Theorem isblo3i 9801

Description: The predicate "is a bounded linear operator." Definition 2.7-1 of [Kreyszig] p. 91.

Hypotheses

Ref	Expression
isblo3i.1	|- X = (BaseSet` U)
isblo3i.m	|- M = (norm` U)
isblo3i.n	|- N = (norm` W)
isblo3i.4	|- L = (U LnOp W)
isblo3i.5	|- B = (U BLnOp W)
isblo3i.u	|- U e. NrmCVec
isblo3i.w	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
isblo3i	|- (T e. B <-> (T e. L /\ E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))))

Distinct variable groups:   x,y,B   x,L   x,M,y   x,N,y   x,T,y   x,U,y   x,W,y   x,X,y

Proof of Theorem isblo3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isblo3i.u	. . . 4 |- U e. NrmCVec
2		isblo3i.w	. . . 4 |- W e. NrmCVec
3		isblo3i.4	. . . . 5 |- L = (U LnOp W)
4		isblo3i.5	. . . . 5 |- B = (U BLnOp W)
5	3, 4	bloln 9784	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B) -> T e. L)
6	1, 2, 5	mp3an12 1181	. . 3 |- (T e. B -> T e. L)
7		isblo3i.1	. . . . . 6 |- X = (BaseSet` U)
8		eqid 1884	. . . . . 6 |- (BaseSet` W) = (BaseSet` W)
9		eqid 1884	. . . . . 6 |- (UnormOpW) = (UnormOpW)
10	7, 8, 9, 4	nmblore 9786	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B) -> ((UnormOpW)` T) e. RR)
11	1, 2, 10	mp3an12 1181	. . . 4 |- (T e. B -> ((UnormOpW)` T) e. RR)
12		isblo3i.m	. . . . . 6 |- M = (norm` U)
13		isblo3i.n	. . . . . 6 |- N = (norm` W)
14	7, 12, 13, 9, 4, 1, 2	nmblolbi 9800	. . . . 5 |- ((T e. B /\ y e. X) -> (N` (T` y)) <_ (((UnormOpW)` T) x. (M` y)))
15	14	r19.21aiva 2176	. . . 4 |- (T e. B -> A.y e. X (N` (T` y)) <_ (((UnormOpW)` T) x. (M` y)))
16		opreq1 4889	. . . . . . 7 |- (x = ((UnormOpW)` T) -> (x x. (M` y)) = (((UnormOpW)` T) x. (M` y)))
17	16	breq2d 3350	. . . . . 6 |- (x = ((UnormOpW)` T) -> ((N` (T` y)) <_ (x x. (M` y)) <-> (N` (T` y)) <_ (((UnormOpW)` T) x. (M` y))))
18	17	ralbidv 2123	. . . . 5 |- (x = ((UnormOpW)` T) -> (A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y)) <-> A.y e. X (N` (T` y)) <_ (((UnormOpW)` T) x. (M` y))))
19	18	rcla4ev 2381	. . . 4 |- ((((UnormOpW)` T) e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (((UnormOpW)` T) x. (M` y))) -> E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y)))
20	11, 15, 19	syl11anc 524	. . 3 |- (T e. B -> E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y)))
21	6, 20	jca 310	. 2 |- (T e. B -> (T e. L /\ E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))))
22	9, 3, 4	isblo 9782	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (T e. B <-> (T e. L /\ ((UnormOpW)` T) < +oo)))
23	1, 2, 22	mp2an 761	. . . . . 6 |- (T e. B <-> (T e. L /\ ((UnormOpW)` T) < +oo))
24		simp1 876	. . . . . 6 |- ((T e. L /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> T e. L)
25	7, 8, 12, 13, 9, 1, 2	nmoub3i 9775	. . . . . . . 8 |- ((T:X-->(BaseSet` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> ((UnormOpW)` T) <_ (abs` x))
26		recn 6466	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> x e. CC)
27		abscl 8084	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. CC -> (abs` x) e. RR)
28	26, 27	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> (abs` x) e. RR)
29		ltpnf 6717	. . . . . . . . . 10 |- ((abs` x) e. RR -> (abs` x) < +oo)
30	28, 29	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (x e. RR -> (abs` x) < +oo)
31	30	3ad2ant2 898	. . . . . . . 8 |- ((T:X-->(BaseSet` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> (abs` x) < +oo)
32	7, 8, 9	nmoxr 9768	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->(BaseSet` W)) -> ((UnormOpW)` T) e. RR*)
33	1, 2, 32	mp3an12 1181	. . . . . . . . . 10 |- (T:X-->(BaseSet` W) -> ((UnormOpW)` T) e. RR*)
34	33	3ad2ant1 897	. . . . . . . . 9 |- ((T:X-->(BaseSet` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> ((UnormOpW)` T) e. RR*)
35		rexr 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ((abs` x) e. RR -> (abs` x) e. RR*)
36	28, 35	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> (abs` x) e. RR*)
37	36	3ad2ant2 898	. . . . . . . . 9 |- ((T:X-->(BaseSet` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> (abs` x) e. RR*)
38		pnfxr 6660	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. RR*
39	38	a1i 8	. . . . . . . . 9 |- ((T:X-->(BaseSet` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> +oo e. RR*)
40		xrlelttr 6737	. . . . . . . . 9 |- ((((UnormOpW)` T) e. RR* /\ (abs` x) e. RR* /\ +oo e. RR*) -> ((((UnormOpW)` T) <_ (abs` x) /\ (abs` x) < +oo) -> ((UnormOpW)` T) < +oo))
41	34, 37, 39, 40	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- ((T:X-->(BaseSet` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> ((((UnormOpW)` T) <_ (abs` x) /\ (abs` x) < +oo) -> ((UnormOpW)` T) < +oo))
42	25, 31, 41	mp2and 767	. . . . . . 7 |- ((T:X-->(BaseSet` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> ((UnormOpW)` T) < +oo)
43	7, 8, 3	lnof 9755	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> T:X-->(BaseSet` W))
44	1, 2, 43	mp3an12 1181	. . . . . . 7 |- (T e. L -> T:X-->(BaseSet` W))
45	42, 44	syl3an1 1130	. . . . . 6 |- ((T e. L /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> ((UnormOpW)` T) < +oo)
46	23, 24, 45	sylanbrc 527	. . . . 5 |- ((T e. L /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> T e. B)
47	46	3exp 1066	. . . 4 |- (T e. L -> (x e. RR -> (A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y)) -> T e. B)))
48	47	r19.23adv 2215	. . 3 |- (T e. L -> (E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y)) -> T e. B))
49	48	imp 377	. 2 |- ((T e. L /\ E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> T e. B)
50	21, 49	impbii 174	1 |- (T e. B <-> (T e. L /\ E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385   x. cmul 6391   <_ cle 6448   +oocpnf 6650  RR*cxr 6652   < clt 6653  abscabs 8000  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537  normcnm 9541   LnOp clno 9740  normOpcnmo 9741   BLnOp cblo 9742

This theorem is referenced by:  blo3i 9802  blocnilem 9804

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-lno 9744  df-nmo 9745  df-blo 9746  df-0o 9747

Copyright terms: Public domain