Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchi3 Structured version   Unicode version

Theorem isarchi3 28342
 Description: This is the usual definition of the Archimedean property for an ordered group. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchi3.b
isarchi3.0
isarchi3.i
isarchi3.x .g
Assertion
Ref Expression
isarchi3 oGrp Archi
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem isarchi3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isogrp 28303 . . . . 5 oGrp oMnd
21simprbi 465 . . . 4 oGrp oMnd
3 omndtos 28306 . . . 4 oMnd Toset
42, 3syl 17 . . 3 oGrp Toset
5 ogrpgrp 28304 . . . 4 oGrp
6 grpmnd 16629 . . . 4
75, 6syl 17 . . 3 oGrp
8 isarchi3.b . . . 4
9 isarchi3.0 . . . 4
10 isarchi3.x . . . 4 .g
11 eqid 2429 . . . 4
12 isarchi3.i . . . 4
138, 9, 10, 11, 12isarchi2 28340 . . 3 Toset Archi
144, 7, 13syl2anc 665 . 2 oGrp Archi
15 simpr 462 . . . . . . . . . . 11 oGrp
1615adantr 466 . . . . . . . . . 10 oGrp
1716peano2nnd 10626 . . . . . . . . 9 oGrp
18 simp-4l 774 . . . . . . . . . . . . 13 oGrp oGrp
1918adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 oGrp oGrp
208, 9grpidcl 16645 . . . . . . . . . . . . 13
2119, 5, 203syl 18 . . . . . . . . . . . 12 oGrp
22 simp-4r 775 . . . . . . . . . . . . 13 oGrp
2322adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 oGrp
245ad4antr 736 . . . . . . . . . . . . . 14 oGrp
2515nnzd 11039 . . . . . . . . . . . . . 14 oGrp
268, 10mulgcl 16726 . . . . . . . . . . . . . 14
2724, 25, 22, 26syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13 oGrp
2827adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 oGrp
29 simpllr 767 . . . . . . . . . . . 12 oGrp
30 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . 13
318, 12, 30ogrpaddlt 28319 . . . . . . . . . . . 12 oGrp
3219, 21, 23, 28, 29, 31syl131anc 1277 . . . . . . . . . . 11 oGrp
3319, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 oGrp
348, 30, 9grplid 16647 . . . . . . . . . . . 12
3533, 28, 34syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11 oGrp
36 nncn 10617 . . . . . . . . . . . . . . 15
37 ax-1cn 9596 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 addcom 9818 . . . . . . . . . . . . . . 15
3936, 37, 38sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . 14
4039oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13
4116, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 oGrp
4219, 5, 63syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 oGrp
43 1nn 10620 . . . . . . . . . . . . . 14
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 oGrp
458, 10, 30mulgnndir 16731 . . . . . . . . . . . . 13
4642, 44, 16, 23, 45syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . 12 oGrp
478, 10mulg1 16716 . . . . . . . . . . . . . 14
4823, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 oGrp
4948oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . 12 oGrp
5041, 46, 493eqtrrd 2475 . . . . . . . . . . 11 oGrp
5132, 35, 503brtr3d 4455 . . . . . . . . . 10 oGrp
52 tospos 28257 . . . . . . . . . . . . 13 Toset
5318, 4, 523syl 18 . . . . . . . . . . . 12 oGrp
54 simpllr 767 . . . . . . . . . . . 12 oGrp
5525peano2zd 11043 . . . . . . . . . . . . 13 oGrp
568, 10mulgcl 16726 . . . . . . . . . . . . 13
5724, 55, 22, 56syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12 oGrp
588, 11, 12plelttr 16169 . . . . . . . . . . . 12
5953, 54, 27, 57, 58syl13anc 1266 . . . . . . . . . . 11 oGrp
6059impl 624 . . . . . . . . . 10 oGrp
6151, 60mpdan 672 . . . . . . . . 9 oGrp
62 oveq1 6312 . . . . . . . . . . 11
6362breq2d 4438 . . . . . . . . . 10
6463rspcev 3188 . . . . . . . . 9
6517, 61, 64syl2anc 665 . . . . . . . 8 oGrp
6665r19.29an 2976 . . . . . . 7 oGrp
67 oveq1 6312 . . . . . . . . 9
6867breq2d 4438 . . . . . . . 8
6968cbvrexv 3063 . . . . . . 7
7066, 69sylib 199 . . . . . 6 oGrp
7111, 12pltle 16158 . . . . . . . . 9 oGrp
7218, 54, 27, 71syl3anc 1264 . . . . . . . 8 oGrp
7372reximdva 2907 . . . . . . 7 oGrp
7473imp 430 . . . . . 6 oGrp
7570, 74impbida 840 . . . . 5 oGrp
7675pm5.74da 691 . . . 4 oGrp
7776ralbidva 2868 . . 3 oGrp
7877ralbidva 2868 . 2 oGrp
7914, 78bitrd 256 1 oGrp Archi
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  wrex 2783   class class class wbr 4426  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc 9536  c1 9539   caddc 9541  cn 10609  cz 10937  cbs 15084   cplusg 15152  cple 15159  c0g 15297  cpo 16136  cplt 16137  Tosetctos 16230  cmnd 16486  cgrp 16620  .gcmg 16623  oMndcomnd 28298  oGrpcogrp 28299  Archicarchi 28332 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-seq 12211  df-0g 15299  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-toset 16231  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-mulg 16627  df-omnd 28300  df-ogrp 28301  df-inftm 28333  df-archi 28334 This theorem is referenced by:  archiexdiv  28345  isarchiofld  28419
 Copyright terms: Public domain W3C validator