Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchi Structured version   Unicode version

Theorem isarchi 27374
Description: Express the predicate " W is Archimedean ". (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchi.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
isarchi.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
isarchi.i  |-  .<  =  (<<<
`  W )
Assertion
Ref Expression
isarchi  |-  ( W  e.  V  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x  .<  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, W, y
Allowed substitution hints:    .< ( x, y)    V( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem isarchi
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3115 . . 3  |-  ( W  e.  V  ->  W  e.  _V )
2 fveq2 5857 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (<<< `  w )  =  (<<< `  W ) )
32eqeq1d 2462 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
(<<< `  w )  =  (/) 
<->  (<<< `  W )  =  (/) ) )
4 df-archi 27371 . . . 4  |- Archi  =  {
w  |  (<<< `  w
)  =  (/) }
53, 4elab2g 3245 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( W  e. Archi  <->  (<<< `  W )  =  (/) ) )
61, 5syl 16 . 2  |-  ( W  e.  V  ->  ( W  e. Archi  <->  (<<< `  W )  =  (/) ) )
7 isarchi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
87inftmrel 27372 . . 3  |-  ( W  e.  V  ->  (<<< `  W )  C_  ( B  X.  B ) )
9 ss0b 3808 . . . . 5  |-  ( (<<< `  W )  C_  (/)  <->  (<<< `  W
)  =  (/) )
10 ssrel2 5084 . . . . 5  |-  ( (<<< `  W )  C_  ( B  X.  B )  -> 
( (<<< `  W )  C_  (/)  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  ->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) ) )
119, 10syl5bbr 259 . . . 4  |-  ( (<<< `  W )  C_  ( B  X.  B )  -> 
( (<<< `  W )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( <. x ,  y
>.  e.  (<<< `  W )  ->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) ) )
12 noel 3782 . . . . . . . 8  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
1312nbn 347 . . . . . . 7  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) )
14 isarchi.i . . . . . . . . 9  |-  .<  =  (<<<
`  W )
1514breqi 4446 . . . . . . . 8  |-  ( x 
.<  y  <->  x (<<< `  W
) y )
16 df-br 4441 . . . . . . . 8  |-  ( x (<<< `  W ) y  <->  <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W ) )
1715, 16bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( x 
.<  y  <->  <. x ,  y
>.  e.  (<<< `  W ) )
1813, 17xchnxbir 309 . . . . . 6  |-  ( -.  x  .<  y  <->  ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) )
1912pm2.21i 131 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (/)  ->  <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W ) )
20 dfbi2 628 . . . . . . 7  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )  <->  ( ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  ->  <. x ,  y >.  e.  (/) )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  (/)  ->  <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W ) ) ) )
2119, 20mpbiran2 912 . . . . . 6  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  ->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) )
2218, 21bitri 249 . . . . 5  |-  ( -.  x  .<  y  <->  ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  ->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) )
23222ralbii 2889 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x  .<  y  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  (<<< `  W )  ->  <. x ,  y >.  e.  (/) ) )
2411, 23syl6bbr 263 . . 3  |-  ( (<<< `  W )  C_  ( B  X.  B )  -> 
( (<<< `  W )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x  .<  y ) )
258, 24syl 16 . 2  |-  ( W  e.  V  ->  (
(<<< `  W )  =  (/) 
<-> 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x  .<  y ) )
266, 25bitrd 253 1  |-  ( W  e.  V  ->  ( W  e. Archi  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  x  .<  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   (/)c0 3778   <.cop 4026   class class class wbr 4440    X. cxp 4990   ` cfv 5579   Basecbs 14479   0gc0g 14684  <<<cinftm 27368  Archicarchi 27369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fv 5587  df-ov 6278  df-inftm 27370  df-archi 27371
This theorem is referenced by:  xrnarchi  27376  isarchi2  27377
  Copyright terms: Public domain W3C validator