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Theorem isarchiofld 27961
Description: Axiom of Archimedes : a characterization of the Archimedean property for ordered fields. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchiofld.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
isarchiofld.h  |-  H  =  ( ZRHom `  W
)
isarchiofld.l  |-  .<  =  ( lt `  W )
Assertion
Ref Expression
isarchiofld  |-  ( W  e. oField  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) ) )
Distinct variable groups:    x, n, B    n, W, x    x, H    .< , n, x
Allowed substitution hint:    H( n)

Proof of Theorem isarchiofld
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isofld 27946 . . . 4  |-  ( W  e. oField 
<->  ( W  e. Field  /\  W  e. oRing ) )
21simprbi 462 . . 3  |-  ( W  e. oField  ->  W  e. oRing )
3 orngogrp 27945 . . 3  |-  ( W  e. oRing  ->  W  e. oGrp )
4 isarchiofld.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
5 eqid 2382 . . . 4  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
6 isarchiofld.l . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  W )
7 eqid 2382 . . . 4  |-  (.g `  W
)  =  (.g `  W
)
84, 5, 6, 7isarchi3 27884 . . 3  |-  ( W  e. oGrp  ->  ( W  e. Archi  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  B  (
( 0g `  W
)  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) ) )
92, 3, 83syl 20 . 2  |-  ( W  e. oField  ->  ( W  e. Archi  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  B  (
( 0g `  W
)  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) ) )
10 orngring 27944 . . . . . . 7  |-  ( W  e. oRing  ->  W  e.  Ring )
11 eqid 2382 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  W )  =  ( 1r `  W
)
124, 11ringidcl 17332 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  Ring  ->  ( 1r
`  W )  e.  B )
132, 10, 123syl 20 . . . . . 6  |-  ( W  e. oField  ->  ( 1r `  W )  e.  B
)
14 breq2 4371 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  (
( 0g `  W
)  .<  y  <->  ( 0g `  W )  .<  ( 1r `  W ) ) )
15 oveq2 6204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  (
n (.g `  W ) y )  =  ( n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) )
1615breq2d 4379 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  (
x  .<  ( n (.g `  W ) y )  <-> 
x  .<  ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) ) )
1716rexbidv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  ( E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y )  <->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) ) )
1814, 17imbi12d 318 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  (
( ( 0g `  W )  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) )  <->  ( ( 0g
`  W )  .< 
( 1r `  W
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) ) )
1918ralbidv 2821 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  ( A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) )  <->  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .<  ( 1r `  W )  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) ) ) )
2019rspcv 3131 . . . . . 6  |-  ( ( 1r `  W )  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) )  ->  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
( 1r `  W
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) ) )
2113, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) )  ->  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
( 1r `  W
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) ) )
225, 11, 6ofldlt1 27957 . . . . . . 7  |-  ( W  e. oField  ->  ( 0g `  W )  .<  ( 1r `  W ) )
23 pm5.5 334 . . . . . . 7  |-  ( ( 0g `  W ) 
.<  ( 1r `  W
)  ->  ( (
( 0g `  W
)  .<  ( 1r `  W )  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) )  <->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( W  e. oField  ->  ( ( ( 0g `  W ) 
.<  ( 1r `  W
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) )  <->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
2524ralbidv 2821 . . . . 5  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
( 1r `  W
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) )  <->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
2621, 25sylibd 214 . . . 4  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) )  ->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
272, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. oField  ->  W  e.  Ring )
28 nnz 10803 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
29 isarchiofld.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( ZRHom `  W
)
3029, 7, 11zrhmulg 18640 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( H `  n )  =  ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) )
3127, 28, 30syl2an 475 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. oField  /\  n  e.  NN )  ->  ( H `  n )  =  ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) )
3231breq2d 4379 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. oField  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  .<  ( H `  n )  <->  x  .<  ( n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
3332rexbidva 2890 . . . . 5  |-  ( W  e. oField  ->  ( E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )  <->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W
) ( 1r `  W ) ) ) )
3433ralbidv 2821 . . . 4  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )  <->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W
) ( 1r `  W ) ) ) )
3526, 34sylibrd 234 . . 3  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) )  ->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
) )
36 nfv 1715 . . . . . . . 8  |-  F/ x  W  e. oField
37 nfra1 2763 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
3836, 37nfan 1936 . . . . . . 7  |-  F/ x
( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) )
39 nfv 1715 . . . . . . 7  |-  F/ x  y  e.  B
4038, 39nfan 1936 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  y  e.  B )
4127ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  W  e.  Ring )
42 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  x  e.  B )
43 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  y  e.  B )
44 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  ( 0g `  W )  .< 
y )
45 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  W  e. oField )
46 ringgrp 17316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  Ring  ->  W  e. 
Grp )
474, 5grpidcl 16195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  Grp  ->  ( 0g `  W )  e.  B )
4841, 46, 473syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  ( 0g `  W )  e.  B )
496pltne 15709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e. oField  /\  ( 0g `  W )  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( 0g `  W
)  .<  y  ->  ( 0g `  W )  =/=  y ) )
5045, 48, 43, 49syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  (
( 0g `  W
)  .<  y  ->  ( 0g `  W )  =/=  y ) )
5144, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  ( 0g `  W )  =/=  y )
5251necomd 2653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  y  =/=  ( 0g `  W
) )
531simplbi 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. oField  ->  W  e. Field )
54 isfld 17518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e. Field 
<->  ( W  e.  DivRing  /\  W  e.  CRing ) )
5554simplbi 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. Field  ->  W  e.  DivRing )
5653, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. oField  ->  W  e.  DivRing )
57 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Unit `  W )  =  (Unit `  W )
584, 57, 5drngunit 17514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  DivRing  ->  ( y  e.  (Unit `  W )  <->  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  W ) ) ) )
5945, 56, 583syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  (
y  e.  (Unit `  W )  <->  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) ) ) )
6043, 52, 59mpbir2and 920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  y  e.  (Unit `  W )
)
61 eqid 2382 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/r `  W
)  =  (/r `  W
)
624, 57, 61dvrcl 17448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  (Unit `  W )
)  ->  ( x
(/r `  W ) y )  e.  B )
6341, 42, 60, 62syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  (
x (/r `  W ) y )  e.  B )
64 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
)  ->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
)
65 breq1 4370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
x  .<  ( H `  n )  <->  z  .<  ( H `  n ) ) )
6665rexbidv 2893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  ( E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )  <->  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )
) )
6766cbvralv 3009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
)  <->  A. z  e.  B  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n ) )
6864, 67sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
)  ->  A. z  e.  B  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )
)
6968ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  A. z  e.  B  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )
)
70 breq1 4370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x (/r `  W ) y )  ->  ( z  .< 
( H `  n
)  <->  ( x (/r `  W ) y ) 
.<  ( H `  n
) ) )
7170rexbidv 2893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( x (/r `  W ) y )  ->  ( E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )  <->  E. n  e.  NN  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) ) )
7271rspcv 3131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x (/r `  W ) y )  e.  B  -> 
( A. z  e.  B  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )  ->  E. n  e.  NN  ( x (/r `  W
) y )  .< 
( H `  n
) ) )
7363, 69, 72sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  E. n  e.  NN  ( x (/r `  W ) y ) 
.<  ( H `  n
) )
74 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r
`  W )  =  ( .r `  W
)
75 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  W  e. oField )
7675, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  W  e. oRing )
7775, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  W  e.  Ring )
78 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )
7978simprd 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  x  e.  B )
8078simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
y  e.  B )
81 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( 0g `  W
)  .<  y )
8277, 46, 473syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( 0g `  W
)  e.  B )
8375, 82, 80, 49syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( 0g `  W )  .<  y  ->  ( 0g `  W
)  =/=  y ) )
8481, 83mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( 0g `  W
)  =/=  y )
8584necomd 2653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
y  =/=  ( 0g
`  W ) )
8675, 56, 583syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( y  e.  (Unit `  W )  <->  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) ) ) )
8780, 85, 86mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
y  e.  (Unit `  W ) )
8877, 79, 87, 62syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( x (/r `  W
) y )  e.  B )
89 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  n  e.  NN )
9075, 89, 31syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( H `  n
)  =  ( n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) )
9177, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  W  e.  Grp )
9289, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  n  e.  ZZ )
9377, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( 1r `  W
)  e.  B )
944, 7mulgcl 16276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  ( 1r `  W )  e.  B )  ->  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) )  e.  B )
9591, 92, 93, 94syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( n (.g `  W
) ( 1r `  W ) )  e.  B )
9690, 95eqeltrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( H `  n
)  e.  B )
9775, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  W  e.  DivRing )
98 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( x (/r `  W
) y )  .< 
( H `  n
) )
994, 74, 5, 76, 88, 96, 80, 6, 97, 98, 81orngrmullt 27952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( x (/r `  W ) y ) ( .r `  W
) y )  .< 
( ( H `  n ) ( .r
`  W ) y ) )
1004, 57, 61, 74dvrcan1 17453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  (Unit `  W )
)  ->  ( (
x (/r `  W ) y ) ( .r `  W ) y )  =  x )
10177, 79, 87, 100syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( x (/r `  W ) y ) ( .r `  W
) y )  =  x )
10290oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( H `  n ) ( .r
`  W ) y )  =  ( ( n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ( .r `  W ) y ) )
1034, 7, 74mulgass2 17360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  (
n  e.  ZZ  /\  ( 1r `  W )  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) ( .r `  W
) y )  =  ( n (.g `  W
) ( ( 1r
`  W ) ( .r `  W ) y ) ) )
10477, 92, 93, 80, 103syl13anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) ( .r `  W
) y )  =  ( n (.g `  W
) ( ( 1r
`  W ) ( .r `  W ) y ) ) )
1054, 74, 11ringlidm 17335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  y  e.  B )  ->  (
( 1r `  W
) ( .r `  W ) y )  =  y )
10677, 80, 105syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( 1r `  W ) ( .r
`  W ) y )  =  y )
107106oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( n (.g `  W
) ( ( 1r
`  W ) ( .r `  W ) y ) )  =  ( n (.g `  W
) y ) )
108102, 104, 1073eqtrd 2427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( H `  n ) ( .r
`  W ) y )  =  ( n (.g `  W ) y ) )
10999, 101, 1083brtr3d 4396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) )
110109ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( x (/r `  W
) y )  .< 
( H `  n
)  ->  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) ) )
111110reximdva 2857 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. oField  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  /\  ( 0g `  W )  .<  y
)  ->  ( E. n  e.  NN  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n )  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) )
112111adantllr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  ( E. n  e.  NN  ( x (/r `  W
) y )  .< 
( H `  n
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) )
11373, 112mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) )
114113ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) )
115114expr 613 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) )  /\  y  e.  B )  ->  (
x  e.  B  -> 
( ( 0g `  W )  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) ) ) )
11640, 115ralrimi 2782 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) )  /\  y  e.  B )  ->  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) )
117116ralrimiva 2796 . . . 4  |-  ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
)  ->  A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) )
118117ex 432 . . 3  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )  ->  A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) ) ) )
11935, 118impbid 191 . 2  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) )  <->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
) )
1209, 119bitrd 253 1  |-  ( W  e. oField  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   NNcn 10452   ZZcz 10781   Basecbs 14634   .rcmulr 14703   0gc0g 14847   ltcplt 15687   Grpcgrp 16170  .gcmg 16173   1rcur 17266   Ringcrg 17311   CRingccrg 17312  Unitcui 17401  /rcdvr 17444   DivRingcdr 17509  Fieldcfield 17510   ZRHomczrh 18630  oGrpcogrp 27841  Archicarchi 27874  oRingcorng 27939  oFieldcofld 27940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-fz 11594  df-seq 12011  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-0g 14849  df-preset 15674  df-poset 15692  df-plt 15705  df-toset 15781  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-ghm 16382  df-cmn 16917  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-cring 17314  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-invr 17434  df-dvr 17445  df-rnghom 17477  df-drng 17511  df-field 17512  df-subrg 17540  df-cnfld 18534  df-zring 18602  df-zrh 18634  df-omnd 27842  df-ogrp 27843  df-inftm 27875  df-archi 27876  df-orng 27941  df-ofld 27942
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