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Theorem isacs3lem 16118
Description: An algebraic closure system satisfies isacs3 16126. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isacs3lem  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
Distinct variable groups:    C, s    X, s

Proof of Theorem isacs3lem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmre 15264 . 2  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  C  e.  (Moore `  X ) )
2 mresspw 15204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  C  C_  ~P X )
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  C  C_  ~P X )
4 sspwb 4639 . . . . . . . . . 10  |-  ( C 
C_  ~P X  <->  ~P C  C_ 
~P ~P X )
53, 4sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ~P C  C_ 
~P ~P X )
65sselda 3441 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
s  e.  ~P ~P X )
76elpwid 3964 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
s  C_  ~P X
)
8 sspwuni 4359 . . . . . . 7  |-  ( s 
C_  ~P X  <->  U. s  C_  X )
97, 8sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  ->  U. s  C_  X )
109adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  (toInc `  s
)  e. Dirset )  ->  U. s  C_  X )
11 inss1 3658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P
U. s  i^i  Fin )  C_  ~P U. s
1211sseli 3437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P U. s
)
1312elpwid 3964 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  ->  x  C_  U. s )
14 inss2 3659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P
U. s  i^i  Fin )  C_  Fin
1514sseli 3437 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
16 fissuni 7858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  U. s  /\  x  e.  Fin )  ->  E. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) x  C_  U. y
)
1713, 15, 16syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  ->  E. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
x  C_  U. y
)
1817ad2antll 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin ) ) )  ->  E. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) x  C_  U. y
)
191ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  C  e.  (Moore `  X ) )
20 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  (mrCls `  C )  =  (mrCls `  C )
21 simprr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  x  C_  U. y
)
22 inss1 3658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P s  i^i  Fin )  C_ 
~P s
2322sseli 3437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  e.  ~P s )
2423elpwid 3964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  C_  s )
2524unissd 4214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  U. y  C_ 
U. s )
2625ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  U. y  C_  U. s
)
279ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  U. s  C_  X
)
2826, 27sstrd 3451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  U. y  C_  X
)
2919, 20, 21, 28mrcssd 15236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  x
)  C_  ( (mrCls `  C ) `  U. y ) )
30 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  (toInc `  s )  e. Dirset )
3124adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  s )
32 inss2 3659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ~P s  i^i  Fin )  C_ 
Fin
3332sseli 3437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
3433adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
35 ipodrsfi 16115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  C_  s  /\  y  e.  Fin )  ->  E. x  e.  s 
U. y  C_  x
)
3630, 31, 34, 35syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  E. x  e.  s  U. y  C_  x )
3736adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ) )  ->  E. x  e.  s 
U. y  C_  x
)
381ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  C  e.  (Moore `  X )
)
39 simprr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  U. y  C_  x )
40 elpwi 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  ~P C  -> 
s  C_  C )
4140adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
s  C_  C )
4241ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  s  C_  C )
43 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  x  e.  s )
4442, 43sseldd 3442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  x  e.  C )
4520mrcsscl 15232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U. y  C_  x  /\  x  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) `  U. y )  C_  x )
4638, 39, 44, 45syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  (
(mrCls `  C ) `  U. y )  C_  x )
47 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  s  ->  x  C_ 
U. s )
4847ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  x  C_ 
U. s )
4946, 48sstrd 3451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  (
(mrCls `  C ) `  U. y )  C_  U. s )
5037, 49rexlimddv 2899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  U. y )  C_  U. s
)
5150anassrs 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
)  ->  ( (mrCls `  C ) `  U. y )  C_  U. s
)
5251adantrr 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  /\  x  C_  U. y
) )  ->  (
(mrCls `  C ) `  U. y )  C_  U. s )
5352adantlrr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  U. y )  C_  U. s
)
5429, 53sstrd 3451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  x
)  C_  U. s
)
5518, 54rexlimddv 2899 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin ) ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  x
)  C_  U. s
)
5655anassrs 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset )  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin ) )  ->  (
(mrCls `  C ) `  x )  C_  U. s
)
5756ralrimiva 2817 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  (toInc `  s
)  e. Dirset )  ->  A. x  e.  ( ~P
U. s  i^i  Fin ) ( (mrCls `  C ) `  x
)  C_  U. s
)
5820acsfiel 15266 . . . . . 6  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( U. s  e.  C  <->  ( U. s  C_  X  /\  A. x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )
( (mrCls `  C
) `  x )  C_ 
U. s ) ) )
5958ad2antrr 724 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  (toInc `  s
)  e. Dirset )  ->  ( U. s  e.  C  <->  ( U. s  C_  X  /\  A. x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ( (mrCls `  C ) `  x
)  C_  U. s
) ) )
6010, 57, 59mpbir2and 923 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  (toInc `  s
)  e. Dirset )  ->  U. s  e.  C )
6160ex 432 . . 3  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) )
6261ralrimiva 2817 . 2  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) )
631, 62jca 530 1  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754    i^i cin 3412    C_ wss 3413   ~Pcpw 3954   U.cuni 4190   ` cfv 5568   Fincfn 7553  Moorecmre 15194  mrClscmrc 15195  ACScacs 15197  Dirsetcdrs 15878  toInccipo 16103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ocomp 14928  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-preset 15879  df-drs 15880  df-poset 15897  df-ipo 16104
This theorem is referenced by:  acsdrsel  16119  acsdrscl  16122  acsficl  16123  isacs5  16124  isacs4  16125  isacs3  16126
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