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Theorem isarchi3 28342
Description: This is the usual definition of the Archimedean property for an ordered group. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchi3.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
isarchi3.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
isarchi3.i  |-  .<  =  ( lt `  W )
isarchi3.x  |-  .x.  =  (.g
`  W )
Assertion
Ref Expression
isarchi3  |-  ( W  e. oGrp  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  (
n  .x.  x )
) ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, B    n, W, x, y    .< , n    .x. , n    .0. , n
Allowed substitution hints:    .< ( x, y)    .x. (
x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem isarchi3
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isogrp 28303 . . . . 5  |-  ( W  e. oGrp 
<->  ( W  e.  Grp  /\  W  e. oMnd ) )
21simprbi 465 . . . 4  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e. oMnd )
3 omndtos 28306 . . . 4  |-  ( W  e. oMnd  ->  W  e. Toset )
42, 3syl 17 . . 3  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e. Toset )
5 ogrpgrp 28304 . . . 4  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e.  Grp )
6 grpmnd 16629 . . . 4  |-  ( W  e.  Grp  ->  W  e.  Mnd )
75, 6syl 17 . . 3  |-  ( W  e. oGrp  ->  W  e.  Mnd )
8 isarchi3.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
9 isarchi3.0 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
10 isarchi3.x . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  W )
11 eqid 2429 . . . 4  |-  ( le
`  W )  =  ( le `  W
)
12 isarchi3.i . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  W )
138, 9, 10, 11, 12isarchi2 28340 . . 3  |-  ( ( W  e. Toset  /\  W  e. 
Mnd )  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) ) ) )
144, 7, 13syl2anc 665 . 2  |-  ( W  e. oGrp  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n  .x.  x ) ) ) )
15 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
1615adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  n  e.  NN )
1716peano2nnd 10626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  NN )
18 simp-4l 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  W  e. oGrp )
1918adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  W  e. oGrp )
208, 9grpidcl 16645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  Grp  ->  .0.  e.  B )
2119, 5, 203syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  .0.  e.  B )
22 simp-4r 775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  B )
2322adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  x  e.  B )
245ad4antr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  W  e.  Grp )
2515nnzd 11039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
268, 10mulgcl 16726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  x  e.  B )  ->  (
n  .x.  x )  e.  B )
2724, 25, 22, 26syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  (
n  .x.  x )  e.  B )
2827adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( n  .x.  x
)  e.  B )
29 simpllr 767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  .0.  .<  x )
30 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
318, 12, 30ogrpaddlt 28319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  (  .0.  e.  B  /\  x  e.  B  /\  (
n  .x.  x )  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  ->  (  .0.  ( +g  `  W
) ( n  .x.  x ) )  .< 
( x ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) ) )
3219, 21, 23, 28, 29, 31syl131anc 1277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
(  .0.  ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) ) 
.<  ( x ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) ) )
3319, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  W  e.  Grp )
348, 30, 9grplid 16647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  .x.  x )  e.  B )  -> 
(  .0.  ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) )  =  ( n  .x.  x ) )
3533, 28, 34syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
(  .0.  ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) )  =  ( n  .x.  x ) )
36 nncn 10617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
37 ax-1cn 9596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
38 addcom 9818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( n  +  1 )  =  ( 1  +  n ) )
3936, 37, 38sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  =  ( 1  +  n ) )
4039oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  +  1 )  .x.  x )  =  ( ( 1  +  n )  .x.  x ) )
4116, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  .x.  x
)  =  ( ( 1  +  n ) 
.x.  x ) )
4219, 5, 63syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  W  e.  Mnd )
43 1nn 10620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
1  e.  NN )
458, 10, 30mulgnndir 16731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Mnd  /\  ( 1  e.  NN  /\  n  e.  NN  /\  x  e.  B )
)  ->  ( (
1  +  n ) 
.x.  x )  =  ( ( 1  .x.  x ) ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) ) )
4642, 44, 16, 23, 45syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( ( 1  +  n )  .x.  x
)  =  ( ( 1  .x.  x ) ( +g  `  W
) ( n  .x.  x ) ) )
478, 10mulg1 16716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  B  ->  (
1  .x.  x )  =  x )
4823, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( 1  .x.  x
)  =  x )
4948oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( ( 1  .x.  x ) ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) )  =  ( x ( +g  `  W ) ( n  .x.  x
) ) )
5041, 46, 493eqtrrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( x ( +g  `  W ) ( n 
.x.  x ) )  =  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) )
5132, 35, 503brtr3d 4455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
( n  .x.  x
)  .<  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) )
52 tospos 28257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. Toset  ->  W  e.  Poset )
5318, 4, 523syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  W  e.  Poset )
54 simpllr 767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  y  e.  B )
5525peano2zd 11043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  (
n  +  1 )  e.  ZZ )
568, 10mulgcl 16726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( n  +  1
)  e.  ZZ  /\  x  e.  B )  ->  ( ( n  + 
1 )  .x.  x
)  e.  B )
5724, 55, 22, 56syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( n  +  1 )  .x.  x )  e.  B )
588, 11, 12plelttr 16169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  Poset  /\  (
y  e.  B  /\  ( n  .x.  x )  e.  B  /\  (
( n  +  1 )  .x.  x )  e.  B ) )  ->  ( ( y ( le `  W
) ( n  .x.  x )  /\  (
n  .x.  x )  .<  ( ( n  + 
1 )  .x.  x
) )  ->  y  .<  ( ( n  + 
1 )  .x.  x
) ) )
5953, 54, 27, 57, 58syl13anc 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( y ( le
`  W ) ( n  .x.  x )  /\  ( n  .x.  x )  .<  (
( n  +  1 )  .x.  x ) )  ->  y  .<  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) ) )
6059impl 624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  /\  .0.  .<  x
)  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  /\  ( n  .x.  x ) 
.<  ( ( n  + 
1 )  .x.  x
) )  ->  y  .<  ( ( n  + 
1 )  .x.  x
) )
6151, 60mpdan 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  -> 
y  .<  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) )
62 oveq1 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  .x.  x )  =  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) )
6362breq2d 4438 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
y  .<  ( m  .x.  x )  <->  y  .<  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) ) )
6463rspcev 3188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN  /\  y  .<  ( ( n  +  1 )  .x.  x ) )  ->  E. m  e.  NN  y  .<  ( m  .x.  x ) )
6517, 61, 64syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  /\  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  E. m  e.  NN  y  .<  ( m  .x.  x ) )
6665r19.29an 2976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  E. n  e.  NN  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  E. m  e.  NN  y  .<  ( m  .x.  x ) )
67 oveq1 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
m  .x.  x )  =  ( n  .x.  x ) )
6867breq2d 4438 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
y  .<  ( m  .x.  x )  <->  y  .<  ( n  .x.  x ) ) )
6968cbvrexv 3063 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  NN  y  .<  ( m  .x.  x
)  <->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) )
7066, 69sylib 199 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  E. n  e.  NN  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) )
7111, 12pltle 16158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  y  e.  B  /\  (
n  .x.  x )  e.  B )  ->  (
y  .<  ( n  .x.  x )  ->  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) ) )
7218, 54, 27, 71syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  n  e.  NN )  ->  (
y  .<  ( n  .x.  x )  ->  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) ) )
7372reximdva 2907 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B
)  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  ->  ( E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x )  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n  .x.  x ) ) )
7473imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  /\  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x
) )  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n  .x.  x ) )
7570, 74impbida 840 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B
)  /\  y  e.  B )  /\  .0.  .<  x )  ->  ( E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n 
.x.  x )  <->  E. n  e.  NN  y  .<  (
n  .x.  x )
) )
7675pm5.74da 691 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y ( le
`  W ) ( n  .x.  x ) )  <->  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) ) ) )
7776ralbidva 2868 . . 3  |-  ( ( W  e. oGrp  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y
( le `  W
) ( n  .x.  x ) )  <->  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x ) ) ) )
7877ralbidva 2868 . 2  |-  ( W  e. oGrp  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y ( le `  W ) ( n 
.x.  x ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  ( n  .x.  x
) ) ) )
7914, 78bitrd 256 1  |-  ( W  e. oGrp  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (  .0.  .<  x  ->  E. n  e.  NN  y  .<  (
n  .x.  x )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   1c1 9539    + caddc 9541   NNcn 10609   ZZcz 10937   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   lecple 15159   0gc0g 15297   Posetcpo 16136   ltcplt 16137  Tosetctos 16230   Mndcmnd 16486   Grpcgrp 16620  .gcmg 16623  oMndcomnd 28298  oGrpcogrp 28299  Archicarchi 28332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-seq 12211  df-0g 15299  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-toset 16231  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-mulg 16627  df-omnd 28300  df-ogrp 28301  df-inftm 28333  df-archi 28334
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