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Theorem isarchiofld 28592
Description: Axiom of Archimedes : a characterization of the Archimedean property for ordered fields. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchiofld.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
isarchiofld.h  |-  H  =  ( ZRHom `  W
)
isarchiofld.l  |-  .<  =  ( lt `  W )
Assertion
Ref Expression
isarchiofld  |-  ( W  e. oField  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) ) )
Distinct variable groups:    x, n, B    n, W, x    x, H    .< , n, x
Allowed substitution hint:    H( n)

Proof of Theorem isarchiofld
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isofld 28577 . . . 4  |-  ( W  e. oField 
<->  ( W  e. Field  /\  W  e. oRing ) )
21simprbi 466 . . 3  |-  ( W  e. oField  ->  W  e. oRing )
3 orngogrp 28576 . . 3  |-  ( W  e. oRing  ->  W  e. oGrp )
4 isarchiofld.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
5 eqid 2453 . . . 4  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
6 isarchiofld.l . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  W )
7 eqid 2453 . . . 4  |-  (.g `  W
)  =  (.g `  W
)
84, 5, 6, 7isarchi3 28516 . . 3  |-  ( W  e. oGrp  ->  ( W  e. Archi  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  B  (
( 0g `  W
)  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) ) )
92, 3, 83syl 18 . 2  |-  ( W  e. oField  ->  ( W  e. Archi  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  B  (
( 0g `  W
)  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) ) )
10 orngring 28575 . . . . . . 7  |-  ( W  e. oRing  ->  W  e.  Ring )
11 eqid 2453 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  W )  =  ( 1r `  W
)
124, 11ringidcl 17813 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  Ring  ->  ( 1r
`  W )  e.  B )
132, 10, 123syl 18 . . . . . 6  |-  ( W  e. oField  ->  ( 1r `  W )  e.  B
)
14 breq2 4409 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  (
( 0g `  W
)  .<  y  <->  ( 0g `  W )  .<  ( 1r `  W ) ) )
15 oveq2 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  (
n (.g `  W ) y )  =  ( n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) )
1615breq2d 4417 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  (
x  .<  ( n (.g `  W ) y )  <-> 
x  .<  ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) ) )
1716rexbidv 2903 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  ( E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y )  <->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) ) )
1814, 17imbi12d 322 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  (
( ( 0g `  W )  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) )  <->  ( ( 0g
`  W )  .< 
( 1r `  W
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) ) )
1918ralbidv 2829 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  ( A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) )  <->  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .<  ( 1r `  W )  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) ) ) )
2019rspcv 3148 . . . . . 6  |-  ( ( 1r `  W )  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) )  ->  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
( 1r `  W
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) ) )
2113, 20syl 17 . . . . 5  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) )  ->  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
( 1r `  W
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) ) )
225, 11, 6ofldlt1 28588 . . . . . . 7  |-  ( W  e. oField  ->  ( 0g `  W )  .<  ( 1r `  W ) )
23 pm5.5 338 . . . . . . 7  |-  ( ( 0g `  W ) 
.<  ( 1r `  W
)  ->  ( (
( 0g `  W
)  .<  ( 1r `  W )  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) )  <->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
2422, 23syl 17 . . . . . 6  |-  ( W  e. oField  ->  ( ( ( 0g `  W ) 
.<  ( 1r `  W
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) )  <->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
2524ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
( 1r `  W
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) )  <->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
2621, 25sylibd 218 . . . 4  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) )  ->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
272, 10syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. oField  ->  W  e.  Ring )
28 nnz 10966 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
29 isarchiofld.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( ZRHom `  W
)
3029, 7, 11zrhmulg 19093 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( H `  n )  =  ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) )
3127, 28, 30syl2an 480 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. oField  /\  n  e.  NN )  ->  ( H `  n )  =  ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) )
3231breq2d 4417 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. oField  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  .<  ( H `  n )  <->  x  .<  ( n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
3332rexbidva 2900 . . . . 5  |-  ( W  e. oField  ->  ( E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )  <->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W
) ( 1r `  W ) ) ) )
3433ralbidv 2829 . . . 4  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )  <->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W
) ( 1r `  W ) ) ) )
3526, 34sylibrd 238 . . 3  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) )  ->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
) )
36 nfv 1763 . . . . . . . 8  |-  F/ x  W  e. oField
37 nfra1 2771 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
3836, 37nfan 2013 . . . . . . 7  |-  F/ x
( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) )
39 nfv 1763 . . . . . . 7  |-  F/ x  y  e.  B
4038, 39nfan 2013 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  y  e.  B )
4127ad3antrrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  W  e.  Ring )
42 simplrr 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  x  e.  B )
43 simplrl 771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  y  e.  B )
44 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  ( 0g `  W )  .< 
y )
45 simplll 769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  W  e. oField )
46 ringgrp 17797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  Ring  ->  W  e. 
Grp )
474, 5grpidcl 16706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  Grp  ->  ( 0g `  W )  e.  B )
4841, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  ( 0g `  W )  e.  B )
496pltne 16220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e. oField  /\  ( 0g `  W )  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( 0g `  W
)  .<  y  ->  ( 0g `  W )  =/=  y ) )
5045, 48, 43, 49syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  (
( 0g `  W
)  .<  y  ->  ( 0g `  W )  =/=  y ) )
5144, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  ( 0g `  W )  =/=  y )
5251necomd 2681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  y  =/=  ( 0g `  W
) )
531simplbi 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. oField  ->  W  e. Field )
54 isfld 17996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e. Field 
<->  ( W  e.  DivRing  /\  W  e.  CRing ) )
5554simplbi 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. Field  ->  W  e.  DivRing )
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. oField  ->  W  e.  DivRing )
57 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Unit `  W )  =  (Unit `  W )
584, 57, 5drngunit 17992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  DivRing  ->  ( y  e.  (Unit `  W )  <->  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  W ) ) ) )
5945, 56, 583syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  (
y  e.  (Unit `  W )  <->  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) ) ) )
6043, 52, 59mpbir2and 934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  y  e.  (Unit `  W )
)
61 eqid 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/r `  W
)  =  (/r `  W
)
624, 57, 61dvrcl 17926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  (Unit `  W )
)  ->  ( x
(/r `  W ) y )  e.  B )
6341, 42, 60, 62syl3anc 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  (
x (/r `  W ) y )  e.  B )
64 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
)  ->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
)
65 breq1 4408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
x  .<  ( H `  n )  <->  z  .<  ( H `  n ) ) )
6665rexbidv 2903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  ( E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )  <->  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )
) )
6766cbvralv 3021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
)  <->  A. z  e.  B  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n ) )
6864, 67sylib 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
)  ->  A. z  e.  B  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )
)
6968ad2antrr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  A. z  e.  B  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )
)
70 breq1 4408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x (/r `  W ) y )  ->  ( z  .< 
( H `  n
)  <->  ( x (/r `  W ) y ) 
.<  ( H `  n
) ) )
7170rexbidv 2903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( x (/r `  W ) y )  ->  ( E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )  <->  E. n  e.  NN  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) ) )
7271rspcv 3148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x (/r `  W ) y )  e.  B  -> 
( A. z  e.  B  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )  ->  E. n  e.  NN  ( x (/r `  W
) y )  .< 
( H `  n
) ) )
7363, 69, 72sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  E. n  e.  NN  ( x (/r `  W ) y ) 
.<  ( H `  n
) )
74 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r
`  W )  =  ( .r `  W
)
75 simp-4l 777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  W  e. oField )
7675, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  W  e. oRing )
7775, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  W  e.  Ring )
78 simp-4r 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )
7978simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  x  e.  B )
8078simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
y  e.  B )
81 simpllr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( 0g `  W
)  .<  y )
8277, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( 0g `  W
)  e.  B )
8375, 82, 80, 49syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( 0g `  W )  .<  y  ->  ( 0g `  W
)  =/=  y ) )
8481, 83mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( 0g `  W
)  =/=  y )
8584necomd 2681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
y  =/=  ( 0g
`  W ) )
8675, 56, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( y  e.  (Unit `  W )  <->  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) ) ) )
8780, 85, 86mpbir2and 934 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
y  e.  (Unit `  W ) )
8877, 79, 87, 62syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( x (/r `  W
) y )  e.  B )
89 simplr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  n  e.  NN )
9075, 89, 31syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( H `  n
)  =  ( n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) )
9177, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  W  e.  Grp )
9289, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  n  e.  ZZ )
9377, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( 1r `  W
)  e.  B )
944, 7mulgcl 16787 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  ( 1r `  W )  e.  B )  ->  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) )  e.  B )
9591, 92, 93, 94syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( n (.g `  W
) ( 1r `  W ) )  e.  B )
9690, 95eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( H `  n
)  e.  B )
9775, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  W  e.  DivRing )
98 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( x (/r `  W
) y )  .< 
( H `  n
) )
994, 74, 5, 76, 88, 96, 80, 6, 97, 98, 81orngrmullt 28583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( x (/r `  W ) y ) ( .r `  W
) y )  .< 
( ( H `  n ) ( .r
`  W ) y ) )
1004, 57, 61, 74dvrcan1 17931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  (Unit `  W )
)  ->  ( (
x (/r `  W ) y ) ( .r `  W ) y )  =  x )
10177, 79, 87, 100syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( x (/r `  W ) y ) ( .r `  W
) y )  =  x )
10290oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( H `  n ) ( .r
`  W ) y )  =  ( ( n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ( .r `  W ) y ) )
1034, 7, 74mulgass2 17841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  (
n  e.  ZZ  /\  ( 1r `  W )  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) ( .r `  W
) y )  =  ( n (.g `  W
) ( ( 1r
`  W ) ( .r `  W ) y ) ) )
10477, 92, 93, 80, 103syl13anc 1271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) ( .r `  W
) y )  =  ( n (.g `  W
) ( ( 1r
`  W ) ( .r `  W ) y ) ) )
1054, 74, 11ringlidm 17816 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  y  e.  B )  ->  (
( 1r `  W
) ( .r `  W ) y )  =  y )
10677, 80, 105syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( 1r `  W ) ( .r
`  W ) y )  =  y )
107106oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( n (.g `  W
) ( ( 1r
`  W ) ( .r `  W ) y ) )  =  ( n (.g `  W
) y ) )
108102, 104, 1073eqtrd 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( H `  n ) ( .r
`  W ) y )  =  ( n (.g `  W ) y ) )
10999, 101, 1083brtr3d 4435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) )
110109ex 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( x (/r `  W
) y )  .< 
( H `  n
)  ->  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) ) )
111110reximdva 2864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. oField  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  /\  ( 0g `  W )  .<  y
)  ->  ( E. n  e.  NN  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n )  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) )
112111adantllr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  ( E. n  e.  NN  ( x (/r `  W
) y )  .< 
( H `  n
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) )
11373, 112mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) )
114113ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) )
115114expr 620 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) )  /\  y  e.  B )  ->  (
x  e.  B  -> 
( ( 0g `  W )  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) ) ) )
11640, 115ralrimi 2790 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) )  /\  y  e.  B )  ->  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) )
117116ralrimiva 2804 . . . 4  |-  ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
)  ->  A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) )
118117ex 436 . . 3  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )  ->  A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) ) ) )
11935, 118impbid 194 . 2  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) )  <->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
) )
1209, 119bitrd 257 1  |-  ( W  e. oField  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   NNcn 10616   ZZcz 10944   Basecbs 15133   .rcmulr 15203   0gc0g 15350   ltcplt 16198   Grpcgrp 16681  .gcmg 16684   1rcur 17747   Ringcrg 17792   CRingccrg 17793  Unitcui 17879  /rcdvr 17922   DivRingcdr 17987  Fieldcfield 17988   ZRHomczrh 19083  oGrpcogrp 28473  Archicarchi 28506  oRingcorng 28570  oFieldcofld 28571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-seq 12221  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-0g 15352  df-preset 16185  df-poset 16203  df-plt 16216  df-toset 16292  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-mhm 16594  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-mulg 16688  df-subg 16826  df-ghm 16893  df-cmn 17444  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-dvr 17923  df-rnghom 17955  df-drng 17989  df-field 17990  df-subrg 18018  df-cnfld 18983  df-zring 19052  df-zrh 19087  df-omnd 28474  df-ogrp 28475  df-inftm 28507  df-archi 28508  df-orng 28572  df-ofld 28573
This theorem is referenced by:  rearchi  28617
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