MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isass Structured version   Unicode version

Theorem isass 23802
Description: The predicate "is an associative operation". (Contributed by FL, 1-Nov-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
isass.1  |-  X  =  dom  dom  G
Assertion
Ref Expression
isass  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  Ass  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, G, y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem isass
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmeq 5039 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  dom  g  =  dom  G )
21dmeqd 5041 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  dom  dom  g  =  dom  dom  G )
32eleq2d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
x  e.  dom  dom  g 
<->  x  e.  dom  dom  G ) )
42eleq2d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
y  e.  dom  dom  g 
<->  y  e.  dom  dom  G ) )
52eleq2d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
z  e.  dom  dom  g 
<->  z  e.  dom  dom  G ) )
63, 4, 53anbi123d 1289 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( x  e.  dom  dom  g  /\  y  e. 
dom  dom  g  /\  z  e.  dom  dom  g )  <->  ( x  e.  dom  dom  G  /\  y  e.  dom  dom 
G  /\  z  e.  dom  dom  G ) ) )
7 oveq 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
x g y )  =  ( x G y ) )
87oveq1d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( x g y ) g z )  =  ( ( x G y ) g z ) )
9 oveq 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( x G y ) g z )  =  ( ( x G y ) G z ) )
108, 9eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( x g y ) g z )  =  ( ( x G y ) G z ) )
11 oveq 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
y g z )  =  ( y G z ) )
1211oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
x g ( y g z ) )  =  ( x g ( y G z ) ) )
13 oveq 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
x g ( y G z ) )  =  ( x G ( y G z ) ) )
1412, 13eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
x g ( y g z ) )  =  ( x G ( y G z ) ) )
1510, 14eqeq12d 2456 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
166, 15imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( x  e. 
dom  dom  g  /\  y  e.  dom  dom  g  /\  z  e.  dom  dom  g
)  ->  ( (
x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) ) )  <->  ( (
x  e.  dom  dom  G  /\  y  e.  dom  dom 
G  /\  z  e.  dom  dom  G )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) ) )
1716albidv 1679 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ( A. z ( ( x  e.  dom  dom  g  /\  y  e.  dom  dom  g  /\  z  e. 
dom  dom  g )  -> 
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) ) )  <->  A. z ( ( x  e.  dom  dom  G  /\  y  e.  dom  dom 
G  /\  z  e.  dom  dom  G )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) ) )
18172albidv 1681 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x A. y A. z ( ( x  e.  dom  dom  g  /\  y  e.  dom  dom  g  /\  z  e. 
dom  dom  g )  -> 
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) ) )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  dom  dom  G  /\  y  e.  dom  dom 
G  /\  z  e.  dom  dom  G )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) ) )
19 r3al 2772 . . . 4  |-  ( A. x  e.  dom  dom  g A. y  e.  dom  dom  g A. z  e. 
dom  dom  g ( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  dom  dom  g  /\  y  e.  dom  dom  g  /\  z  e. 
dom  dom  g )  -> 
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) ) ) )
20 r3al 2772 . . . 4  |-  ( A. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom 
G A. z  e. 
dom  dom  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  dom  dom  G  /\  y  e.  dom  dom 
G  /\  z  e.  dom  dom  G )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2118, 19, 203bitr4g 288 . . 3  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  dom  dom  g A. y  e. 
dom  dom  g A. z  e.  dom  dom  g (
( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  A. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
22 isass.1 . . . . . 6  |-  X  =  dom  dom  G
2322eqcomi 2446 . . . . 5  |-  dom  dom  G  =  X
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  dom  dom 
G  =  X )
2524raleqdv 2922 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. y  e.  dom  dom 
G A. z  e. 
dom  dom  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2624, 25raleqbidv 2930 . . 3  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  dom  dom 
G A. y  e. 
dom  dom  G A. z  e.  dom  dom  G (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  dom  dom  G (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2724raleqdv 2922 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
28272ralbidv 2756 . . 3  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2921, 26, 283bitrd 279 . 2  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  dom  dom  g A. y  e. 
dom  dom  g A. z  e.  dom  dom  g (
( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
30 df-ass 23799 . 2  |-  Ass  =  { g  |  A. x  e.  dom  dom  g A. y  e.  dom  dom  g A. z  e. 
dom  dom  g ( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) ) }
3129, 30elab2g 3107 1  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  Ass  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   dom cdm 4839  (class class class)co 6090   Asscass 23798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-dm 4849  df-iota 5380  df-fv 5425  df-ov 6093  df-ass 23799
This theorem is referenced by:  issmgrp  23820
  Copyright terms: Public domain W3C validator