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Theorem isass 25149
Description: The predicate "is an associative operation". (Contributed by FL, 1-Nov-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
isass.1  |-  X  =  dom  dom  G
Assertion
Ref Expression
isass  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  Ass  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, G, y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem isass
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmeq 5209 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  dom  g  =  dom  G )
21dmeqd 5211 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  dom  dom  g  =  dom  dom  G )
32eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
x  e.  dom  dom  g 
<->  x  e.  dom  dom  G ) )
42eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
y  e.  dom  dom  g 
<->  y  e.  dom  dom  G ) )
52eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
z  e.  dom  dom  g 
<->  z  e.  dom  dom  G ) )
63, 4, 53anbi123d 1299 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( x  e.  dom  dom  g  /\  y  e. 
dom  dom  g  /\  z  e.  dom  dom  g )  <->  ( x  e.  dom  dom  G  /\  y  e.  dom  dom 
G  /\  z  e.  dom  dom  G ) ) )
7 oveq 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
x g y )  =  ( x G y ) )
87oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( x g y ) g z )  =  ( ( x G y ) g z ) )
9 oveq 6301 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( x G y ) g z )  =  ( ( x G y ) G z ) )
108, 9eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( x g y ) g z )  =  ( ( x G y ) G z ) )
11 oveq 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
y g z )  =  ( y G z ) )
1211oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
x g ( y g z ) )  =  ( x g ( y G z ) ) )
13 oveq 6301 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
x g ( y G z ) )  =  ( x G ( y G z ) ) )
1412, 13eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
x g ( y g z ) )  =  ( x G ( y G z ) ) )
1510, 14eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
166, 15imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( x  e. 
dom  dom  g  /\  y  e.  dom  dom  g  /\  z  e.  dom  dom  g
)  ->  ( (
x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) ) )  <->  ( (
x  e.  dom  dom  G  /\  y  e.  dom  dom 
G  /\  z  e.  dom  dom  G )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) ) )
1716albidv 1689 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ( A. z ( ( x  e.  dom  dom  g  /\  y  e.  dom  dom  g  /\  z  e. 
dom  dom  g )  -> 
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) ) )  <->  A. z ( ( x  e.  dom  dom  G  /\  y  e.  dom  dom 
G  /\  z  e.  dom  dom  G )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) ) )
18172albidv 1691 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x A. y A. z ( ( x  e.  dom  dom  g  /\  y  e.  dom  dom  g  /\  z  e. 
dom  dom  g )  -> 
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) ) )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  dom  dom  G  /\  y  e.  dom  dom 
G  /\  z  e.  dom  dom  G )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) ) )
19 r3al 2847 . . . 4  |-  ( A. x  e.  dom  dom  g A. y  e.  dom  dom  g A. z  e. 
dom  dom  g ( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  dom  dom  g  /\  y  e.  dom  dom  g  /\  z  e. 
dom  dom  g )  -> 
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) ) ) )
20 r3al 2847 . . . 4  |-  ( A. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom 
G A. z  e. 
dom  dom  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  dom  dom  G  /\  y  e.  dom  dom 
G  /\  z  e.  dom  dom  G )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2118, 19, 203bitr4g 288 . . 3  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  dom  dom  g A. y  e. 
dom  dom  g A. z  e.  dom  dom  g (
( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  A. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
22 isass.1 . . . . . 6  |-  X  =  dom  dom  G
2322eqcomi 2480 . . . . 5  |-  dom  dom  G  =  X
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  dom  dom 
G  =  X )
2524raleqdv 3069 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. y  e.  dom  dom 
G A. z  e. 
dom  dom  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2624, 25raleqbidv 3077 . . 3  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  dom  dom 
G A. y  e. 
dom  dom  G A. z  e.  dom  dom  G (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  dom  dom  G (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2724raleqdv 3069 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
28272ralbidv 2911 . . 3  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2921, 26, 283bitrd 279 . 2  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  dom  dom  g A. y  e. 
dom  dom  g A. z  e.  dom  dom  g (
( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
30 df-ass 25146 . 2  |-  Ass  =  { g  |  A. x  e.  dom  dom  g A. y  e.  dom  dom  g A. z  e. 
dom  dom  g ( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) ) }
3129, 30elab2g 3257 1  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  Ass  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   dom cdm 5005  (class class class)co 6295   Asscass 25145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-dm 5015  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6298  df-ass 25146
This theorem is referenced by:  issmgrpOLD  25167
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