Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbasisrelowllem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isbasisrelowllem1 31828
Description: Lemma for isbasisrelowl 31831. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
isbasisrelowl.1  |-  I  =  ( [,) " ( RR  X.  RR ) )
Assertion
Ref Expression
isbasisrelowllem1  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  I )
Distinct variable groups:    x, I,
y, z    a, b, x, z    b, c, y, x, z    c, d, y, z
Allowed substitution hints:    I( a, b, c, d)

Proof of Theorem isbasisrelowllem1
StepHypRef Expression
1 simplr1 1072 . . . . 5  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  -> 
c  e.  RR )
2 simpll2 1070 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  -> 
b  e.  RR )
3 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z  a  e.  RR
4 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z  b  e.  RR
5 nfrab1 2957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ z { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) }
65nfeq2 2627 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) }
73, 4, 6nf3an 2033 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) } )
8 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z  c  e.  RR
9 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z  d  e.  RR
10 nfrab1 2957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ z { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  d ) }
1110nfeq2 2627 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) }
128, 9, 11nf3an 2033 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } )
137, 12nfan 2031 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )
14 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( a  <_  c  /\  b  <_  d )
1513, 14nfan 2031 . . . . . . . . 9  |-  F/ z ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )
16 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z
( x  i^i  y
)
17 nfrab1 2957 . . . . . . . . 9  |-  F/_ z { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  b ) }
18 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  ->  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) } )
19 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  d ) } )  -> 
y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } )
20 elin 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( x  i^i  y )  <->  ( z  e.  x  /\  z  e.  y ) )
21 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) }  ->  ( z  e.  x  <->  z  e.  { z  e.  RR  | 
( a  <_  z  /\  z  <  b ) } ) )
22 rabid 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) }  <->  ( z  e.  RR  /\  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) ) )
2321, 22syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) }  ->  ( z  e.  x  <->  ( z  e.  RR  /\  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )
2423anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) }  ->  ( ( z  e.  x  /\  z  e.  y
)  <->  ( ( z  e.  RR  /\  (
a  <_  z  /\  z  <  b ) )  /\  z  e.  y ) ) )
2520, 24syl5bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) }  ->  ( z  e.  ( x  i^i  y )  <->  ( (
z  e.  RR  /\  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) )  /\  z  e.  y ) ) )
26 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) }  ->  ( z  e.  y  <->  z  e.  { z  e.  RR  | 
( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )
27 rabid 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) }  <->  ( z  e.  RR  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )
2826, 27syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) }  ->  ( z  e.  y  <->  ( z  e.  RR  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) )
2928anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) }  ->  ( ( ( z  e.  RR  /\  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) )  /\  z  e.  y )  <->  ( ( z  e.  RR  /\  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) ) )
3025, 29sylan9bb 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) }  /\  y  =  {
z  e.  RR  | 
( c  <_  z  /\  z  <  d ) } )  ->  (
z  e.  ( x  i^i  y )  <->  ( (
z  e.  RR  /\  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) ) )
31 an4 840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )  <->  ( ( z  e.  RR  /\  z  e.  RR )  /\  (
( a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_ 
z  /\  z  <  d ) ) ) )
32 anidm 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  RR  /\  z  e.  RR )  <->  z  e.  RR )
3332anbi1i 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  z  e.  RR )  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  (
c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )  <->  ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) )
3431, 33bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) )  /\  ( z  e.  RR  /\  (
c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )  <->  ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) )
3530, 34syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) }  /\  y  =  {
z  e.  RR  | 
( c  <_  z  /\  z  <  d ) } )  ->  (
z  e.  ( x  i^i  y )  <->  ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) ) )
3618, 19, 35syl2an 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  d ) } ) )  ->  ( z  e.  ( x  i^i  y
)  <->  ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) ) )
3736adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  -> 
( z  e.  ( x  i^i  y )  <-> 
( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_ 
z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) ) )
38 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_ 
z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )  ->  z  e.  RR )
39 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_ 
z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )  ->  c  <_  z
)
40 simprlr 781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_ 
z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )  ->  z  <  b
)
4138, 39, 40jca32 544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_ 
z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )  ->  ( z  e.  RR  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) )
4237, 41syl6bi 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  -> 
( z  e.  ( x  i^i  y )  ->  ( z  e.  RR  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )
43 3simpa 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  -> 
( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )
44 3simpa 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  d ) } )  -> 
( c  e.  RR  /\  d  e.  RR ) )
4543, 44anim12i 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_  z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  d ) } ) )  ->  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
c  e.  RR  /\  d  e.  RR )
) )
46 letr 9745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( a  <_  c  /\  c  <_  z )  ->  a  <_  z
) )
47463expia 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  ( z  e.  RR  ->  ( ( a  <_ 
c  /\  c  <_  z )  ->  a  <_  z ) ) )
4847exp4a 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  ( z  e.  RR  ->  ( a  <_  c  ->  ( c  <_  z  ->  a  <_  z )
) ) )
4948ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR ) )  -> 
( z  e.  RR  ->  ( a  <_  c  ->  ( c  <_  z  ->  a  <_  z )
) ) )
50 ltletr 9743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  d  e.  RR )  ->  (
( z  <  b  /\  b  <_  d )  ->  z  <  d
) )
51503coml 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( b  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( z  <  b  /\  b  <_  d )  ->  z  <  d
) )
5251expcomd 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( b  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
b  <_  d  ->  ( z  <  b  -> 
z  <  d )
) )
53523expia 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( b  e.  RR  /\  d  e.  RR )  ->  ( z  e.  RR  ->  ( b  <_  d  ->  ( z  <  b  ->  z  <  d ) ) ) )
5453ad2ant2l 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR ) )  -> 
( z  e.  RR  ->  ( b  <_  d  ->  ( z  <  b  ->  z  <  d ) ) ) )
5549, 54jcad 542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR ) )  -> 
( z  e.  RR  ->  ( ( a  <_ 
c  ->  ( c  <_  z  ->  a  <_  z ) )  /\  (
b  <_  d  ->  ( z  <  b  -> 
z  <  d )
) ) ) )
56 prth 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( a  <_  c  ->  ( c  <_  z  ->  a  <_  z )
)  /\  ( b  <_  d  ->  ( z  <  b  ->  z  <  d ) ) )  -> 
( ( a  <_ 
c  /\  b  <_  d )  ->  ( (
c  <_  z  ->  a  <_  z )  /\  ( z  <  b  ->  z  <  d ) ) ) )
5755, 56syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR ) )  -> 
( z  e.  RR  ->  ( ( a  <_ 
c  /\  b  <_  d )  ->  ( (
c  <_  z  ->  a  <_  z )  /\  ( z  <  b  ->  z  <  d ) ) ) ) )
5857com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR ) )  -> 
( ( a  <_ 
c  /\  b  <_  d )  ->  ( z  e.  RR  ->  ( (
c  <_  z  ->  a  <_  z )  /\  ( z  <  b  ->  z  <  d ) ) ) ) )
59 prth 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( c  <_  z  ->  a  <_  z )  /\  ( z  <  b  ->  z  <  d ) )  ->  ( (
c  <_  z  /\  z  <  b )  -> 
( a  <_  z  /\  z  <  d ) ) )
6058, 59syl8 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR ) )  -> 
( ( a  <_ 
c  /\  b  <_  d )  ->  ( z  e.  RR  ->  ( (
c  <_  z  /\  z  <  b )  -> 
( a  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) ) )
6160imp31 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
c  e.  RR  /\  d  e.  RR )
)  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_ 
d ) )  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( c  <_ 
z  /\  z  <  b )  ->  ( a  <_  z  /\  z  < 
d ) ) )
6261ancrd 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
c  e.  RR  /\  d  e.  RR )
)  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_ 
d ) )  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( c  <_ 
z  /\  z  <  b )  ->  ( (
a  <_  z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )
63 an42 841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  <_  z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_ 
z  /\  z  <  b ) )  <->  ( (
a  <_  z  /\  c  <_  z )  /\  ( z  <  b  /\  z  <  d ) ) )
64 an4 840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  <_  z  /\  c  <_  z )  /\  ( z  < 
b  /\  z  <  d ) )  <->  ( (
a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )
6563, 64bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  <_  z  /\  z  <  d )  /\  ( c  <_ 
z  /\  z  <  b ) )  <->  ( (
a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) )
6662, 65syl6ib 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
c  e.  RR  /\  d  e.  RR )
)  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_ 
d ) )  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( c  <_ 
z  /\  z  <  b )  ->  ( (
a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) )
67 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
c  e.  RR  /\  d  e.  RR )
)  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_ 
d ) )  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
6866, 67jctild 552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
c  e.  RR  /\  d  e.  RR )
)  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_ 
d ) )  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( c  <_ 
z  /\  z  <  b )  ->  ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) ) )
6945, 68sylanl1 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( c  <_ 
z  /\  z  <  b )  ->  ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) ) )
7069imp 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  /\  z  e.  RR )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) )  ->  ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) )
7170an32s 821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) )  /\  z  e.  RR )  ->  (
z  e.  RR  /\  ( ( a  <_ 
z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) )
7237adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) )  ->  ( z  e.  ( x  i^i  y
)  <->  ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) ) )
7372adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) )  /\  z  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( x  i^i  y )  <->  ( z  e.  RR  /\  ( ( a  <_  z  /\  z  <  b )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) ) ) ) )
7471, 73mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) )  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  ( x  i^i  y
) )
7574expl 630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  -> 
( ( ( c  <_  z  /\  z  <  b )  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  ( x  i^i  y
) ) )
7675ancomsd 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  -> 
( ( z  e.  RR  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) )  -> 
z  e.  ( x  i^i  y ) ) )
7742, 76impbid 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  -> 
( z  e.  ( x  i^i  y )  <-> 
( z  e.  RR  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) ) )
78 rabid 2953 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) }  <->  ( z  e.  RR  /\  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) ) )
7977, 78syl6bbr 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  -> 
( z  e.  ( x  i^i  y )  <-> 
z  e.  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) } ) )
8015, 16, 17, 79eqrd 3436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) } )
812, 80jca 541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  -> 
( b  e.  RR  /\  ( x  i^i  y
)  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) } ) )
82 19.8a 1955 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  RR  /\  ( x  i^i  y
)  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) } )  ->  E. b
( b  e.  RR  /\  ( x  i^i  y
)  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) } ) )
8381, 82syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  ->  E. b ( b  e.  RR  /\  ( x  i^i  y )  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  b ) } ) )
84 df-rex 2762 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  RR  (
x  i^i  y )  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  b ) }  <->  E. b
( b  e.  RR  /\  ( x  i^i  y
)  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) } ) )
8583, 84sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  ->  E. b  e.  RR  ( x  i^i  y
)  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) } )
861, 85jca 541 . . . 4  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  -> 
( c  e.  RR  /\ 
E. b  e.  RR  ( x  i^i  y
)  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) } ) )
87 19.8a 1955 . . . 4  |-  ( ( c  e.  RR  /\  E. b  e.  RR  (
x  i^i  y )  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  ->  E. c ( c  e.  RR  /\  E. b  e.  RR  ( x  i^i  y )  =  {
z  e.  RR  | 
( c  <_  z  /\  z  <  b ) } ) )
8886, 87syl 17 . . 3  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  ->  E. c ( c  e.  RR  /\  E. b  e.  RR  ( x  i^i  y )  =  {
z  e.  RR  | 
( c  <_  z  /\  z  <  b ) } ) )
89 df-rex 2762 . . 3  |-  ( E. c  e.  RR  E. b  e.  RR  (
x  i^i  y )  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  b ) }  <->  E. c
( c  e.  RR  /\ 
E. b  e.  RR  ( x  i^i  y
)  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  b ) } ) )
9088, 89sylibr 217 . 2  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  ->  E. c  e.  RR  E. b  e.  RR  (
x  i^i  y )  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )
91 isbasisrelowl.1 . . 3  |-  I  =  ( [,) " ( RR  X.  RR ) )
9291icoreelrnab 31827 . 2  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  I  <->  E. c  e.  RR  E. b  e.  RR  ( x  i^i  y )  =  {
z  e.  RR  | 
( c  <_  z  /\  z  <  b ) } )
9390, 92sylibr 217 1  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  =  { z  e.  RR  |  ( a  <_ 
z  /\  z  <  b ) } )  /\  ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  y  =  { z  e.  RR  |  ( c  <_  z  /\  z  <  d ) } ) )  /\  ( a  <_  c  /\  b  <_  d ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   E.wrex 2757   {crab 2760    i^i cin 3389   class class class wbr 4395    X. cxp 4837   "cima 4842   RRcr 9556    < clt 9693    <_ cle 9694   [,)cico 11662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-ico 11666
This theorem is referenced by:  icoreclin  31830
  Copyright terms: Public domain W3C validator