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Theorem isbnd2 32179
Description: The predicate "is a bounded metric space". Uses a single point instead of an arbitrary point in the space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
isbnd2  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
Distinct variable groups:    x, r, M    X, r, x

Proof of Theorem isbnd2
Dummy variables  s 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbndx 32178 . . 3  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
21anbi1i 709 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )  /\  X  =/=  (/) ) )
3 anass 661 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  /\  X  =/=  (/) ) ) )
4 r19.2z 3849 . . . . 5  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )  ->  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) )
54ancoms 460 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )
6 oveq1 6315 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x ( ball `  M
) r )  =  ( y ( ball `  M ) r ) )
76eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( X  =  ( x
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) r ) ) )
8 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  s  ->  (
y ( ball `  M
) r )  =  ( y ( ball `  M ) s ) )
98eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( r  =  s  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) ) )
107, 9cbvrex2v 3014 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  <->  E. y  e.  X  E. s  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )
11 2rp 11330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
12 rpmulcl 11347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  s )  e.  RR+ )
1311, 12mpan 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( 2  x.  s )  e.  RR+ )
1413ad2antll 743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  (
2  x.  s )  e.  RR+ )
1514ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )  ->  ( 2  x.  s )  e.  RR+ )
16 rpcn 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  e.  CC )
17 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  RR+  ->  2  e.  CC )
18 2ne0 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  RR+  ->  2  =/=  0 )
20 divcan3 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  s
)  /  2 )  =  s )
2120eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  s  =  ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) )
2216, 17, 19, 21syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  =  ( ( 2  x.  s )  /  2
) )
2322oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( y ( ball `  M
) s )  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) )
2423eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( X  =  ( y (
ball `  M )
s )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) ) )
2524biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( X  =  ( y (
ball `  M )
s )  ->  X  =  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) ) )
2625ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
s )  ->  X  =  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) ) )
2726adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( X  =  ( y ( ball `  M
) s )  ->  X  =  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) ) )
2827imp 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )  ->  X  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) )
29 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) )  ->  X  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) )
30 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  =  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) ) )
3130biimpac 494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  X  =  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) )  ->  x  e.  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) )
32 2re 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  RR
33 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  e.  RR )
34 remulcl 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  ( 2  x.  s
)  e.  RR )
3532, 33, 34sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( 2  x.  s )  e.  RR )
36 blhalf 21498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
( 2  x.  s
)  e.  RR  /\  x  e.  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) ) )  ->  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
3736expr 626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
2  x.  s )  e.  RR )  -> 
( x  e.  ( y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) )  -> 
( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) ) )
3835, 37sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  s  e.  RR+ )  ->  (
x  e.  ( y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) )  -> 
( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) ) )
3938anasss 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  (
x  e.  ( y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) )  -> 
( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) ) )
4039imp 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) )  -> 
( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) )
4131, 40sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( x  e.  X  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
4241anassrs 660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) )  ->  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
4329, 42eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) )  ->  X  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
4428, 43syldan 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )  ->  X  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
4513adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ )  -> 
( 2  x.  s
)  e.  RR+ )
46 rpxr 11332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  s )  e.  RR+  ->  ( 2  x.  s )  e. 
RR* )
47 blssm 21511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( 2  x.  s
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) 
C_  X )
4846, 47syl3an3 1327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( 2  x.  s
)  e.  RR+ )  ->  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) 
C_  X )
49483expa 1231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
2  x.  s )  e.  RR+ )  ->  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) )  C_  X )
5045, 49sylan2 482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) )  C_  X
)
5150an32s 821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) 
C_  X )
5251adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )  ->  ( x
( ball `  M )
( 2  x.  s
) )  C_  X
)
5344, 52eqssd 3435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )  ->  X  =  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) )
54 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( 2  x.  s )  ->  (
x ( ball `  M
) r )  =  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) )
5554eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( 2  x.  s )  ->  ( X  =  ( x
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) ) )
5655rspcev 3136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  s
)  e.  RR+  /\  X  =  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )
5715, 53, 56syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X
)  /\  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) )
5857ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( X  =  ( y ( ball `  M
) s )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
5958ralrimdva 2812 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
s )  ->  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) ) )
6059rexlimdvva 2878 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  ( E. y  e.  X  E. s  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) s )  ->  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
6110, 60syl5bi 225 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
62 rexn0 3863 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  X  =/=  (/) )
6362a1i 11 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  X  =/=  (/) ) )
6461, 63jcad 542 . . . 4  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r )  /\  X  =/=  (/) ) ) )
655, 64impbid2 209 . . 3  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r )  /\  X  =/=  (/) )  <->  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) ) )
6665pm5.32i 649 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r )  /\  X  =/=  (/) ) )  <->  ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
672, 3, 663bitri 279 1  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    / cdiv 10291   2c2 10681   RR+crp 11325   *Metcxmt 19032   ballcbl 19034   Bndcbnd 32163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-ec 7383  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-2 10690  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-bnd 32175
This theorem is referenced by:  isbnd3  32180  blbnd  32183  ssbnd  32184
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