Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbasisrelowllem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isbasisrelowllem2 31829
Description: Lemma for isbasisrelowl 31831. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
isbasisrelowl.1  |-  I  =  ( [,) " ( RR  X.  RR ) )
Assertion
Ref Expression
isbasisrelowllem2  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  I )
Distinct variable groups:    z, a    z, b    c, d, x, z    y, c, d, z
Allowed substitution hints:    I( x, y, z, a, b, c, d)

Proof of Theorem isbasisrelowllem2
StepHypRef Expression
1 simplr1 1072 . . . . 5  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  -> 
c  e.  RR )
2 simplr2 1073 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  -> 
d  e.  RR )
3 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z  a  e.  RR
4 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z  b  e.  RR
5 nfrab1 2957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ z { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) }
65nfeq2 2627 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) }
73, 4, 6nf3an 2033 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) } )
8 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z  c  e.  RR
9 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z  d  e.  RR
10 nfrab1 2957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ z { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  d ) }
1110nfeq2 2627 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) }
128, 9, 11nf3an 2033 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } )
137, 12nfan 2031 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )
14 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( a  <_  c  /\  d  <_  b )
1513, 14nfan 2031 . . . . . . . . 9  |-  F/ z ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )
16 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z
( x  i^i  y
)
17 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  ->  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) } )
18 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  d ) } )  -> 
y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } )
19 elin 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( x  i^i  y )  <->  ( z  e.  x  /\  z  e.  y ) )
20 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) }  ->  ( z  e.  x  <->  z  e.  { z  e.  RR  | 
( a  <_  z  /\  z  <  b ) } ) )
21 rabid 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) }  <->  ( z  e.  RR  /\  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) ) )
2220, 21syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) }  ->  ( z  e.  x  <->  ( z  e.  RR  /\  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )
2322anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) }  ->  ( ( z  e.  x  /\  z  e.  y
)  <->  ( ( z  e.  RR  /\  (
a  <_  z  /\  z  <  b ) )  /\  z  e.  y ) ) )
2419, 23syl5bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) }  ->  ( z  e.  ( x  i^i  y )  <->  ( (
z  e.  RR  /\  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) )  /\  z  e.  y ) ) )
25 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) }  ->  ( z  e.  y  <->  z  e.  { z  e.  RR  | 
( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )
26 rabid 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) }  <->  ( z  e.  RR  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )
2725, 26syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) }  ->  ( z  e.  y  <->  ( z  e.  RR  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) )
2827anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) }  ->  ( ( ( z  e.  RR  /\  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) )  /\  z  e.  y )  <->  ( ( z  e.  RR  /\  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) ) )
2924, 28sylan9bb 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) }  /\  y  =  {
z  e.  RR  | 
( c  <_  z  /\  z  <  d ) } )  ->  (
z  e.  ( x  i^i  y )  <->  ( (
z  e.  RR  /\  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) ) )
30 an4 840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )  <->  ( ( z  e.  RR  /\  z  e.  RR )  /\  (
( a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_ 
z  /\  z  <  d ) ) ) )
31 anidm 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  RR  /\  z  e.  RR )  <->  z  e.  RR )
3231anbi1i 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  z  e.  RR )  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  (
c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )  <->  ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) )
3330, 32bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )  <->  ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) )
34 an4 840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  <_  z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_ 
z  /\  z  <  b ) )  <->  ( (
a  <_  z  /\  c  <_  z )  /\  ( z  <  d  /\  z  <  b ) ) )
35 an42 841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_ 
z  /\  z  <  d ) )  <->  ( (
a  <_  z  /\  c  <_  z )  /\  ( z  <  d  /\  z  <  b ) ) )
3635bicomi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  <_  z  /\  c  <_  z )  /\  ( z  < 
d  /\  z  <  b ) )  <->  ( (
a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )
3734, 36bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  <_  z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_ 
z  /\  z  <  b ) )  <->  ( (
a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )
3837bicomi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_ 
z  /\  z  <  d ) )  <->  ( (
a  <_  z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) )
3938anbi2i 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_ 
z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )  <-> 
( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_ 
z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )
4033, 39bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )  <->  ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )
4129, 40syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) }  /\  y  =  {
z  e.  RR  | 
( c  <_  z  /\  z  <  d ) } )  ->  (
z  e.  ( x  i^i  y )  <->  ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) ) )
4217, 18, 41syl2an 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  d ) } ) )  ->  ( z  e.  ( x  i^i  y
)  <->  ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) ) )
4342adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  -> 
( z  e.  ( x  i^i  y )  <-> 
( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_ 
z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) ) )
44 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_ 
z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) )  ->  z  e.  RR )
45 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_ 
z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) )  ->  c  <_  z
)
46 simprlr 781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_ 
z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) )  ->  z  <  d
)
4744, 45, 46jca32 544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_ 
z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) )  ->  ( z  e.  RR  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )
4843, 47syl6bi 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  -> 
( z  e.  ( x  i^i  y )  ->  ( z  e.  RR  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) )
49 3simpa 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  -> 
( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )
50 3simpa 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  d ) } )  -> 
( c  e.  RR  /\  d  e.  RR ) )
5149, 50anim12i 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  d ) } ) )  ->  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
c  e.  RR  /\  d  e.  RR )
) )
52 letr 9745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( a  <_  c  /\  c  <_  z )  ->  a  <_  z
) )
53523expia 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  ( z  e.  RR  ->  ( ( a  <_ 
c  /\  c  <_  z )  ->  a  <_  z ) ) )
5453exp4a 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  ( z  e.  RR  ->  ( a  <_  c  ->  ( c  <_  z  ->  a  <_  z )
) ) )
5554ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR ) )  -> 
( z  e.  RR  ->  ( a  <_  c  ->  ( c  <_  z  ->  a  <_  z )
) ) )
56 ltletr 9743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  (
( z  <  d  /\  d  <_  b )  ->  z  <  b
) )
57563com13 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( b  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( z  <  d  /\  d  <_  b )  ->  z  <  b
) )
5857expcomd 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( b  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
d  <_  b  ->  ( z  <  d  -> 
z  <  b )
) )
59583expia 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( b  e.  RR  /\  d  e.  RR )  ->  ( z  e.  RR  ->  ( d  <_  b  ->  ( z  <  d  ->  z  <  b ) ) ) )
6059ad2ant2l 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR ) )  -> 
( z  e.  RR  ->  ( d  <_  b  ->  ( z  <  d  ->  z  <  b ) ) ) )
6155, 60jcad 542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR ) )  -> 
( z  e.  RR  ->  ( ( a  <_ 
c  ->  ( c  <_  z  ->  a  <_  z ) )  /\  (
d  <_  b  ->  ( z  <  d  -> 
z  <  b )
) ) ) )
62 prth 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( a  <_  c  ->  ( c  <_  z  ->  a  <_  z )
)  /\  ( d  <_  b  ->  ( z  <  d  ->  z  <  b ) ) )  -> 
( ( a  <_ 
c  /\  d  <_  b )  ->  ( (
c  <_  z  ->  a  <_  z )  /\  ( z  <  d  ->  z  <  b ) ) ) )
6361, 62syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR ) )  -> 
( z  e.  RR  ->  ( ( a  <_ 
c  /\  d  <_  b )  ->  ( (
c  <_  z  ->  a  <_  z )  /\  ( z  <  d  ->  z  <  b ) ) ) ) )
6463com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR ) )  -> 
( ( a  <_ 
c  /\  d  <_  b )  ->  ( z  e.  RR  ->  ( (
c  <_  z  ->  a  <_  z )  /\  ( z  <  d  ->  z  <  b ) ) ) ) )
65 prth 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( c  <_  z  ->  a  <_  z )  /\  ( z  <  d  ->  z  <  b ) )  ->  ( (
c  <_  z  /\  z  <  d )  -> 
( a  <_  z  /\  z  <  b ) ) )
6664, 65syl8 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR ) )  -> 
( ( a  <_ 
c  /\  d  <_  b )  ->  ( z  e.  RR  ->  ( (
c  <_  z  /\  z  <  d )  -> 
( a  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) ) )
6766imp31 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
c  e.  RR  /\  d  e.  RR )
)  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_ 
b ) )  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( c  <_ 
z  /\  z  <  d )  ->  ( a  <_  z  /\  z  < 
b ) ) )
6867ancrd 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
c  e.  RR  /\  d  e.  RR )
)  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_ 
b ) )  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( c  <_ 
z  /\  z  <  d )  ->  ( (
a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) )
69 an42 841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  <_  z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_ 
z  /\  z  <  b ) )  <->  ( (
a  <_  z  /\  c  <_  z )  /\  ( z  <  b  /\  z  <  d ) ) )
70 an4 840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  <_  z  /\  c  <_  z )  /\  ( z  < 
b  /\  z  <  d ) )  <->  ( (
a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )
7169, 70bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  <_  z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_ 
z  /\  z  <  b ) )  <->  ( (
a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )
7268, 71syl6ibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
c  e.  RR  /\  d  e.  RR )
)  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_ 
b ) )  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( c  <_ 
z  /\  z  <  d )  ->  ( (
a  <_  z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )
73 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
c  e.  RR  /\  d  e.  RR )
)  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_ 
b ) )  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
7472, 73jctild 552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
c  e.  RR  /\  d  e.  RR )
)  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_ 
b ) )  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( c  <_ 
z  /\  z  <  d )  ->  ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) ) )
7551, 74sylanl1 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( c  <_ 
z  /\  z  <  d )  ->  ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) ) )
7675imp 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  /\  z  e.  RR )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) )  ->  ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )
7776an32s 821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) )  /\  z  e.  RR )  ->  (
z  e.  RR  /\  ( ( a  <_ 
z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )
7843adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) )  ->  ( z  e.  ( x  i^i  y
)  <->  ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) ) )
7978adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) )  /\  z  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( x  i^i  y )  <->  ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) ) )
8077, 79mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) )  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  ( x  i^i  y
) )
8180expl 630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  -> 
( ( ( c  <_  z  /\  z  <  d )  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  ( x  i^i  y
) ) )
8281ancomsd 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  -> 
( ( z  e.  RR  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) )  -> 
z  e.  ( x  i^i  y ) ) )
8348, 82impbid 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  -> 
( z  e.  ( x  i^i  y )  <-> 
( z  e.  RR  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) )
8483, 26syl6bbr 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  -> 
( z  e.  ( x  i^i  y )  <-> 
z  e.  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )
8515, 16, 10, 84eqrd 3436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } )
862, 85jca 541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  -> 
( d  e.  RR  /\  ( x  i^i  y
)  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )
87 19.8a 1955 . . . . . . 7  |-  ( ( d  e.  RR  /\  ( x  i^i  y
)  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } )  ->  E. d
( d  e.  RR  /\  ( x  i^i  y
)  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )
8886, 87syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  ->  E. d ( d  e.  RR  /\  ( x  i^i  y )  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  d ) } ) )
89 df-rex 2762 . . . . . 6  |-  ( E. d  e.  RR  (
x  i^i  y )  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  d ) }  <->  E. d
( d  e.  RR  /\  ( x  i^i  y
)  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )
9088, 89sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  ->  E. d  e.  RR  ( x  i^i  y
)  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } )
911, 90jca 541 . . . 4  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  -> 
( c  e.  RR  /\ 
E. d  e.  RR  ( x  i^i  y
)  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )
92 19.8a 1955 . . . 4  |-  ( ( c  e.  RR  /\  E. d  e.  RR  (
x  i^i  y )  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  d ) } )  ->  E. c ( c  e.  RR  /\  E. d  e.  RR  ( x  i^i  y )  =  {
z  e.  RR  | 
( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )
9391, 92syl 17 . . 3  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  ->  E. c ( c  e.  RR  /\  E. d  e.  RR  ( x  i^i  y )  =  {
z  e.  RR  | 
( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )
94 df-rex 2762 . . 3  |-  ( E. c  e.  RR  E. d  e.  RR  (
x  i^i  y )  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  d ) }  <->  E. c
( c  e.  RR  /\ 
E. d  e.  RR  ( x  i^i  y
)  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )
9593, 94sylibr 217 . 2  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  ->  E. c  e.  RR  E. d  e.  RR  (
x  i^i  y )  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  d ) } )
96 isbasisrelowl.1 . . 3  |-  I  =  ( [,) " ( RR  X.  RR ) )
9796icoreelrnab 31827 . 2  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  I  <->  E. c  e.  RR  E. d  e.  RR  ( x  i^i  y )  =  {
z  e.  RR  | 
( c  <_  z  /\  z  <  d ) } )
9895, 97sylibr 217 1  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  d  <_  b ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   E.wrex 2757   {crab 2760    i^i cin 3389   class class class wbr 4395    X. cxp 4837   "cima 4842   RRcr 9556    < clt 9693    <_ cle 9694   [,)cico 11662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-ico 11666
This theorem is referenced by:  icoreclin  31830
  Copyright terms: Public domain W3C validator