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Theorem isarchiofld 26284
Description: Axiom of Archimedes : a characterization of the Archimedean property for ordered fields. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchiofld.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
isarchiofld.h  |-  H  =  ( ZRHom `  W
)
isarchiofld.l  |-  .<  =  ( lt `  W )
Assertion
Ref Expression
isarchiofld  |-  ( W  e. oField  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) ) )
Distinct variable groups:    x, n, B    n, W, x    x, H    .< , n, x
Allowed substitution hint:    H( n)

Proof of Theorem isarchiofld
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isofld 26269 . . . 4  |-  ( W  e. oField 
<->  ( W  e. Field  /\  W  e. oRing ) )
21simprbi 464 . . 3  |-  ( W  e. oField  ->  W  e. oRing )
3 orngogrp 26268 . . 3  |-  ( W  e. oRing  ->  W  e. oGrp )
4 isarchiofld.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
5 eqid 2442 . . . 4  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
6 isarchiofld.l . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  W )
7 eqid 2442 . . . 4  |-  (.g `  W
)  =  (.g `  W
)
84, 5, 6, 7isarchi3 26203 . . 3  |-  ( W  e. oGrp  ->  ( W  e. Archi  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  B  (
( 0g `  W
)  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) ) )
92, 3, 83syl 20 . 2  |-  ( W  e. oField  ->  ( W  e. Archi  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  B  (
( 0g `  W
)  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) ) )
10 orngrng 26267 . . . . . . 7  |-  ( W  e. oRing  ->  W  e.  Ring )
11 eqid 2442 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  W )  =  ( 1r `  W
)
124, 11rngidcl 16664 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  Ring  ->  ( 1r
`  W )  e.  B )
132, 10, 123syl 20 . . . . . 6  |-  ( W  e. oField  ->  ( 1r `  W )  e.  B
)
14 breq2 4295 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  (
( 0g `  W
)  .<  y  <->  ( 0g `  W )  .<  ( 1r `  W ) ) )
15 oveq2 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  (
n (.g `  W ) y )  =  ( n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) )
1615breq2d 4303 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  (
x  .<  ( n (.g `  W ) y )  <-> 
x  .<  ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) ) )
1716rexbidv 2735 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  ( E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y )  <->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) ) )
1814, 17imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  (
( ( 0g `  W )  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) )  <->  ( ( 0g
`  W )  .< 
( 1r `  W
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) ) )
1918ralbidv 2734 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( 1r `  W )  ->  ( A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) )  <->  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .<  ( 1r `  W )  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) ) ) )
2019rspcv 3068 . . . . . 6  |-  ( ( 1r `  W )  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) )  ->  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
( 1r `  W
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) ) )
2113, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) )  ->  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
( 1r `  W
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) ) )
225, 11, 6ofldlt1 26280 . . . . . . 7  |-  ( W  e. oField  ->  ( 0g `  W )  .<  ( 1r `  W ) )
23 pm5.5 336 . . . . . . 7  |-  ( ( 0g `  W ) 
.<  ( 1r `  W
)  ->  ( (
( 0g `  W
)  .<  ( 1r `  W )  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) )  <->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( W  e. oField  ->  ( ( ( 0g `  W ) 
.<  ( 1r `  W
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) )  <->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
2524ralbidv 2734 . . . . 5  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
( 1r `  W
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) )  <->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
2621, 25sylibd 214 . . . 4  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) )  ->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
272, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. oField  ->  W  e.  Ring )
28 nnz 10667 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
29 isarchiofld.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( ZRHom `  W
)
3029, 7, 11zrhmulg 17940 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( H `  n )  =  ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) )
3127, 28, 30syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. oField  /\  n  e.  NN )  ->  ( H `  n )  =  ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) )
3231breq2d 4303 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. oField  /\  n  e.  NN )  ->  (
x  .<  ( H `  n )  <->  x  .<  ( n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ) )
3332rexbidva 2731 . . . . 5  |-  ( W  e. oField  ->  ( E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )  <->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W
) ( 1r `  W ) ) ) )
3433ralbidv 2734 . . . 4  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )  <->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W
) ( 1r `  W ) ) ) )
3526, 34sylibrd 234 . . 3  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) )  ->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
) )
36 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ x  W  e. oField
37 nfra1 2765 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
3836, 37nfan 1861 . . . . . . 7  |-  F/ x
( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) )
39 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ x  y  e.  B
4038, 39nfan 1861 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  y  e.  B )
4127ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  W  e.  Ring )
42 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  x  e.  B )
43 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  y  e.  B )
44 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  ( 0g `  W )  .< 
y )
45 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  W  e. oField )
46 rnggrp 16649 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  Ring  ->  W  e. 
Grp )
474, 5grpidcl 15565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  Grp  ->  ( 0g `  W )  e.  B )
4841, 46, 473syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  ( 0g `  W )  e.  B )
496pltne 15131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e. oField  /\  ( 0g `  W )  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( 0g `  W
)  .<  y  ->  ( 0g `  W )  =/=  y ) )
5045, 48, 43, 49syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  (
( 0g `  W
)  .<  y  ->  ( 0g `  W )  =/=  y ) )
5144, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  ( 0g `  W )  =/=  y )
5251necomd 2694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  y  =/=  ( 0g `  W
) )
531simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. oField  ->  W  e. Field )
54 isfld 16840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e. Field 
<->  ( W  e.  DivRing  /\  W  e.  CRing ) )
5554simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. Field  ->  W  e.  DivRing )
5653, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. oField  ->  W  e.  DivRing )
57 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Unit `  W )  =  (Unit `  W )
584, 57, 5drngunit 16836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  DivRing  ->  ( y  e.  (Unit `  W )  <->  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  W ) ) ) )
5945, 56, 583syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  (
y  e.  (Unit `  W )  <->  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) ) ) )
6043, 52, 59mpbir2and 913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  y  e.  (Unit `  W )
)
61 eqid 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/r `  W
)  =  (/r `  W
)
624, 57, 61dvrcl 16777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  (Unit `  W )
)  ->  ( x
(/r `  W ) y )  e.  B )
6341, 42, 60, 62syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  (
x (/r `  W ) y )  e.  B )
64 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
)  ->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
)
65 breq1 4294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
x  .<  ( H `  n )  <->  z  .<  ( H `  n ) ) )
6665rexbidv 2735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  ( E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )  <->  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )
) )
6766cbvralv 2946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
)  <->  A. z  e.  B  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n ) )
6864, 67sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
)  ->  A. z  e.  B  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )
)
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  A. z  e.  B  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )
)
70 breq1 4294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( x (/r `  W ) y )  ->  ( z  .< 
( H `  n
)  <->  ( x (/r `  W ) y ) 
.<  ( H `  n
) ) )
7170rexbidv 2735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x (/r `  W ) y )  ->  ( E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )  <->  E. n  e.  NN  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) ) )
7271rspcv 3068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x (/r `  W ) y )  e.  B  -> 
( A. z  e.  B  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )  ->  E. n  e.  NN  ( x (/r `  W
) y )  .< 
( H `  n
) ) )
7372imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x (/r `  W
) y )  e.  B  /\  A. z  e.  B  E. n  e.  NN  z  .<  ( H `  n )
)  ->  E. n  e.  NN  ( x (/r `  W ) y ) 
.<  ( H `  n
) )
7463, 69, 73syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  E. n  e.  NN  ( x (/r `  W ) y ) 
.<  ( H `  n
) )
75 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r
`  W )  =  ( .r `  W
)
76 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  W  e. oField )
7776, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  W  e. oRing )
7876, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  W  e.  Ring )
79 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )
8079simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  x  e.  B )
8179simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
y  e.  B )
82 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( 0g `  W
)  .<  y )
8378, 46, 473syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( 0g `  W
)  e.  B )
8476, 83, 81, 49syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( 0g `  W )  .<  y  ->  ( 0g `  W
)  =/=  y ) )
8582, 84mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( 0g `  W
)  =/=  y )
8685necomd 2694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
y  =/=  ( 0g
`  W ) )
8776, 56, 583syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( y  e.  (Unit `  W )  <->  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) ) ) )
8881, 86, 87mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
y  e.  (Unit `  W ) )
8978, 80, 88, 62syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( x (/r `  W
) y )  e.  B )
90 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  n  e.  NN )
9176, 90, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( H `  n
)  =  ( n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) )
9278, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  W  e.  Grp )
9390, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  n  e.  ZZ )
9478, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( 1r `  W
)  e.  B )
954, 7mulgcl 15643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  ( 1r `  W )  e.  B )  ->  (
n (.g `  W ) ( 1r `  W ) )  e.  B )
9692, 93, 94, 95syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( n (.g `  W
) ( 1r `  W ) )  e.  B )
9791, 96eqeltrd 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( H `  n
)  e.  B )
9876, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  W  e.  DivRing )
99 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( x (/r `  W
) y )  .< 
( H `  n
) )
1004, 75, 5, 77, 89, 97, 81, 6, 98, 99, 82orngrmullt 26275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( x (/r `  W ) y ) ( .r `  W
) y )  .< 
( ( H `  n ) ( .r
`  W ) y ) )
1014, 57, 61, 75dvrcan1 16782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  (Unit `  W )
)  ->  ( (
x (/r `  W ) y ) ( .r `  W ) y )  =  x )
10278, 80, 88, 101syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( x (/r `  W ) y ) ( .r `  W
) y )  =  x )
10391oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( H `  n ) ( .r
`  W ) y )  =  ( ( n (.g `  W ) ( 1r `  W ) ) ( .r `  W ) y ) )
1044, 7, 75mulgass2 16691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  (
n  e.  ZZ  /\  ( 1r `  W )  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) ( .r `  W
) y )  =  ( n (.g `  W
) ( ( 1r
`  W ) ( .r `  W ) y ) ) )
10578, 93, 94, 81, 104syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( n (.g `  W ) ( 1r
`  W ) ) ( .r `  W
) y )  =  ( n (.g `  W
) ( ( 1r
`  W ) ( .r `  W ) y ) ) )
1064, 75, 11rnglidm 16667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Ring  /\  y  e.  B )  ->  (
( 1r `  W
) ( .r `  W ) y )  =  y )
10778, 81, 106syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( 1r `  W ) ( .r
`  W ) y )  =  y )
108107oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( n (.g `  W
) ( ( 1r
`  W ) ( .r `  W ) y ) )  =  ( n (.g `  W
) y ) )
109103, 105, 1083eqtrd 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  -> 
( ( H `  n ) ( .r
`  W ) y )  =  ( n (.g `  W ) y ) )
110100, 102, 1093brtr3d 4320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B ) )  /\  ( 0g `  W ) 
.<  y )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n ) )  ->  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) )
111110ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( x (/r `  W
) y )  .< 
( H `  n
)  ->  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) ) )
112111reximdva 2827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. oField  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  /\  ( 0g `  W )  .<  y
)  ->  ( E. n  e.  NN  (
x (/r `  W ) y )  .<  ( H `  n )  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) )
113112adantllr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  ( E. n  e.  NN  ( x (/r `  W
) y )  .< 
( H `  n
)  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) )
11474, 113mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n ) )  /\  ( y  e.  B  /\  x  e.  B
) )  /\  ( 0g `  W )  .< 
y )  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) )
115114ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) )  /\  (
y  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) )
116115expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) )  /\  y  e.  B )  ->  (
x  e.  B  -> 
( ( 0g `  W )  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) ) ) )
11740, 116ralrimi 2796 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) )  /\  y  e.  B )  ->  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) )
118117ralrimiva 2798 . . . 4  |-  ( ( W  e. oField  /\  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
)  ->  A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) ) )
119118ex 434 . . 3  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )  ->  A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .<  y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  ( n (.g `  W ) y ) ) ) )
12035, 119impbid 191 . 2  |-  ( W  e. oField  ->  ( A. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( 0g `  W )  .< 
y  ->  E. n  e.  NN  x  .<  (
n (.g `  W ) y ) )  <->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n )
) )
1219, 120bitrd 253 1  |-  ( W  e. oField  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  E. n  e.  NN  x  .<  ( H `  n
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   A.wral 2714   E.wrex 2715   class class class wbr 4291   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   NNcn 10321   ZZcz 10645   Basecbs 14173   .rcmulr 14238   0gc0g 14377   ltcplt 15110   Grpcgrp 15409  .gcmg 15413   1rcur 16602   Ringcrg 16644   CRingccrg 16645  Unitcui 16730  /rcdvr 16773   DivRingcdr 16831  Fieldcfield 16832   ZRHomczrh 17930  oGrpcogrp 26160  Archicarchi 26193  oRingcorng 26262  oFieldcofld 26263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-addf 9360  ax-mulf 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-fz 11437  df-seq 11806  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-starv 14252  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-unif 14260  df-0g 14379  df-poset 15115  df-plt 15127  df-toset 15203  df-mnd 15414  df-mhm 15463  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-sbg 15546  df-mulg 15547  df-subg 15677  df-ghm 15744  df-cmn 16278  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-cring 16647  df-oppr 16714  df-dvdsr 16732  df-unit 16733  df-invr 16763  df-dvr 16774  df-rnghom 16805  df-drng 16833  df-field 16834  df-subrg 16862  df-cnfld 17818  df-zring 17883  df-zrh 17934  df-omnd 26161  df-ogrp 26162  df-inftm 26194  df-archi 26195  df-orng 26264  df-ofld 26265
This theorem is referenced by:  rearchi  26309
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