Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isacs5 Structured version   Unicode version

Theorem isacs5 15929
 Description: A closure system is algebraic iff the closure of a generating set is the union of the closures of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f mrCls
Assertion
Ref Expression
isacs5 ACS Moore
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem isacs5
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacs3lem 15923 . . 3 ACS Moore toInc Dirset
2 acsdrscl.f . . . 4 mrCls
32isacs4lem 15925 . . 3 Moore toInc Dirset Moore toInc Dirset
42isacs5lem 15926 . . 3 Moore toInc Dirset Moore
51, 3, 43syl 20 . 2 ACS Moore
6 simpl 457 . . 3 Moore Moore
7 elpwi 4024 . . . . . . . . 9
82mrcidb2 15035 . . . . . . . . 9 Moore
97, 8sylan2 474 . . . . . . . 8 Moore
109adantr 465 . . . . . . 7 Moore
11 simpr 461 . . . . . . . . . 10 Moore
122mrcf 15026 . . . . . . . . . . . 12 Moore
13 ffun 5739 . . . . . . . . . . . 12
14 funiunfv 6161 . . . . . . . . . . . 12
1512, 13, 143syl 20 . . . . . . . . . . 11 Moore
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 Moore
1711, 16eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9 Moore
1817sseq1d 3526 . . . . . . . 8 Moore
19 iunss 4373 . . . . . . . 8
2018, 19syl6bb 261 . . . . . . 7 Moore
2110, 20bitrd 253 . . . . . 6 Moore
2221ex 434 . . . . 5 Moore
2322ralimdva 2865 . . . 4 Moore
2423imp 429 . . 3 Moore
252isacs2 15070 . . 3 ACS Moore
266, 24, 25sylanbrc 664 . 2 Moore ACS
275, 26impbii 188 1 ACS Moore
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807   cin 3470   wss 3471  cpw 4015  cuni 4251  ciun 4332  cima 5011   wfun 5588  wf 5590  cfv 5594  cfn 7535  Moorecmre 14999  mrClscmrc 15000  ACScacs 15002  Dirsetcdrs 15683  toInccipo 15908 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ocomp 14733  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-preset 15684  df-drs 15685  df-poset 15702  df-ipo 15909 This theorem is referenced by:  isacs4  15930
 Copyright terms: Public domain W3C validator