Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchi3 Structured version   Unicode version

Theorem isarchi3 27490
 Description: This is the usual definition of the Archimedean property for an ordered group. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchi3.b
isarchi3.0
isarchi3.i
isarchi3.x .g
Assertion
Ref Expression
isarchi3 oGrp Archi
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem isarchi3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isogrp 27451 . . . . 5 oGrp oMnd
21simprbi 464 . . . 4 oGrp oMnd
3 omndtos 27454 . . . 4 oMnd Toset
42, 3syl 16 . . 3 oGrp Toset
5 ogrpgrp 27452 . . . 4 oGrp
6 grpmnd 15876 . . . 4
75, 6syl 16 . . 3 oGrp
8 isarchi3.b . . . 4
9 isarchi3.0 . . . 4
10 isarchi3.x . . . 4 .g
11 eqid 2467 . . . 4
12 isarchi3.i . . . 4
138, 9, 10, 11, 12isarchi2 27488 . . 3 Toset Archi
144, 7, 13syl2anc 661 . 2 oGrp Archi
15 nfv 1683 . . . . . . . . 9 oGrp
16 nfre1 2925 . . . . . . . . 9
1715, 16nfan 1875 . . . . . . . 8 oGrp
18 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12 oGrp
1918adantr 465 . . . . . . . . . . 11 oGrp
2019peano2nnd 10554 . . . . . . . . . 10 oGrp
21 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . 14 oGrp oGrp
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 oGrp oGrp
238, 9grpidcl 15892 . . . . . . . . . . . . . 14
2422, 5, 233syl 20 . . . . . . . . . . . . 13 oGrp
25 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . 14 oGrp
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 oGrp
275ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 oGrp
2818nnzd 10966 . . . . . . . . . . . . . . 15 oGrp
298, 10mulgcl 15973 . . . . . . . . . . . . . . 15
3027, 28, 25, 29syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14 oGrp
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 oGrp
32 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13 oGrp
33 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14
348, 12, 33ogrpaddlt 27467 . . . . . . . . . . . . 13 oGrp
3522, 24, 26, 31, 32, 34syl131anc 1241 . . . . . . . . . . . 12 oGrp
3622, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 oGrp
378, 33, 9grplid 15894 . . . . . . . . . . . . 13
3836, 31, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12 oGrp
39 nncn 10545 . . . . . . . . . . . . . . . 16
40 ax-1cn 9551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
41 addcom 9766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4240, 41mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4339, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
4443oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . 14
4519, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 oGrp
4622, 5, 63syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14 oGrp
47 1nn 10548 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 oGrp
498, 10, 33mulgnndir 15978 . . . . . . . . . . . . . 14
5046, 48, 19, 26, 49syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13 oGrp
518, 10mulg1 15963 . . . . . . . . . . . . . . 15
5226, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 oGrp
5352oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . 13 oGrp
5445, 50, 533eqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . 12 oGrp
5535, 38, 543brtr3d 4476 . . . . . . . . . . 11 oGrp
56 tospos 27405 . . . . . . . . . . . . . 14 Toset
5721, 4, 563syl 20 . . . . . . . . . . . . 13 oGrp
58 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13 oGrp
5928peano2zd 10970 . . . . . . . . . . . . . 14 oGrp
608, 10mulgcl 15973 . . . . . . . . . . . . . 14
6127, 59, 25, 60syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13 oGrp
628, 11, 12plelttr 15462 . . . . . . . . . . . . 13
6357, 58, 30, 61, 62syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . 12 oGrp
6463impl 620 . . . . . . . . . . 11 oGrp
6555, 64mpdan 668 . . . . . . . . . 10 oGrp
66 oveq1 6292 . . . . . . . . . . . 12
6766breq2d 4459 . . . . . . . . . . 11
6867rspcev 3214 . . . . . . . . . 10
6920, 65, 68syl2anc 661 . . . . . . . . 9 oGrp
7069adantllr 718 . . . . . . . 8 oGrp
71 simpr 461 . . . . . . . 8 oGrp
7217, 70, 71r19.29af 3001 . . . . . . 7 oGrp
73 oveq1 6292 . . . . . . . . 9
7473breq2d 4459 . . . . . . . 8
7574cbvrexv 3089 . . . . . . 7
7672, 75sylib 196 . . . . . 6 oGrp
7711, 12pltle 15451 . . . . . . . . 9 oGrp
7821, 58, 30, 77syl3anc 1228 . . . . . . . 8 oGrp
7978reximdva 2938 . . . . . . 7 oGrp
8079imp 429 . . . . . 6 oGrp
8176, 80impbida 830 . . . . 5 oGrp
8281pm5.74da 687 . . . 4 oGrp
8382ralbidva 2900 . . 3 oGrp
8483ralbidva 2900 . 2 oGrp
8514, 84bitrd 253 1 oGrp Archi
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  wrex 2815   class class class wbr 4447  cfv 5588  (class class class)co 6285  cc 9491  c1 9494   caddc 9496  cn 10537  cz 10865  cbs 14493   cplusg 14558  cple 14565  c0g 14698  cpo 15430  cplt 15431  Tosetctos 15523  cmnd 15729  cgrp 15730  .gcmg 15734  oMndcomnd 27446  oGrpcogrp 27447  Archicarchi 27480 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-seq 12077  df-0g 14700  df-poset 15436  df-plt 15448  df-toset 15524  df-mnd 15735  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-mulg 15874  df-omnd 27448  df-ogrp 27449  df-inftm 27481  df-archi 27482 This theorem is referenced by:  archiexdiv  27493  isarchiofld  27567
 Copyright terms: Public domain W3C validator