Theorem isbnd2 29910

Description: The predicate "is a bounded metric space". Uses a single point instead of an arbitrary point in the space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
isbnd2	|- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )

Distinct variable groups:   x, r, M   X, r, x

Proof of Theorem isbnd2

Dummy variables s y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbndx 29909	. . 3 |- ( M e. ( Bnd ` X ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
2	1	anbi1i 695	. 2 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) <-> ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) /\ X =/= (/) ) )
3		anass 649	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) /\ X =/= (/) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) ) )
4		r19.2z 3917	. . . . 5 |- ( ( X =/= (/) /\ A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) -> E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
5	4	ancoms 453	. . . 4 |- ( ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) -> E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
6		oveq1 6291	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x ( ball ` M ) r ) = ( y ( ball ` M ) r ) )
7	6	eqeq2d 2481	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> X = ( y ( ball ` M ) r ) ) )
8		oveq2 6292	. . . . . . . 8 |- ( r = s -> ( y ( ball ` M ) r ) = ( y ( ball ` M ) s ) )
9	8	eqeq2d 2481	. . . . . . 7 |- ( r = s -> ( X = ( y ( ball ` M ) r ) <-> X = ( y ( ball ` M ) s ) ) )
10	7, 9	cbvrex2v 3097	. . . . . 6 |- ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> E. y e. X E. s e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) s ) )
11		2rp 11225	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR+
12		rpmulcl 11241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR+ /\ s e. RR+ ) -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
13	11, 12	mpan 670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. RR+ -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
14	13	ad2antll 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
16		rpcn 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. RR+ -> s e. CC )
17		2cnd 10608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. RR+ -> 2 e. CC )
18		2ne0 10628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 =/= 0
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. RR+ -> 2 =/= 0 )
20		divcan3 10231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( s e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> ( ( 2 x. s ) / 2 ) = s )
21	20	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( s e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> s = ( ( 2 x. s ) / 2 ) )
22	16, 17, 19, 21	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. RR+ -> s = ( ( 2 x. s ) / 2 ) )
23	22	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. RR+ -> ( y ( ball ` M ) s ) = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) )
24	23	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. RR+ -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) <-> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
25	24	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. RR+ -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
26	25	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
27	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
28	27	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) )
29		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) )
30		eleq2 2540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) -> ( x e. X <-> x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) )
31	30	biimpac 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) )
32		2re 10605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. RR
33		rpre 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. RR+ -> s e. RR )
34		remulcl 9577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. RR /\ s e. RR ) -> ( 2 x. s ) e. RR )
35	32, 33, 34	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. RR+ -> ( 2 x. s ) e. RR )
36		blhalf 20671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( ( 2 x. s ) e. RR /\ x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
37	36	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( 2 x. s ) e. RR ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) )
38	35, 37	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ s e. RR+ ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) )
39	38	anasss 647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) )
40	39	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
41	31, 40	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
42	41	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
43	29, 42	eqsstrd 3538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) ( ( 2 x. s ) / 2 ) ) ) -> X C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
44	28, 43	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> X C_ ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
45	13	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. X /\ s e. RR+ ) -> ( 2 x. s ) e. RR+ )
46		rpxr 11227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 x. s ) e. RR+ -> ( 2 x. s ) e. RR* )
47		blssm 20684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ ( 2 x. s ) e. RR* ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
48	46, 47	syl3an3 1263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. X /\ ( 2 x. s ) e. RR+ ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
49	48	3expa 1196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( 2 x. s ) e. RR+ ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
50	45, 49	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
51	50	an32s 802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
52	51	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) C_ X )
53	44, 52	eqssd 3521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> X = ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
54		oveq2 6292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( 2 x. s ) -> ( x ( ball ` M ) r ) = ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) )
55	54	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( 2 x. s ) -> ( X = ( x ( ball ` M ) r ) <-> X = ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) )
56	55	rspcev 3214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. s ) e. RR+ /\ X = ( x ( ball ` M ) ( 2 x. s ) ) ) -> E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
57	15, 53, 56	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) /\ X = ( y ( ball ` M ) s ) ) -> E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) )
58	57	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) /\ x e. X ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
59	58	ralrimdva 2882	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( y e. X /\ s e. RR+ ) ) -> ( X = ( y ( ball ` M ) s ) -> A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
60	59	rexlimdvva 2962	. . . . . 6 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( E. y e. X E. s e. RR+ X = ( y ( ball ` M ) s ) -> A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
61	10, 60	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
62		rexn0 3930	. . . . . 6 |- ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> X =/= (/) )
63	62	a1i 11	. . . . 5 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> X =/= (/) ) )
64	61, 63	jcad 533	. . . 4 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) -> ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) ) )
65	5, 64	impbid2 204	. . 3 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> ( ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) <-> E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
66	65	pm5.32i 637	. 2 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( A. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) /\ X =/= (/) ) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )
67	2, 3, 66	3bitri 271	1 |- ( ( M e. ( Bnd ` X ) /\ X =/= (/) ) <-> ( M e. ( *Met ` X ) /\ E. x e. X E. r e. RR+ X = ( x ( ball ` M ) r ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   x. cmul 9497   RR*cxr 9627   / cdiv 10206   2c2 10585   RR+crp 11220   *Metcxmt 18202   ballcbl 18204   Bndcbnd 29894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7311  df-ec 7313  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-2 10594  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-bnd 29906

This theorem is referenced by:  isbnd3  29911  blbnd  29914  ssbnd  29915