Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isblo3i Structured version   Unicode version

Theorem isblo3i 26434
 Description: The predicate "is a bounded linear operator." Definition 2.7-1 of [Kreyszig] p. 91. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isblo3i.1
isblo3i.m CV
isblo3i.n CV
isblo3i.4
isblo3i.5
isblo3i.u
isblo3i.w
Assertion
Ref Expression
isblo3i
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem isblo3i
StepHypRef Expression
1 isblo3i.u . . . 4
2 isblo3i.w . . . 4
3 isblo3i.4 . . . . 5
4 isblo3i.5 . . . . 5
53, 4bloln 26417 . . . 4
61, 2, 5mp3an12 1351 . . 3
7 isblo3i.1 . . . . . 6
8 eqid 2423 . . . . . 6
9 eqid 2423 . . . . . 6
107, 8, 9, 4nmblore 26419 . . . . 5
111, 2, 10mp3an12 1351 . . . 4
12 isblo3i.m . . . . . 6 CV
13 isblo3i.n . . . . . 6 CV
147, 12, 13, 9, 4, 1, 2nmblolbi 26433 . . . . 5
1514ralrimiva 2840 . . . 4
16 oveq1 6310 . . . . . . 7
1716breq2d 4433 . . . . . 6
1817ralbidv 2865 . . . . 5
1918rspcev 3183 . . . 4
2011, 15, 19syl2anc 666 . . 3
216, 20jca 535 . 2
22 simp1 1006 . . . . 5
237, 8, 3lnof 26388 . . . . . . 7
241, 2, 23mp3an12 1351 . . . . . 6
257, 8, 9nmoxr 26399 . . . . . . . . 9
261, 2, 25mp3an12 1351 . . . . . . . 8
27263ad2ant1 1027 . . . . . . 7
28 recn 9631 . . . . . . . . . 10
2928abscld 13491 . . . . . . . . 9
3029rexrd 9692 . . . . . . . 8
31303ad2ant2 1028 . . . . . . 7
32 pnfxr 11414 . . . . . . . 8
3332a1i 11 . . . . . . 7
347, 8, 12, 13, 9, 1, 2nmoub3i 26406 . . . . . . 7
35 ltpnf 11424 . . . . . . . . 9
3629, 35syl 17 . . . . . . . 8
37363ad2ant2 1028 . . . . . . 7
3827, 31, 33, 34, 37xrlelttrd 11459 . . . . . 6
3924, 38syl3an1 1298 . . . . 5
409, 3, 4isblo 26415 . . . . . 6
411, 2, 40mp2an 677 . . . . 5
4222, 39, 41sylanbrc 669 . . . 4
4342rexlimdv3a 2920 . . 3
4443imp 431 . 2
4521, 44impbii 191 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 188   wa 371   w3a 983   wceq 1438   wcel 1869  wral 2776  wrex 2777   class class class wbr 4421  wf 5595  cfv 5599  (class class class)co 6303  cr 9540   cmul 9546   cpnf 9674  cxr 9676   clt 9677   cle 9678  cabs 13291  cnv 26195  cba 26197  CVcnmcv 26201   clno 26373  cnmoo 26374   cblo 26375 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-sup 7960  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-seq 12215  df-exp 12274  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-grpo 25911  df-gid 25912  df-ginv 25913  df-ablo 26002  df-vc 26157  df-nv 26203  df-va 26206  df-ba 26207  df-sm 26208  df-0v 26209  df-nmcv 26211  df-lno 26377  df-nmoo 26378  df-blo 26379  df-0o 26380 This theorem is referenced by:  blo3i  26435  blocnilem  26437
 Copyright terms: Public domain W3C validator