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Theorem isarchi3 27490
Description: This is the usual definition of the Archimedean property for an ordered group. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchi3.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
isarchi3.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
isarchi3.i  |-  .<  =  ( lt `  W )
isarchi3.x  |-  .x.  =  (.g
`  W )
Assertion
Ref Expression
isarchi3  |-  ( W  e. oGrp  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  (
n  .x.  x )
) ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, B    n, W, x, y    .< , n    .x. , n    .0. , n
Allowed substitution hints:    .< ( x, y)    .x. (
x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem isarchi3
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isogrp 27451 . . . . 5  |-  ( W  e. oGrp 
<->  ( W  e.  Grp  /\  W  e. oMnd ) )
21simprbi 464 . . . 4  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e. oMnd )
3 omndtos 27454 . . . 4  |-  ( W  e. oMnd  ->  W  e. Toset )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e. Toset )
5 ogrpgrp 27452 . . . 4  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e.  Grp )
6 grpmnd 15876 . . . 4  |-  ( W  e.  Grp  ->  W  e.  Mnd )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e.  Mnd )
8 isarchi3.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
9 isarchi3.0 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
10 isarchi3.x . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  W )
11 eqid 2467 . . . 4  |-  ( le
`  W )  =  ( le `  W
)
12 isarchi3.i . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  W )
138, 9, 10, 11, 12isarchi2 27488 . . 3  |-  ( ( W  e. Toset  /\  W  e. 
Mnd )  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) ) ) )
144, 7, 13syl2anc 661 . 2  |-  ( W  e. oGrp  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n  .x.  x ) ) ) )
15 nfv 1683 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )
16 nfre1 2925 . . . . . . . . 9  |-  F/ n E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n 
.x.  x )
1715, 16nfan 1875 . . . . . . . 8  |-  F/ n
( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  E. n  e.  NN  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )
18 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  n  e.  NN )
2019peano2nnd 10554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  NN )
21 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  W  e. oGrp )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  W  e. oGrp )
238, 9grpidcl 15892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  Grp  ->  .0.  e.  B )
2422, 5, 233syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  .0.  e.  B )
25 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  B )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  x  e.  B )
275ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  W  e.  Grp )
2818nnzd 10966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
298, 10mulgcl 15973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  x  e.  B )  ->  (
n  .x.  x )  e.  B )
3027, 28, 25, 29syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  (
n  .x.  x )  e.  B )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( n  .x.  x
)  e.  B )
32 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  .0.  .<  x )
33 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
348, 12, 33ogrpaddlt 27467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (  .0.  e.  B  /\  x  e.  B  /\  (
n  .x.  x )  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  ->  (  .0.  ( +g  `  W
) ( n  .x.  x ) )  .< 
( x ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) ) )
3522, 24, 26, 31, 32, 34syl131anc 1241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
(  .0.  ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) ) 
.<  ( x ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) ) )
3622, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  W  e.  Grp )
378, 33, 9grplid 15894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  .x.  x )  e.  B )  -> 
(  .0.  ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) )  =  ( n  .x.  x ) )
3836, 31, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
(  .0.  ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) )  =  ( n  .x.  x ) )
39 nncn 10545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
40 ax-1cn 9551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
41 addcom 9766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( n  +  1 )  =  ( 1  +  n ) )
4240, 41mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  +  1 )  =  ( 1  +  n ) )
4339, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  =  ( 1  +  n ) )
4443oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  +  1 )  .x.  x )  =  ( ( 1  +  n )  .x.  x ) )
4519, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  .x.  x
)  =  ( ( 1  +  n ) 
.x.  x ) )
4622, 5, 63syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  W  e.  Mnd )
47 1nn 10548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
1  e.  NN )
498, 10, 33mulgnndir 15978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  Mnd  /\  ( 1  e.  NN  /\  n  e.  NN  /\  x  e.  B )
)  ->  ( (
1  +  n ) 
.x.  x )  =  ( ( 1  .x.  x ) ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) ) )
5046, 48, 19, 26, 49syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( ( 1  +  n )  .x.  x
)  =  ( ( 1  .x.  x ) ( +g  `  W
) ( n  .x.  x ) ) )
518, 10mulg1 15963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  B  ->  (
1  .x.  x )  =  x )
5226, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( 1  .x.  x
)  =  x )
5352oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( ( 1  .x.  x ) ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) )  =  ( x ( +g  `  W ) ( n  .x.  x
) ) )
5445, 50, 533eqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( x ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) )  =  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) )
5535, 38, 543brtr3d 4476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( n  .x.  x
)  .<  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) )
56 tospos 27405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. Toset  ->  W  e.  Poset )
5721, 4, 563syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  W  e.  Poset )
58 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  y  e.  B )
5928peano2zd 10970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  (
n  +  1 )  e.  ZZ )
608, 10mulgcl 15973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  +  1
)  e.  ZZ  /\  x  e.  B )  ->  ( ( n  + 
1 )  .x.  x
)  e.  B )
6127, 59, 25, 60syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( n  +  1 )  .x.  x )  e.  B )
628, 11, 12plelttr 15462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Poset  /\  (
y  e.  B  /\  ( n  .x.  x )  e.  B  /\  (
( n  +  1 )  .x.  x )  e.  B ) )  ->  ( ( y ( le `  W
) ( n  .x.  x )  /\  (
n  .x.  x )  .<  ( ( n  + 
1 )  .x.  x
) )  ->  y  .<  ( ( n  + 
1 )  .x.  x
) ) )
6357, 58, 30, 61, 62syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( y ( le
`  W ) ( n  .x.  x )  /\  ( n  .x.  x )  .<  (
( n  +  1 )  .x.  x ) )  ->  y  .<  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) ) )
6463impl 620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  /\  .0.  .<  x
)  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  /\  ( n  .x.  x ) 
.<  ( ( n  + 
1 )  .x.  x
) )  ->  y  .<  ( ( n  + 
1 )  .x.  x
) )
6555, 64mpdan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
y  .<  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) )
66 oveq1 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  .x.  x )  =  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) )
6766breq2d 4459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
y  .<  ( m  .x.  x )  <->  y  .<  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) ) )
6867rspcev 3214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN  /\  y  .<  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) )  ->  E. m  e.  NN  y  .<  ( m  .x.  x ) )
6920, 65, 68syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  E. m  e.  NN  y  .<  ( m  .x.  x ) )
7069adantllr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  /\  .0.  .<  x
)  /\  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n  .x.  x ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  E. m  e.  NN  y  .<  ( m  .x.  x ) )
71 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  E. n  e.  NN  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n 
.x.  x ) )
7217, 70, 71r19.29af 3001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  E. n  e.  NN  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  E. m  e.  NN  y  .<  ( m  .x.  x ) )
73 oveq1 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
m  .x.  x )  =  ( n  .x.  x ) )
7473breq2d 4459 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
y  .<  ( m  .x.  x )  <->  y  .<  ( n  .x.  x ) ) )
7574cbvrexv 3089 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  NN  y  .<  ( m  .x.  x
)  <->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) )
7672, 75sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  E. n  e.  NN  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) )
7711, 12pltle 15451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  y  e.  B  /\  (
n  .x.  x )  e.  B )  ->  (
y  .<  ( n  .x.  x )  ->  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) ) )
7821, 58, 30, 77syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  (
y  .<  ( n  .x.  x )  ->  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) ) )
7978reximdva 2938 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B
)  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  ->  ( E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x )  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n  .x.  x ) ) )
8079imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x
) )  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n  .x.  x ) )
8176, 80impbida 830 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B
)  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  ->  ( E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n 
.x.  x )  <->  E. n  e.  NN  y  .<  (
n  .x.  x )
) )
8281pm5.74da 687 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n  .x.  x ) )  <->  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) ) ) )
8382ralbidva 2900 . . 3  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  <->  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) ) ) )
8483ralbidva 2900 . 2  |-  ( W  e. oGrp  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n 
.x.  x ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x
) ) ) )
8514, 84bitrd 253 1  |-  ( W  e. oGrp  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  (
n  .x.  x )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   1c1 9494    + caddc 9496   NNcn 10537   ZZcz 10865   Basecbs 14493   +g cplusg 14558   lecple 14565   0gc0g 14698   Posetcpo 15430   ltcplt 15431  Tosetctos 15523   Mndcmnd 15729   Grpcgrp 15730  .gcmg 15734  oMndcomnd 27446  oGrpcogrp 27447  Archicarchi 27480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-seq 12077  df-0g 14700  df-poset 15436  df-plt 15448  df-toset 15524  df-mnd 15735  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-mulg 15874  df-omnd 27448  df-ogrp 27449  df-inftm 27481  df-archi 27482
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