Theorem isblo 9782

Description: The predicate "is a bounded linear operator."

Hypotheses

Ref	Expression
bloval.3	|- N = (UnormOpW)
bloval.4	|- L = (U LnOp W)
bloval.5	|- B = (U BLnOp W)

Assertion

Ref	Expression
isblo	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (T e. B <-> (T e. L /\ (N` T) < +oo)))

Proof of Theorem isblo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bloval.3	. . . 4 |- N = (UnormOpW)
2		bloval.4	. . . 4 |- L = (U LnOp W)
3		bloval.5	. . . 4 |- B = (U BLnOp W)
4	1, 2, 3	bloval 9781	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> B = {t e. L | (N` t) < +oo})
5	4	eleq2d 1964	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (T e. B <-> T e. {t e. L | (N` t) < +oo}))
6		fveq2 4681	. . . 4 |- (t = T -> (N` t) = (N` T))
7	6	breq1d 3348	. . 3 |- (t = T -> ((N` t) < +oo <-> (N` T) < +oo))
8	7	elrab 2414	. 2 |- (T e. {t e. L | (N` t) < +oo} <-> (T e. L /\ (N` T) < +oo))
9	5, 8	syl6bb 595	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (T e. B <-> (T e. L /\ (N` T) < +oo)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {crab 2108   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   +oocpnf 6650   < clt 6653  NrmCVeccnv 9535   LnOp clno 9740  normOpcnmo 9741   BLnOp cblo 9742

This theorem is referenced by:  isblo2 9783  bloln 9784  nmblore 9786  isblo3i 9801

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-blo 9746

Copyright terms: Public domain