ( ball ` M ) r ) = ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
55	54	eqeq2d 2457	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( 2 x. s ) -> ( X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> X = ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) )
56	55	rspcev 3196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. s ) e. RR+ /\ X = ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) -> E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
57	15, 53, 56	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
58	57	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
59	58	ralrimdva 2861	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
60	59	rexlimdvva 2942	. . . . . 6 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( E. y e. X E. s e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) s ) -> A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
61	10, 60	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
62		rexn0 3917	. . . . . 6 |- ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> X =/= (/) )
63	62	a1i 11	. . . . 5 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> X =/= (/) ) )
64	61, 63	jcad 533	. . . 4 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) ) )
65	5, 64	impbid2 204	. . 3 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) <-> E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
66	65	pm5.32i 637	. 2 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
67	2, 3, 66	3bitri 271	1 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   C_ wss 3461   (/)c0 3770   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   x. cmul 9500   RR*cxr 9630   / cdiv 10213   2c2 10592   RR+crp 11231   *Metcxmt 18382   ballcbl 18384   Bndcbnd 30239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-er 7313  df-ec 7315  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-2 10601  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-bnd 30251

This theorem is referenced by:  isbnd3  30256  blbnd  30259  ssbnd  30260