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Theorem isacs4lem 15671
 Description: In a closure system in which directed unions of closed sets are closed, closure commutes with directed unions. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f mrCls
Assertion
Ref Expression
isacs4lem Moore toInc Dirset Moore toInc Dirset
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem isacs4lem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . . . . 7 Moore toInc Dirset toInc Dirset Moore
2 elpwi 4025 . . . . . . . 8
32ad2antrl 727 . . . . . . 7 Moore toInc Dirset toInc Dirset
4 acsdrscl.f . . . . . . . 8 mrCls
54mrcuni 14892 . . . . . . 7 Moore
61, 3, 5syl2anc 661 . . . . . 6 Moore toInc Dirset toInc Dirset
74mrcf 14880 . . . . . . . . . . . 12 Moore
8 ffn 5737 . . . . . . . . . . . 12
97, 8syl 16 . . . . . . . . . . 11 Moore
109adantr 465 . . . . . . . . . 10 Moore toInc Dirset
11 simpll 753 . . . . . . . . . . 11 Moore toInc Dirset Moore
12 simprl 755 . . . . . . . . . . 11 Moore toInc Dirset
13 simprr 756 . . . . . . . . . . 11 Moore toInc Dirset
1411, 4, 12, 13mrcssd 14895 . . . . . . . . . 10 Moore toInc Dirset
15 simprr 756 . . . . . . . . . 10 Moore toInc Dirset toInc Dirset
162ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 Moore toInc Dirset
17 fvex 5882 . . . . . . . . . . . 12 mrCls
184, 17eqeltri 2551 . . . . . . . . . . 11
19 imaexg 6732 . . . . . . . . . . 11
2018, 19mp1i 12 . . . . . . . . . 10 Moore toInc Dirset
2110, 14, 15, 16, 20ipodrsima 15668 . . . . . . . . 9 Moore toInc Dirset toInc Dirset
2221adantlr 714 . . . . . . . 8 Moore toInc Dirset toInc Dirset toInc Dirset
23 imassrn 5354 . . . . . . . . . . . 12
24 frn 5743 . . . . . . . . . . . . 13
257, 24syl 16 . . . . . . . . . . . 12 Moore
2623, 25syl5ss 3520 . . . . . . . . . . 11 Moore
2718, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
2827elpw 4022 . . . . . . . . . . 11
2926, 28sylibr 212 . . . . . . . . . 10 Moore
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 Moore toInc Dirset toInc Dirset
31 simplr 754 . . . . . . . . 9 Moore toInc Dirset toInc Dirset toInc Dirset
32 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12 toInc toInc
3332eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11 toInc Dirset toInc Dirset
34 unieq 4259 . . . . . . . . . . . 12
3534eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11
3633, 35imbi12d 320 . . . . . . . . . 10 toInc Dirset toInc Dirset
3736rspcva 3217 . . . . . . . . 9 toInc Dirset toInc Dirset
3830, 31, 37syl2anc 661 . . . . . . . 8 Moore toInc Dirset toInc Dirset toInc Dirset
3922, 38mpd 15 . . . . . . 7 Moore toInc Dirset toInc Dirset
404mrcid 14884 . . . . . . 7 Moore
411, 39, 40syl2anc 661 . . . . . 6 Moore toInc Dirset toInc Dirset
426, 41eqtrd 2508 . . . . 5 Moore toInc Dirset toInc Dirset
4342exp32 605 . . . 4 Moore toInc Dirset toInc Dirset
4443ralrimiv 2879 . . 3 Moore toInc Dirset toInc Dirset
4544ex 434 . 2 Moore toInc Dirset toInc Dirset
4645imdistani 690 1 Moore toInc Dirset Moore toInc Dirset
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  cvv 3118   wss 3481  cpw 4016  cuni 4251   crn 5006  cima 5008   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  Moorecmre 14853  mrClscmrc 14854  Dirsetcdrs 15430  toInccipo 15654 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ocomp 14592  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-preset 15431  df-drs 15432  df-poset 15449  df-ipo 15655 This theorem is referenced by:  acsdrscl  15673  acsficl  15674  isacs5  15675  isacs4  15676  isacs3  15677
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