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Theorem isacs3lem 15669
Description: An algebraic closure system satisfies isacs3 15677. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isacs3lem  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
Distinct variable groups:    C, s    X, s

Proof of Theorem isacs3lem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmre 14923 . 2  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  C  e.  (Moore `  X ) )
2 mresspw 14863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  C  C_  ~P X )
31, 2syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  C  C_  ~P X )
4 sspwb 4702 . . . . . . . . . 10  |-  ( C 
C_  ~P X  <->  ~P C  C_ 
~P ~P X )
53, 4sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ~P C  C_ 
~P ~P X )
65sselda 3509 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
s  e.  ~P ~P X )
76elpwid 4026 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
s  C_  ~P X
)
8 sspwuni 4417 . . . . . . 7  |-  ( s 
C_  ~P X  <->  U. s  C_  X )
97, 8sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  ->  U. s  C_  X )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  (toInc `  s
)  e. Dirset )  ->  U. s  C_  X )
11 inss1 3723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P
U. s  i^i  Fin )  C_  ~P U. s
1211sseli 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P U. s
)
1312elpwid 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  ->  x  C_  U. s )
14 inss2 3724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P
U. s  i^i  Fin )  C_  Fin
1514sseli 3505 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
16 fissuni 7837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  U. s  /\  x  e.  Fin )  ->  E. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) x  C_  U. y
)
1713, 15, 16syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  ->  E. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
x  C_  U. y
)
1817ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin ) ) )  ->  E. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) x  C_  U. y
)
191ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  C  e.  (Moore `  X ) )
20 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  (mrCls `  C )  =  (mrCls `  C )
21 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  x  C_  U. y
)
22 inss1 3723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P s  i^i  Fin )  C_ 
~P s
2322sseli 3505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  e.  ~P s )
2423elpwid 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  C_  s )
2524unissd 4275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  U. y  C_ 
U. s )
2625ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  U. y  C_  U. s
)
279ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  U. s  C_  X
)
2826, 27sstrd 3519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  U. y  C_  X
)
2919, 20, 21, 28mrcssd 14895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  x
)  C_  ( (mrCls `  C ) `  U. y ) )
30 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  (toInc `  s )  e. Dirset )
3124adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  s )
32 inss2 3724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ~P s  i^i  Fin )  C_ 
Fin
3332sseli 3505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
35 ipodrsfi 15666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  C_  s  /\  y  e.  Fin )  ->  E. x  e.  s 
U. y  C_  x
)
3630, 31, 34, 35syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  E. x  e.  s  U. y  C_  x )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ) )  ->  E. x  e.  s 
U. y  C_  x
)
381ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  C  e.  (Moore `  X )
)
39 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  U. y  C_  x )
40 elpwi 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  ~P C  -> 
s  C_  C )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
s  C_  C )
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  s  C_  C )
43 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  x  e.  s )
4442, 43sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  x  e.  C )
4520mrcsscl 14891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U. y  C_  x  /\  x  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) `  U. y )  C_  x )
4638, 39, 44, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  (
(mrCls `  C ) `  U. y )  C_  x )
47 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  s  ->  x  C_ 
U. s )
4847ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  x  C_ 
U. s )
4946, 48sstrd 3519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  (
(mrCls `  C ) `  U. y )  C_  U. s )
5037, 49rexlimddv 2963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  U. y )  C_  U. s
)
5150anassrs 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
)  ->  ( (mrCls `  C ) `  U. y )  C_  U. s
)
5251adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  /\  x  C_  U. y
) )  ->  (
(mrCls `  C ) `  U. y )  C_  U. s )
5352adantlrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  U. y )  C_  U. s
)
5429, 53sstrd 3519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  x
)  C_  U. s
)
5518, 54rexlimddv 2963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin ) ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  x
)  C_  U. s
)
5655anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset )  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin ) )  ->  (
(mrCls `  C ) `  x )  C_  U. s
)
5756ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  (toInc `  s
)  e. Dirset )  ->  A. x  e.  ( ~P
U. s  i^i  Fin ) ( (mrCls `  C ) `  x
)  C_  U. s
)
5820acsfiel 14925 . . . . . 6  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( U. s  e.  C  <->  ( U. s  C_  X  /\  A. x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )
( (mrCls `  C
) `  x )  C_ 
U. s ) ) )
5958ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  (toInc `  s
)  e. Dirset )  ->  ( U. s  e.  C  <->  ( U. s  C_  X  /\  A. x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ( (mrCls `  C ) `  x
)  C_  U. s
) ) )
6010, 57, 59mpbir2and 920 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  (toInc `  s
)  e. Dirset )  ->  U. s  e.  C )
6160ex 434 . . 3  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) )
6261ralrimiva 2881 . 2  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) )
631, 62jca 532 1  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   U.cuni 4251   ` cfv 5594   Fincfn 7528  Moorecmre 14853  mrClscmrc 14854  ACScacs 14856  Dirsetcdrs 15430  toInccipo 15654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ocomp 14592  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-preset 15431  df-drs 15432  df-poset 15449  df-ipo 15655
This theorem is referenced by:  acsdrsel  15670  acsdrscl  15673  acsficl  15674  isacs5  15675  isacs4  15676  isacs3  15677
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