Theorem isbnd2 32108

Description: The predicate "is a bounded metric space". Uses a single point instead of an arbitrary point in the space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
isbnd2	|- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )

Distinct variable groups:   x, r, M   X, r, x

Proof of Theorem isbnd2

Dummy variables s y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbndx 32107	. . 3 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
2	1	anbi1i 700	. 2 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) <-> ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) /\ X =/= (/) ) )
3		anass 654	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) /\ X =/= (/) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) ) )
4		r19.2z 3857	. . . . 5 |- ( ( X =/= (/) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) -> E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
5	4	ancoms 455	. . . 4 |- ( ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) -> E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
6		oveq1 6295	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x ( ball ` M ) r ) = ( y ( ball ` M ) r ) )
7	6	eqeq2d 2460	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> X = ( y ( ball ` M ) r ) ) )
8		oveq2 6296	. . . . . . . 8 |- ( r = s -> ( y ( ball ` M ) r ) = ( y ( ball ` M ) s ) )
9	8	eqeq2d 2460	. . . . . . 7 |- ( r = s -> ( X = ( y ( ball ` M ) r ) <-> X = ( y ( ball ` M ) s ) ) )
10	7, 9	cbvrex2v 3027	. . . . . 6 |- ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> E. y e. X E. s e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) s ) )
11		2rp 11304	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR+
12		rpmulcl 11321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR+ /\ s e. RR+ ) -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
13	11, 12	mpan 675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. RR+ -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
14	13	ad2antll 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
15	14	ad2antrr 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
16		rpcn 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. RR+ -> s e. CC )
17		2cnd 10679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. RR+ -> 2 e. CC )
18		2ne0 10699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 =/= 0
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. RR+ -> 2 =/= 0 )
20		divcan3 10291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( s e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> ( ( 2 x. s ) / 2 ) = s )
21	20	eqcomd 2456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( s e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> s = ( ( 2 x. s ) / 2 ) )
22	16, 17, 19, 21	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. RR+ -> s = ( ( 2 x. s ) / 2 ) )
23	22	oveq2d 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. RR+ -> ( y ( ball ` M ) s ) = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) )
24	23	eqeq2d 2460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. RR+ -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) <-> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
25	24	biimpd 211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. RR+ -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
26	25	ad2antll 734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
27	26	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
28	27	imp 431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) )
29		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) )
30		eleq2 2517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) -> ( x e. X <-> x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
31	30	biimpac 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) )
32		2re 10676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. RR
33		rpre 11305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. RR+ -> s e. RR )
34		remulcl 9621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. RR /\ s e. RR ) -> ( 2 x. s ) e. RR )
35	32, 33, 34	sylancr 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. RR+ -> ( 2 x. s ) e. RR )
36		blhalf 21413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( ( 2 x. s ) e. RR /\ x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
37	36	expr 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( 2 x. s ) e. RR ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) )
38	35, 37	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ s e. RR+ ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) )
39	38	anasss 652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) )
40	39	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
41	31, 40	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
42	41	anassrs 653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
43	29, 42	eqsstrd 3465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> X C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
44	28, 43	syldan 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> X C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
45	13	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. X /\ s e. RR+ ) -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
46		rpxr 11306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 x. s ) e. RR+ -> ( 2 x. s ) e. RR* )
47		blssm 21426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ ( 2 x. s ) e. RR* ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
48	46, 47	syl3an3 1302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ ( 2 x. s ) e. RR+ ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
49	48	3expa 1207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( 2 x. s ) e. RR+ ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
50	45, 49	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
51	50	an32s 812	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
52	51	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
53	44, 52	eqssd 3448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> X = ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
54		oveq2 6296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( 2 x. s ) -> ( x ( ball ` M ) r ) = ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
55	54	eqeq2d 2460	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( 2 x. s ) -> ( X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> X = ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) )
56	55	rspcev 3149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. s ) e. RR+ /\ X = ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) -> E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
57	15, 53, 56	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
58	57	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
59	58	ralrimdva 2805	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
60	59	rexlimdvva 2885	. . . . . 6 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( E. y e. X E. s e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) s ) -> A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
61	10, 60	syl5bi 221	. . . . 5 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
62		rexn0 3871	. . . . . 6 |- ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> X =/= (/) )
63	62	a1i 11	. . . . 5 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> X =/= (/) ) )
64	61, 63	jcad 536	. . . 4 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) ) )
65	5, 64	impbid2 208	. . 3 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) <-> E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
66	65	pm5.32i 642	. 2 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
67	2, 3, 66	3bitri 275	1 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   C_ wss 3403   (/)c0 3730   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   x. cmul 9541   RR*cxr 9671   / cdiv 10266   2c2 10656   RR+crp 11299   *Metcxmt 18948   ballcbl 18950   Bndcbnd 32092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-er 7360  df-ec 7362  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-2 10665  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-bnd 32104

This theorem is referenced by:  isbnd3  32109  blbnd  32112  ssbnd  32113