Theorem isatlati 17015

Description: Properties that determine an atomic lattice.

Hypotheses

Ref	Expression
isatlati.1	|- K e. LatNEW
isatlati.b	|- B = (base` K)
isatlati.l	|- L = (le` K)
isatlati.z	|- Z = (0.` K)
isatlati.a	|- A = (AtomsNEW` K)
isatlati.6	|- ((x e. B /\ x =/= Z) -> E.y e. A yLx)

Assertion

Ref	Expression
isatlati	|- K e. AtLat

Distinct variable groups:   y,A   x,B   x,y,K

Proof of Theorem isatlati

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isatlati.b	. . 3 |- B = (base` K)
2		isatlati.l	. . 3 |- L = (le` K)
3		isatlati.z	. . 3 |- Z = (0.` K)
4		isatlati.a	. . 3 |- A = (AtomsNEW` K)
5	1, 2, 3, 4	isatlat 17012	. 2 |- (K e. AtLat <-> (K e. LatNEW /\ A.x e. B (x =/= Z -> E.y e. A yLx)))
6		isatlati.1	. 2 |- K e. LatNEW
7		isatlati.6	. . . 4 |- ((x e. B /\ x =/= Z) -> E.y e. A yLx)
8	7	ex 402	. . 3 |- (x e. B -> (x =/= Z -> E.y e. A yLx))
9	8	rgen 2159	. 2 |- A.x e. B (x =/= Z -> E.y e. A yLx)
10	5, 6, 9	mpbir2an 800	1 |- K e. AtLat

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  lecple 16759  0.cp0 16832  LatNEWclat 16834  AtomsNEWcatm 16981  AtLatcal 16982

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-atlat 16986

Copyright terms: Public domain