Theorem isbnd2 28679

Description: The predicate "is a bounded metric space". Uses a single point instead of an arbitrary point in the space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
isbnd2	|- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )

Distinct variable groups:   x, r, M   X, r, x

Proof of Theorem isbnd2

Dummy variables s y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbndx 28678	. . 3 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
2	1	anbi1i 695	. 2 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) <-> ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) /\ X =/= (/) ) )
3		anass 649	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) /\ X =/= (/) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) ) )
4		r19.2z 3767	. . . . 5 |- ( ( X =/= (/) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) -> E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
5	4	ancoms 453	. . . 4 |- ( ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) -> E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
6		oveq1 6096	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x ( ball ` M ) r ) = ( y ( ball ` M ) r ) )
7	6	eqeq2d 2452	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> X = ( y ( ball ` M ) r ) ) )
8		oveq2 6097	. . . . . . . 8 |- ( r = s -> ( y ( ball ` M ) r ) = ( y ( ball ` M ) s ) )
9	8	eqeq2d 2452	. . . . . . 7 |- ( r = s -> ( X = ( y ( ball ` M ) r ) <-> X = ( y ( ball ` M ) s ) ) )
10	7, 9	cbvrex2v 2954	. . . . . 6 |- ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> E. y e. X E. s e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) s ) )
11		2rp 10994	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR+
12		rpmulcl 11010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR+ /\ s e. RR+ ) -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
13	11, 12	mpan 670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. RR+ -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
14	13	ad2antll 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
16		rpcn 10997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. RR+ -> s e. CC )
17		2cnd 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. RR+ -> 2 e. CC )
18		2ne0 10412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 =/= 0
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. RR+ -> 2 =/= 0 )
20		divcan3 10016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( s e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> ( ( 2 x. s ) / 2 ) = s )
21	20	eqcomd 2446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( s e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> s = ( ( 2 x. s ) / 2 ) )
22	16, 17, 19, 21	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. RR+ -> s = ( ( 2 x. s ) / 2 ) )
23	22	oveq2d 6105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. RR+ -> ( y ( ball ` M ) s ) = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) )
24	23	eqeq2d 2452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. RR+ -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) <-> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
25	24	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. RR+ -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
26	25	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
27	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
28	27	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) )
29		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) )
30		eleq2 2502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) -> ( x e. X <-> x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
31	30	biimpac 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) )
32		2re 10389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. RR
33		rpre 10995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. RR+ -> s e. RR )
34		remulcl 9365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. RR /\ s e. RR ) -> ( 2 x. s ) e. RR )
35	32, 33, 34	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. RR+ -> ( 2 x. s ) e. RR )
36		blhalf 19978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( ( 2 x. s ) e. RR /\ x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
37	36	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( 2 x. s ) e. RR ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) )
38	35, 37	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ s e. RR+ ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) )
39	38	anasss 647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) )
40	39	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
41	31, 40	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
42	41	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
43	29, 42	eqsstrd 3388	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> X C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
44	28, 43	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> X C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
45	13	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. X /\ s e. RR+ ) -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
46		rpxr 10996	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 x. s ) e. RR+ -> ( 2 x. s ) e. RR* )
47		blssm 19991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ ( 2 x. s ) e. RR* ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
48	46, 47	syl3an3 1253	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ ( 2 x. s ) e. RR+ ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
49	48	3expa 1187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( 2 x. s ) e. RR+ ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
50	45, 49	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
51	50	an32s 802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
52	51	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
53	44, 52	eqssd 3371	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> X = ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
54		oveq2 6097	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( 2 x. s ) -> ( x ( ball ` M ) r ) = ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
55	54	eqeq2d 2452	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( 2 x. s ) -> ( X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> X = ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) )
56	55	rspcev 3071	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. s ) e. RR+ /\ X = ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) -> E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
57	15, 53, 56	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
58	57	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
59	58	ralrimdva 2804	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
60	59	rexlimdvva 2846	. . . . . 6 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( E. y e. X E. s e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) s ) -> A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
61	10, 60	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
62		rexn0 3780	. . . . . 6 |- ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> X =/= (/) )
63	62	a1i 11	. . . . 5 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> X =/= (/) ) )
64	61, 63	jcad 533	. . . 4 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) ) )
65	5, 64	impbid2 204	. . 3 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) <-> E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
66	65	pm5.32i 637	. 2 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
67	2, 3, 66	3bitri 271	1 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   C_ wss 3326   (/)c0 3635   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   CCcc 9278   RRcr 9279   0cc0 9280   x. cmul 9285   RR*cxr 9415   / cdiv 9991   2c2 10369   RR+crp 10989   *Metcxmt 17799   ballcbl 17801   Bndcbnd 28663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-er 7099  df-ec 7101  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-2 10378  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-met 17809  df-bl 17810  df-bnd 28675

This theorem is referenced by:  isbnd3  28680  blbnd  28683  ssbnd  28684