Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchi Structured version   Unicode version

Theorem isarchi 26150
Description: Express the predicate " W is Archimedean ". (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchi.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
isarchi.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
isarchi.i  |-  .<  =  (<<<
`  W )
Assertion
Ref Expression
isarchi  |-  ( W  e.  V  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x  .<  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, W, y
Allowed substitution hints:    .< ( x, y)    V( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem isarchi
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2976 . . 3  |-  ( W  e.  V  ->  W  e.  _V )
2 fveq2 5686 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (<<< `  w )  =  (<<< `  W ) )
32eqeq1d 2446 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (
(<<< `  w )  =  (/) 
<->  (<<< `  W )  =  (/) ) )
4 df-archi 26147 . . . . 5  |- Archi  =  {
w  e.  _V  | 
(<<< `  w )  =  (/) }
53, 4elrab2 3114 . . . 4  |-  ( W  e. Archi 
<->  ( W  e.  _V  /\  (<<< `  W )  =  (/) ) )
65baib 896 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( W  e. Archi  <->  (<<< `  W )  =  (/) ) )
71, 6syl 16 . 2  |-  ( W  e.  V  ->  ( W  e. Archi  <->  (<<< `  W )  =  (/) ) )
8 isarchi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
98inftmrel 26148 . . 3  |-  ( W  e.  V  ->  (<<< `  W )  C_  ( B  X.  B ) )
10 ss0b 3662 . . . . 5  |-  ( (<<< `  W )  C_  (/)  <->  (<<< `  W
)  =  (/) )
11 ssrel2 4925 . . . . 5  |-  ( (<<< `  W )  C_  ( B  X.  B )  -> 
( (<<< `  W )  C_  (/)  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  ->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) ) )
1210, 11syl5bbr 259 . . . 4  |-  ( (<<< `  W )  C_  ( B  X.  B )  -> 
( (<<< `  W )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( <. x ,  y
>.  e.  (<<< `  W )  ->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) ) )
13 noel 3636 . . . . . . . 8  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
1413nbn 347 . . . . . . 7  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) )
15 isarchi.i . . . . . . . . 9  |-  .<  =  (<<<
`  W )
1615breqi 4293 . . . . . . . 8  |-  ( x 
.<  y  <->  x (<<< `  W
) y )
17 df-br 4288 . . . . . . . 8  |-  ( x (<<< `  W ) y  <->  <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W ) )
1816, 17bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( x 
.<  y  <->  <. x ,  y
>.  e.  (<<< `  W ) )
1914, 18xchnxbir 309 . . . . . 6  |-  ( -.  x  .<  y  <->  ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) )
2013pm2.21i 131 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (/)  ->  <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W ) )
21 dfbi2 628 . . . . . . 7  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )  <->  ( ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  ->  <. x ,  y >.  e.  (/) )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  (/)  ->  <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W ) ) ) )
2220, 21mpbiran2 910 . . . . . 6  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  ->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) )
2319, 22bitri 249 . . . . 5  |-  ( -.  x  .<  y  <->  ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  ->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) )
24232ralbii 2736 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x  .<  y  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  ->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) )
2512, 24syl6bbr 263 . . 3  |-  ( (<<< `  W )  C_  ( B  X.  B )  -> 
( (<<< `  W )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x  .<  y ) )
269, 25syl 16 . 2  |-  ( W  e.  V  ->  (
(<<< `  W )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x  .<  y ) )
277, 26bitrd 253 1  |-  ( W  e.  V  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x  .<  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   (/)c0 3632   <.cop 3878   class class class wbr 4287    X. cxp 4833   ` cfv 5413   Basecbs 14166   0gc0g 14370  <<<cinftm 26144  Archicarchi 26145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fv 5421  df-ov 6089  df-inftm 26146  df-archi 26147
This theorem is referenced by:  xrnarchi  26152  isarchi2  26153
  Copyright terms: Public domain W3C validator