Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchiofld Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isarchiofld 28592
 Description: Axiom of Archimedes : a characterization of the Archimedean property for ordered fields. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchiofld.b
isarchiofld.h RHom
isarchiofld.l
Assertion
Ref Expression
isarchiofld oField Archi
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem isarchiofld
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isofld 28577 . . . 4 oField Field oRing
21simprbi 466 . . 3 oField oRing
3 orngogrp 28576 . . 3 oRing oGrp
4 isarchiofld.b . . . 4
5 eqid 2453 . . . 4
6 isarchiofld.l . . . 4
7 eqid 2453 . . . 4 .g .g
84, 5, 6, 7isarchi3 28516 . . 3 oGrp Archi .g
92, 3, 83syl 18 . 2 oField Archi .g
10 orngring 28575 . . . . . . 7 oRing
11 eqid 2453 . . . . . . . 8
124, 11ringidcl 17813 . . . . . . 7
132, 10, 123syl 18 . . . . . 6 oField
14 breq2 4409 . . . . . . . . 9
15 oveq2 6303 . . . . . . . . . . 11 .g .g
1615breq2d 4417 . . . . . . . . . 10 .g .g
1716rexbidv 2903 . . . . . . . . 9 .g .g
1814, 17imbi12d 322 . . . . . . . 8 .g .g
1918ralbidv 2829 . . . . . . 7 .g .g
2019rspcv 3148 . . . . . 6 .g .g
2113, 20syl 17 . . . . 5 oField .g .g
225, 11, 6ofldlt1 28588 . . . . . . 7 oField
23 pm5.5 338 . . . . . . 7 .g .g
2422, 23syl 17 . . . . . 6 oField .g .g
2524ralbidv 2829 . . . . 5 oField .g .g
2621, 25sylibd 218 . . . 4 oField .g .g
272, 10syl 17 . . . . . . . 8 oField
28 nnz 10966 . . . . . . . 8
29 isarchiofld.h . . . . . . . . 9 RHom
3029, 7, 11zrhmulg 19093 . . . . . . . 8 .g
3127, 28, 30syl2an 480 . . . . . . 7 oField .g
3231breq2d 4417 . . . . . 6 oField .g
3332rexbidva 2900 . . . . 5 oField .g
3433ralbidv 2829 . . . 4 oField .g
3526, 34sylibrd 238 . . 3 oField .g
36 nfv 1763 . . . . . . . 8 oField
37 nfra1 2771 . . . . . . . 8
3836, 37nfan 2013 . . . . . . 7 oField
39 nfv 1763 . . . . . . 7
4038, 39nfan 2013 . . . . . 6 oField
4127ad3antrrr 737 . . . . . . . . . . 11 oField
42 simplrr 772 . . . . . . . . . . 11 oField
43 simplrl 771 . . . . . . . . . . . 12 oField
44 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14 oField
45 simplll 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 oField oField
46 ringgrp 17797 . . . . . . . . . . . . . . . 16
474, 5grpidcl 16706 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4841, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 oField
496pltne 16220 . . . . . . . . . . . . . . 15 oField
5045, 48, 43, 49syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . 14 oField
5144, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 oField
5251necomd 2681 . . . . . . . . . . . 12 oField
531simplbi 462 . . . . . . . . . . . . . 14 oField Field
54 isfld 17996 . . . . . . . . . . . . . . 15 Field
5554simplbi 462 . . . . . . . . . . . . . 14 Field
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 oField
57 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . 14 Unit Unit
584, 57, 5drngunit 17992 . . . . . . . . . . . . 13 Unit
5945, 56, 583syl 18 . . . . . . . . . . . 12 oField Unit
6043, 52, 59mpbir2and 934 . . . . . . . . . . 11 oField Unit
61 eqid 2453 . . . . . . . . . . . 12 /r /r
624, 57, 61dvrcl 17926 . . . . . . . . . . 11 Unit /r
6341, 42, 60, 62syl3anc 1269 . . . . . . . . . 10 oField /r
64 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12 oField
65 breq1 4408 . . . . . . . . . . . . . 14
6665rexbidv 2903 . . . . . . . . . . . . 13
6766cbvralv 3021 . . . . . . . . . . . 12
6864, 67sylib 200 . . . . . . . . . . 11 oField
6968ad2antrr 733 . . . . . . . . . 10 oField
70 breq1 4408 . . . . . . . . . . . 12 /r /r
7170rexbidv 2903 . . . . . . . . . . 11 /r /r
7271rspcv 3148 . . . . . . . . . 10 /r /r
7363, 69, 72sylc 62 . . . . . . . . 9 oField /r
74 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . 14
75 simp-4l 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 oField /r oField
7675, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 oField /r oRing
7775, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 oField /r
78 simp-4r 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 oField /r
7978simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . 15 oField /r
8078simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 oField /r
81 simpllr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 oField /r
8277, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 oField /r
8375, 82, 80, 49syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 oField /r
8481, 83mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 oField /r
8584necomd 2681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 oField /r
8675, 56, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 oField /r Unit
8780, 85, 86mpbir2and 934 . . . . . . . . . . . . . . 15 oField /r Unit
8877, 79, 87, 62syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . 14 oField /r /r
89 simplr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 oField /r
9075, 89, 31syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15 oField /r .g
9177, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 oField /r
9289, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 oField /r
9377, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 oField /r
944, 7mulgcl 16787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 .g
9591, 92, 93, 94syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . 15 oField /r .g
9690, 95eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . . . 14 oField /r
9775, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 oField /r
98 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14 oField /r /r
994, 74, 5, 76, 88, 96, 80, 6, 97, 98, 81orngrmullt 28583 . . . . . . . . . . . . 13 oField /r /r
1004, 57, 61, 74dvrcan1 17931 . . . . . . . . . . . . . 14 Unit /r
10177, 79, 87, 100syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . 13 oField /r /r
10290oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . 14 oField /r .g
1034, 7, 74mulgass2 17841 . . . . . . . . . . . . . . 15 .g .g
10477, 92, 93, 80, 103syl13anc 1271 . . . . . . . . . . . . . 14 oField /r .g .g
1054, 74, 11ringlidm 17816 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10677, 80, 105syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15 oField /r
107106oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14 oField /r .g .g
108102, 104, 1073eqtrd 2491 . . . . . . . . . . . . 13 oField /r .g
10999, 101, 1083brtr3d 4435 . . . . . . . . . . . 12 oField /r .g
110109ex 436 . . . . . . . . . . 11 oField /r .g
111110reximdva 2864 . . . . . . . . . 10 oField /r .g
112111adantllr 726 . . . . . . . . 9 oField /r .g
11373, 112mpd 15 . . . . . . . 8 oField .g
114113ex 436 . . . . . . 7 oField .g
115114expr 620 . . . . . 6 oField .g
11640, 115ralrimi 2790 . . . . 5 oField .g
117116ralrimiva 2804 . . . 4 oField .g
118117ex 436 . . 3 oField .g
11935, 118impbid 194 . 2 oField .g
1209, 119bitrd 257 1 oField Archi
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1446   wcel 1889   wne 2624  wral 2739  wrex 2740   class class class wbr 4405  cfv 5585  (class class class)co 6295  cn 10616  cz 10944  cbs 15133  cmulr 15203  c0g 15350  cplt 16198  cgrp 16681  .gcmg 16684  cur 17747  crg 17792  ccrg 17793  Unitcui 17879  /rcdvr 17922  cdr 17987  Fieldcfield 17988  RHomczrh 19083  oGrpcogrp 28473  Archicarchi 28506  oRingcorng 28570  oFieldcofld 28571 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-addf 9623  ax-mulf 9624 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-seq 12221  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-0g 15352  df-preset 16185  df-poset 16203  df-plt 16216  df-toset 16292  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-mhm 16594  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-mulg 16688  df-subg 16826  df-ghm 16893  df-cmn 17444  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-dvr 17923  df-rnghom 17955  df-drng 17989  df-field 17990  df-subrg 18018  df-cnfld 18983  df-zring 19052  df-zrh 19087  df-omnd 28474  df-ogrp 28475  df-inftm 28507  df-archi 28508  df-orng 28572  df-ofld 28573 This theorem is referenced by:  rearchi  28617
 Copyright terms: Public domain W3C validator