Theorem isbasis3g 8882

Description: Express the predicate "B is a basis for a topology." Definition of basis in [Munkres] p. 78.

Assertion

Ref	Expression
isbasis3g	|- (B e. C -> (B e. Bases <-> (A.x e. B x C_ U.B /\ A.x e. U.BE.y e. B x e. y /\ A.x e. B A.y e. B A.z e. (x i^i y)E.w e. B (z e. w /\ w C_ (x i^i y)))))

Distinct variable group:   x,w,y,z,B

Proof of Theorem isbasis3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbasis2g 8881	. 2 |- (B e. C -> (B e. Bases <-> A.x e. B A.y e. B A.z e. (x i^i y)E.w e. B (z e. w /\ w C_ (x i^i y))))
2		elssuni 3206	. . . . . 6 |- (x e. B -> x C_ U.B)
3	2	rgen 2159	. . . . 5 |- A.x e. B x C_ U.B
4		eluni2 3181	. . . . . . 7 |- (x e. U.B <-> E.y e. B x e. y)
5	4	biimpi 168	. . . . . 6 |- (x e. U.B -> E.y e. B x e. y)
6	5	rgen 2159	. . . . 5 |- A.x e. U.BE.y e. B x e. y
7	3, 6	pm3.2i 307	. . . 4 |- (A.x e. B x C_ U.B /\ A.x e. U.BE.y e. B x e. y)
8	7	biantrur 794	. . 3 |- (A.x e. B A.y e. B A.z e. (x i^i y)E.w e. B (z e. w /\ w C_ (x i^i y)) <-> ((A.x e. B x C_ U.B /\ A.x e. U.BE.y e. B x e. y) /\ A.x e. B A.y e. B A.z e. (x i^i y)E.w e. B (z e. w /\ w C_ (x i^i y))))
9		df-3an 860	. . 3 |- ((A.x e. B x C_ U.B /\ A.x e. U.BE.y e. B x e. y /\ A.x e. B A.y e. B A.z e. (x i^i y)E.w e. B (z e. w /\ w C_ (x i^i y))) <-> ((A.x e. B x C_ U.B /\ A.x e. U.BE.y e. B x e. y) /\ A.x e. B A.y e. B A.z e. (x i^i y)E.w e. B (z e. w /\ w C_ (x i^i y))))
10	8, 9	bitr4i 193	. 2 |- (A.x e. B A.y e. B A.z e. (x i^i y)E.w e. B (z e. w /\ w C_ (x i^i y)) <-> (A.x e. B x C_ U.B /\ A.x e. U.BE.y e. B x e. y /\ A.x e. B A.y e. B A.z e. (x i^i y)E.w e. B (z e. w /\ w C_ (x i^i y))))
11	1, 10	syl6bb 595	1 |- (B e. C -> (B e. Bases <-> (A.x e. B x C_ U.B /\ A.x e. U.BE.y e. B x e. y /\ A.x e. B A.y e. B A.z e. (x i^i y)E.w e. B (z e. w /\ w C_ (x i^i y)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593  U.cuni 3177  Basesctb 8859

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-in 2603  df-ss 2605  df-pw 3035  df-uni 3178  df-bases 8863

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