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Theorem isbasis2g 19743
Description: Express the predicate " B is a basis for a topology." (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
isbasis2g  |-  ( B  e.  C  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
Distinct variable group:    x, w, y, z, B
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, w)

Proof of Theorem isbasis2g
StepHypRef Expression
1 isbasisg 19742 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
2 dfss3 3434 . . . 4  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) z  e.  U. ( B  i^i  ~P (
x  i^i  y )
) )
3 elin 3628 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  ( w  e.  B  /\  w  e.  ~P ( x  i^i  y ) ) )
4 selpw 3964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ~P ( x  i^i  y )  <->  w  C_  (
x  i^i  y )
)
54anbi2i 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  B  /\  w  e.  ~P (
x  i^i  y )
)  <->  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
63, 5bitri 251 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
76anbi2i 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  w  /\  w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )  <-> 
( z  e.  w  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
8 an12 800 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  w  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )  <->  ( w  e.  B  /\  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
97, 8bitri 251 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  w  /\  w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )  <-> 
( w  e.  B  /\  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
109exbii 1690 . . . . . 6  |-  ( E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )  <->  E. w
( w  e.  B  /\  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
11 eluni 4196 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
12 df-rex 2762 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) )  <->  E. w
( w  e.  B  /\  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
1310, 11, 123bitr4i 279 . . . . 5  |-  ( z  e.  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )
1413ralbii 2837 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ( x  i^i  y ) z  e. 
U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
152, 14bitri 251 . . 3  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
16152ralbii 2838 . 2  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
171, 16syl6bb 263 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369   E.wex 1635    e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757    i^i cin 3415    C_ wss 3416   ~Pcpw 3957   U.cuni 4193   TopBasesctb 19692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-an 371  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ral 2761  df-rex 2762  df-v 3063  df-in 3423  df-ss 3430  df-pw 3959  df-uni 4194  df-bases 19695
This theorem is referenced by:  isbasis3g  19744  basis2  19746  fiinbas  19747  tgclb  19766  topbas  19768  restbas  19954  txbas  20362  blbas  21227
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