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Theorem isarchiofld 27458
Description: Axiom of Archimedes : a characterization of the Archimedean property for ordered fields. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchiofld.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
isarchiofld.h  |-  H  =  ( ZRHom `  W
)
isarchiofld.l  |-  .<  =  ( lt `  W )
Assertion
Ref Expression
isarchiofld  |-  ( W  e. oField  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) ) )
Distinct variable groups:    x, n, B    n, W, x    x, H    .< , n, x
Allowed substitution hint:    H( n)

Proof of Theorem isarchiofld
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isofld 27443 . . . 4  |-  ( W  e. oField 
<->  ( W  e. Field  /\  W  e. oRing ) )
21simprbi 464 . . 3  |-  ( W  e. oField  ->  W  e. oRing )
3 orngogrp 27442 . . 3  |-  ( W  e. oRing  ->  W  e. oGrp )
4 isarchiofld.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
5 eqid 2462 . . . 4  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
6 isarchiofld.l . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  W )
7 eqid 2462 . . . 4  |-  (.g `  W
)  =  (.g `  W
)
84, 5, 6, 7isarchi3 27381 . . 3  |-  ( W  e. oGrp  ->  ( W  e. Archi  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  B  (
( 0g `  W
)  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) ) )
92, 3, 83syl 20 . 2  |-  ( W  e. oField  ->  ( W  e. Archi  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  B  (
( 0g `  W
)  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) ) )
10 orngrng 27441 . . . . . . 7  |-  ( W  e. oRing  ->  W  e.  Ring )
11 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  W )  =  ( 1r `  W
)
124, 11rngidcl 17001 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  Ring  ->  ( 1r
`  W )  e.  B )
132, 10, 123syl 20 . . . . . 6  |-  ( W  e. oField  ->  ( 1r `  W )  e.  B
)
14 breq2 4446 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  (
( 0g `  W
)  .<  y  <->  ( 0g `  W )  .<  ( 1r `  W ) ) )
15 oveq2 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  (
n (.g `  W ) y )  =  ( n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) )
1615breq2d 4454 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  (
x  .<  ( n (.g `  W ) y )  <-> 
x  .<  ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) ) )
1716rexbidv 2968 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  ( E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y )  <->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) ) )
1814, 17imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  (
( ( 0g `  W )  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) )  <->  ( ( 0g
`  W )  .< 
( 1r `  W
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) ) )
1918ralbidv 2898 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  ( A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) )  <->  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .<  ( 1r `  W )  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) ) ) )
2019rspcv 3205 . . . . . 6  |-  ( ( 1r `  W )  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) )  ->  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
( 1r `  W
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) ) )
2113, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) )  ->  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
( 1r `  W
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) ) )
225, 11, 6ofldlt1 27454 . . . . . . 7  |-  ( W  e. oField  ->  ( 0g `  W )  .<  ( 1r `  W ) )
23 pm5.5 336 . . . . . . 7  |-  ( ( 0g `  W ) 
.<  ( 1r `  W
)  ->  ( (
( 0g `  W
)  .<  ( 1r `  W )  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) )  <->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( W  e. oField  ->  ( ( ( 0g `  W ) 
.<  ( 1r `  W
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) )  <->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
2524ralbidv 2898 . . . . 5  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
( 1r `  W
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) )  <->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
2621, 25sylibd 214 . . . 4  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) )  ->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
272, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. oField  ->  W  e.  Ring )
28 nnz 10877 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
29 isarchiofld.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( ZRHom `  W
)
3029, 7, 11zrhmulg 18309 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( H `  n )  =  ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) )
3127, 28, 30syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. oField  /\  n  e.  NN )  ->  ( H `  n )  =  ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) )
3231breq2d 4454 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. oField  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  .<  ( H `  n )  <->  x  .<  ( n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
3332rexbidva 2965 . . . . 5  |-  ( W  e. oField  ->  ( E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )  <->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W
) ( 1r `  W ) ) ) )
3433ralbidv 2898 . . . 4  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )  <->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W
) ( 1r `  W ) ) ) )
3526, 34sylibrd 234 . . 3  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) )  ->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
) )
36 nfv 1678 . . . . . . . 8  |-  F/ x  W  e. oField
37 nfra1 2840 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
3836, 37nfan 1870 . . . . . . 7  |-  F/ x
( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) )
39 nfv 1678 . . . . . . 7  |-  F/ x  y  e.  B
4038, 39nfan 1870 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  y  e.  B )
4127ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  W  e.  Ring )
42 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  x  e.  B )
43 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  y  e.  B )
44 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  ( 0g `  W )  .< 
y )
45 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  W  e. oField )
46 rnggrp 16986 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  Ring  ->  W  e. 
Grp )
474, 5grpidcl 15874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  Grp  ->  ( 0g `  W )  e.  B )
4841, 46, 473syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  ( 0g `  W )  e.  B )
496pltne 15440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e. oField  /\  ( 0g `  W )  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( 0g `  W
)  .<  y  ->  ( 0g `  W )  =/=  y ) )
5045, 48, 43, 49syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  (
( 0g `  W
)  .<  y  ->  ( 0g `  W )  =/=  y ) )
5144, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  ( 0g `  W )  =/=  y )
5251necomd 2733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  y  =/=  ( 0g `  W
) )
531simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. oField  ->  W  e. Field )
54 isfld 17183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e. Field 
<->  ( W  e.  DivRing  /\  W  e.  CRing ) )
5554simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. Field  ->  W  e.  DivRing )
5653, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. oField  ->  W  e.  DivRing )
57 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Unit `  W )  =  (Unit `  W )
584, 57, 5drngunit 17179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  DivRing  ->  ( y  e.  (Unit `  W )  <->  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  W ) ) ) )
5945, 56, 583syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  (
y  e.  (Unit `  W )  <->  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) ) ) )
6043, 52, 59mpbir2and 915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  y  e.  (Unit `  W )
)
61 eqid 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/r `  W
)  =  (/r `  W
)
624, 57, 61dvrcl 17114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  (Unit `  W )
)  ->  ( x
(/r `  W ) y )  e.  B )
6341, 42, 60, 62syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  (
x (/r `  W ) y )  e.  B )
64 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
)  ->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
)
65 breq1 4445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
x  .<  ( H `  n )  <->  z  .<  ( H `  n ) ) )
6665rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  ( E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )  <->  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )
) )
6766cbvralv 3083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
)  <->  A. z  e.  B  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n ) )
6864, 67sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
)  ->  A. z  e.  B  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )
)
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  A. z  e.  B  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )
)
70 breq1 4445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( x (/r `  W ) y )  ->  ( z  .< 
( H `  n
)  <->  ( x (/r `  W ) y ) 
.<  ( H `  n
) ) )
7170rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x (/r `  W ) y )  ->  ( E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )  <->  E. n  e.  NN  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) ) )
7271rspcv 3205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x (/r `  W ) y )  e.  B  -> 
( A. z  e.  B  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )  ->  E. n  e.  NN  ( x (/r `  W
) y )  .< 
( H `  n
) ) )
7372imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (/r `  W
) y )  e.  B  /\  A. z  e.  B  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )
)  ->  E. n  e.  NN  ( x (/r `  W ) y ) 
.<  ( H `  n
) )
7463, 69, 73syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  E. n  e.  NN  ( x (/r `  W ) y ) 
.<  ( H `  n
) )
75 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r
`  W )  =  ( .r `  W
)
76 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  W  e. oField )
7776, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  W  e. oRing )
7876, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  W  e.  Ring )
79 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )
8079simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  x  e.  B )
8179simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
y  e.  B )
82 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( 0g `  W
)  .<  y )
8378, 46, 473syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( 0g `  W
)  e.  B )
8476, 83, 81, 49syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( 0g `  W )  .<  y  ->  ( 0g `  W
)  =/=  y ) )
8582, 84mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( 0g `  W
)  =/=  y )
8685necomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
y  =/=  ( 0g
`  W ) )
8776, 56, 583syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( y  e.  (Unit `  W )  <->  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) ) ) )
8881, 86, 87mpbir2and 915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
y  e.  (Unit `  W ) )
8978, 80, 88, 62syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( x (/r `  W
) y )  e.  B )
90 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  n  e.  NN )
9176, 90, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( H `  n
)  =  ( n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) )
9278, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  W  e.  Grp )
9390, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  n  e.  ZZ )
9478, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( 1r `  W
)  e.  B )
954, 7mulgcl 15954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  ( 1r `  W )  e.  B )  ->  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) )  e.  B )
9692, 93, 94, 95syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( n (.g `  W
) ( 1r `  W ) )  e.  B )
9791, 96eqeltrd 2550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( H `  n
)  e.  B )
9876, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  W  e.  DivRing )
99 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( x (/r `  W
) y )  .< 
( H `  n
) )
1004, 75, 5, 77, 89, 97, 81, 6, 98, 99, 82orngrmullt 27449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( x (/r `  W ) y ) ( .r `  W
) y )  .< 
( ( H `  n ) ( .r
`  W ) y ) )
1014, 57, 61, 75dvrcan1 17119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  (Unit `  W )
)  ->  ( (
x (/r `  W ) y ) ( .r `  W ) y )  =  x )
10278, 80, 88, 101syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( x (/r `  W ) y ) ( .r `  W
) y )  =  x )
10391oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( H `  n ) ( .r
`  W ) y )  =  ( ( n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ( .r `  W ) y ) )
1044, 7, 75mulgass2 17028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  (
n  e.  ZZ  /\  ( 1r `  W )  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) ( .r `  W
) y )  =  ( n (.g `  W
) ( ( 1r
`  W ) ( .r `  W ) y ) ) )
10578, 93, 94, 81, 104syl13anc 1225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) ( .r `  W
) y )  =  ( n (.g `  W
) ( ( 1r
`  W ) ( .r `  W ) y ) ) )
1064, 75, 11rnglidm 17004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  y  e.  B )  ->  (
( 1r `  W
) ( .r `  W ) y )  =  y )
10778, 81, 106syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( 1r `  W ) ( .r
`  W ) y )  =  y )
108107oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( n (.g `  W
) ( ( 1r
`  W ) ( .r `  W ) y ) )  =  ( n (.g `  W
) y ) )
109103, 105, 1083eqtrd 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( H `  n ) ( .r
`  W ) y )  =  ( n (.g `  W ) y ) )
110100, 102, 1093brtr3d 4471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) )
111110ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( x (/r `  W
) y )  .< 
( H `  n
)  ->  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) ) )
112111reximdva 2933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. oField  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  /\  ( 0g `  W )  .<  y
)  ->  ( E. n  e.  NN  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n )  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) )
113112adantllr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  ( E. n  e.  NN  ( x (/r `  W
) y )  .< 
( H `  n
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) )
11474, 113mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) )
115114ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) )
116115expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) )  /\  y  e.  B )  ->  (
x  e.  B  -> 
( ( 0g `  W )  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) ) ) )
11740, 116ralrimi 2859 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) )  /\  y  e.  B )  ->  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) )
118117ralrimiva 2873 . . . 4  |-  ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
)  ->  A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) )
119118ex 434 . . 3  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )  ->  A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) ) ) )
12035, 119impbid 191 . 2  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) )  <->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
) )
1219, 120bitrd 253 1  |-  ( W  e. oField  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   A.wral 2809   E.wrex 2810   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   NNcn 10527   ZZcz 10855   Basecbs 14481   .rcmulr 14547   0gc0g 14686   ltcplt 15419   Grpcgrp 15718  .gcmg 15722   1rcur 16938   Ringcrg 16981   CRingccrg 16982  Unitcui 17067  /rcdvr 17110   DivRingcdr 17174  Fieldcfield 17175   ZRHomczrh 18299  oGrpcogrp 27338  Archicarchi 27371  oRingcorng 27436  oFieldcofld 27437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-fz 11664  df-seq 12066  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-0g 14688  df-poset 15424  df-plt 15436  df-toset 15512  df-mnd 15723  df-mhm 15772  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-mulg 15856  df-subg 15988  df-ghm 16055  df-cmn 16591  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-cring 16984  df-oppr 17051  df-dvdsr 17069  df-unit 17070  df-invr 17100  df-dvr 17111  df-rnghom 17143  df-drng 17176  df-field 17177  df-subrg 17205  df-cnfld 18187  df-zring 18252  df-zrh 18303  df-omnd 27339  df-ogrp 27340  df-inftm 27372  df-archi 27373  df-orng 27438  df-ofld 27439
This theorem is referenced by:  rearchi  27483
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