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Theorem isarchi3 26216
Description: This is the usual definition of the Archimedean property for an ordered group. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchi3.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
isarchi3.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
isarchi3.i  |-  .<  =  ( lt `  W )
isarchi3.x  |-  .x.  =  (.g
`  W )
Assertion
Ref Expression
isarchi3  |-  ( W  e. oGrp  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  (
n  .x.  x )
) ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, B    n, W, x, y    .< , n    .x. , n    .0. , n
Allowed substitution hints:    .< ( x, y)    .x. (
x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem isarchi3
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isogrp 26177 . . . . 5  |-  ( W  e. oGrp 
<->  ( W  e.  Grp  /\  W  e. oMnd ) )
21simprbi 464 . . . 4  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e. oMnd )
3 omndtos 26180 . . . 4  |-  ( W  e. oMnd  ->  W  e. Toset )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e. Toset )
5 ogrpgrp 26178 . . . 4  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e.  Grp )
6 grpmnd 15562 . . . 4  |-  ( W  e.  Grp  ->  W  e.  Mnd )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e.  Mnd )
8 isarchi3.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
9 isarchi3.0 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
10 isarchi3.x . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  W )
11 eqid 2443 . . . 4  |-  ( le
`  W )  =  ( le `  W
)
12 isarchi3.i . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  W )
138, 9, 10, 11, 12isarchi2 26214 . . 3  |-  ( ( W  e. Toset  /\  W  e. 
Mnd )  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) ) ) )
144, 7, 13syl2anc 661 . 2  |-  ( W  e. oGrp  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n  .x.  x ) ) ) )
15 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )
16 nfre1 2784 . . . . . . . . 9  |-  F/ n E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n 
.x.  x )
1715, 16nfan 1861 . . . . . . . 8  |-  F/ n
( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  E. n  e.  NN  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )
18 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  n  e.  NN )
2019peano2nnd 10351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  NN )
21 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  W  e. oGrp )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  W  e. oGrp )
238, 9grpidcl 15578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  Grp  ->  .0.  e.  B )
2422, 5, 233syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  .0.  e.  B )
25 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  B )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  x  e.  B )
275ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  W  e.  Grp )
2818nnzd 10758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
298, 10mulgcl 15656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  x  e.  B )  ->  (
n  .x.  x )  e.  B )
3027, 28, 25, 29syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  (
n  .x.  x )  e.  B )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( n  .x.  x
)  e.  B )
32 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  .0.  .<  x )
33 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
348, 12, 33ogrpaddlt 26193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (  .0.  e.  B  /\  x  e.  B  /\  (
n  .x.  x )  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  ->  (  .0.  ( +g  `  W
) ( n  .x.  x ) )  .< 
( x ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) ) )
3522, 24, 26, 31, 32, 34syl131anc 1231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
(  .0.  ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) ) 
.<  ( x ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) ) )
3622, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  W  e.  Grp )
378, 33, 9grplid 15580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  .x.  x )  e.  B )  -> 
(  .0.  ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) )  =  ( n  .x.  x ) )
3836, 31, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
(  .0.  ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) )  =  ( n  .x.  x ) )
39 nncn 10342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
40 ax-1cn 9352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
41 addcom 9567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( n  +  1 )  =  ( 1  +  n ) )
4240, 41mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  +  1 )  =  ( 1  +  n ) )
4339, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  =  ( 1  +  n ) )
4443oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  +  1 )  .x.  x )  =  ( ( 1  +  n )  .x.  x ) )
4519, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  .x.  x
)  =  ( ( 1  +  n ) 
.x.  x ) )
4622, 5, 63syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  W  e.  Mnd )
47 1nn 10345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
1  e.  NN )
498, 10, 33mulgnndir 15661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  Mnd  /\  ( 1  e.  NN  /\  n  e.  NN  /\  x  e.  B )
)  ->  ( (
1  +  n ) 
.x.  x )  =  ( ( 1  .x.  x ) ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) ) )
5046, 48, 19, 26, 49syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( ( 1  +  n )  .x.  x
)  =  ( ( 1  .x.  x ) ( +g  `  W
) ( n  .x.  x ) ) )
518, 10mulg1 15646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  B  ->  (
1  .x.  x )  =  x )
5226, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( 1  .x.  x
)  =  x )
5352oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( ( 1  .x.  x ) ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) )  =  ( x ( +g  `  W ) ( n  .x.  x
) ) )
5445, 50, 533eqtrrd 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( x ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) )  =  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) )
5535, 38, 543brtr3d 4333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( n  .x.  x
)  .<  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) )
56 tospos 26131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. Toset  ->  W  e.  Poset )
5721, 4, 563syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  W  e.  Poset )
58 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  y  e.  B )
5928peano2zd 10762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  (
n  +  1 )  e.  ZZ )
608, 10mulgcl 15656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  +  1
)  e.  ZZ  /\  x  e.  B )  ->  ( ( n  + 
1 )  .x.  x
)  e.  B )
6127, 59, 25, 60syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( n  +  1 )  .x.  x )  e.  B )
628, 11, 12plelttr 15154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Poset  /\  (
y  e.  B  /\  ( n  .x.  x )  e.  B  /\  (
( n  +  1 )  .x.  x )  e.  B ) )  ->  ( ( y ( le `  W
) ( n  .x.  x )  /\  (
n  .x.  x )  .<  ( ( n  + 
1 )  .x.  x
) )  ->  y  .<  ( ( n  + 
1 )  .x.  x
) ) )
6357, 58, 30, 61, 62syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( y ( le
`  W ) ( n  .x.  x )  /\  ( n  .x.  x )  .<  (
( n  +  1 )  .x.  x ) )  ->  y  .<  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) ) )
6463impl 620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  /\  .0.  .<  x
)  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  /\  ( n  .x.  x ) 
.<  ( ( n  + 
1 )  .x.  x
) )  ->  y  .<  ( ( n  + 
1 )  .x.  x
) )
6555, 64mpdan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
y  .<  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) )
66 oveq1 6110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  .x.  x )  =  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) )
6766breq2d 4316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
y  .<  ( m  .x.  x )  <->  y  .<  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) ) )
6867rspcev 3085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN  /\  y  .<  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) )  ->  E. m  e.  NN  y  .<  ( m  .x.  x ) )
6920, 65, 68syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  E. m  e.  NN  y  .<  ( m  .x.  x ) )
7069adantllr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  /\  .0.  .<  x
)  /\  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n  .x.  x ) )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  E. m  e.  NN  y  .<  ( m  .x.  x ) )
71 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  E. n  e.  NN  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n 
.x.  x ) )
7217, 70, 71r19.29af 2873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  E. n  e.  NN  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  E. m  e.  NN  y  .<  ( m  .x.  x ) )
73 oveq1 6110 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
m  .x.  x )  =  ( n  .x.  x ) )
7473breq2d 4316 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
y  .<  ( m  .x.  x )  <->  y  .<  ( n  .x.  x ) ) )
7574cbvrexv 2960 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  NN  y  .<  ( m  .x.  x
)  <->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) )
7672, 75sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  E. n  e.  NN  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) )
7711, 12pltle 15143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  y  e.  B  /\  (
n  .x.  x )  e.  B )  ->  (
y  .<  ( n  .x.  x )  ->  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) ) )
7821, 58, 30, 77syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  (
y  .<  ( n  .x.  x )  ->  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) ) )
7978reximdva 2840 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B
)  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  ->  ( E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x )  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n  .x.  x ) ) )
8079imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x
) )  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n  .x.  x ) )
8176, 80impbida 828 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B
)  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  ->  ( E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n 
.x.  x )  <->  E. n  e.  NN  y  .<  (
n  .x.  x )
) )
8281pm5.74da 687 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n  .x.  x ) )  <->  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) ) ) )
8382ralbidva 2743 . . 3  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  <->  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) ) ) )
8483ralbidva 2743 . 2  |-  ( W  e. oGrp  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n 
.x.  x ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x
) ) ) )
8514, 84bitrd 253 1  |-  ( W  e. oGrp  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  (
n  .x.  x )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   1c1 9295    + caddc 9297   NNcn 10334   ZZcz 10658   Basecbs 14186   +g cplusg 14250   lecple 14257   0gc0g 14390   Posetcpo 15122   ltcplt 15123  Tosetctos 15215   Mndcmnd 15421   Grpcgrp 15422  .gcmg 15426  oMndcomnd 26172  oGrpcogrp 26173  Archicarchi 26206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-seq 11819  df-0g 14392  df-poset 15128  df-plt 15140  df-toset 15216  df-mnd 15427  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-mulg 15560  df-omnd 26174  df-ogrp 26175  df-inftm 26207  df-archi 26208
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