Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchi Structured version   Unicode version

Theorem isarchi 27913
Description: Express the predicate " W is Archimedean ". (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchi.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
isarchi.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
isarchi.i  |-  .<  =  (<<<
`  W )
Assertion
Ref Expression
isarchi  |-  ( W  e.  V  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x  .<  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, W, y
Allowed substitution hints:    .< ( x, y)    V( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem isarchi
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5791 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (<<< `  w )  =  (<<< `  W ) )
21eqeq1d 2398 . . 3  |-  ( w  =  W  ->  (
(<<< `  w )  =  (/) 
<->  (<<< `  W )  =  (/) ) )
3 df-archi 27910 . . 3  |- Archi  =  {
w  |  (<<< `  w
)  =  (/) }
42, 3elab2g 3190 . 2  |-  ( W  e.  V  ->  ( W  e. Archi  <->  (<<< `  W )  =  (/) ) )
5 isarchi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
65inftmrel 27911 . . 3  |-  ( W  e.  V  ->  (<<< `  W )  C_  ( B  X.  B ) )
7 ss0b 3759 . . . . 5  |-  ( (<<< `  W )  C_  (/)  <->  (<<< `  W
)  =  (/) )
8 ssrel2 5023 . . . . 5  |-  ( (<<< `  W )  C_  ( B  X.  B )  -> 
( (<<< `  W )  C_  (/)  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  ->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) ) )
97, 8syl5bbr 259 . . . 4  |-  ( (<<< `  W )  C_  ( B  X.  B )  -> 
( (<<< `  W )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( <. x ,  y
>.  e.  (<<< `  W )  ->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) ) )
10 noel 3732 . . . . . . . 8  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
1110nbn 345 . . . . . . 7  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) )
12 isarchi.i . . . . . . . . 9  |-  .<  =  (<<<
`  W )
1312breqi 4390 . . . . . . . 8  |-  ( x 
.<  y  <->  x (<<< `  W
) y )
14 df-br 4385 . . . . . . . 8  |-  ( x (<<< `  W ) y  <->  <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W ) )
1513, 14bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( x 
.<  y  <->  <. x ,  y
>.  e.  (<<< `  W ) )
1611, 15xchnxbir 307 . . . . . 6  |-  ( -.  x  .<  y  <->  ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) )
1710pm2.21i 131 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (/)  ->  <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W ) )
18 dfbi2 626 . . . . . . 7  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )  <->  ( ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  ->  <. x ,  y >.  e.  (/) )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  (/)  ->  <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W ) ) ) )
1917, 18mpbiran2 917 . . . . . 6  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  ->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) )
2016, 19bitri 249 . . . . 5  |-  ( -.  x  .<  y  <->  ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  ->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) )
21202ralbii 2828 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x  .<  y  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  ->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) )
229, 21syl6bbr 263 . . 3  |-  ( (<<< `  W )  C_  ( B  X.  B )  -> 
( (<<< `  W )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x  .<  y ) )
236, 22syl 16 . 2  |-  ( W  e.  V  ->  (
(<<< `  W )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x  .<  y ) )
244, 23bitrd 253 1  |-  ( W  e.  V  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x  .<  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1399    e. wcel 1836   A.wral 2746    C_ wss 3406   (/)c0 3728   <.cop 3967   class class class wbr 4384    X. cxp 4928   ` cfv 5513   Basecbs 14657   0gc0g 14870  <<<cinftm 27907  Archicarchi 27908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-ral 2751  df-rex 2752  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4181  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-id 4726  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fv 5521  df-ov 6221  df-inftm 27909  df-archi 27910
This theorem is referenced by:  xrnarchi  27915  isarchi2  27916
  Copyright terms: Public domain W3C validator