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Theorem isacs2 14908
Description: In the definition of an algebraic closure system, we may always take the operation being closed over as the Moore closure. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isacs2.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
isacs2  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
) ) )
Distinct variable groups:    C, s,
y    F, s, y    X, s, y

Proof of Theorem isacs2
Dummy variables  f 
t  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacs 14906 . 2  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t ) ) ) )
2 iunss 4366 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z ) 
C_  t  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t )
3 ffun 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  Fun  f )
4 funiunfv 6148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  f  ->  U_ z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  = 
U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) ) )
53, 4syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  U_ z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  =  U. ( f " ( ~P t  i^i  Fin )
) )
65sseq1d 3531 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  ( U_ z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t 
<-> 
U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t ) )
72, 6syl5rbbr 260 . . . . . . . 8  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  ( U. ( f
" ( ~P t  i^i  Fin ) )  C_  t 
<-> 
A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )
87bibi2d 318 . . . . . . 7  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  ( ( t  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t )  <->  ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) ) )
98ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  ( A. t  e. 
~P  X ( t  e.  C  <->  U. (
f " ( ~P t  i^i  Fin )
)  C_  t )  <->  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )
109pm5.32i 637 . . . . 5  |-  ( ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  U. (
f " ( ~P t  i^i  Fin )
)  C_  t )
)  <->  ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) ) )
1110exbii 1644 . . . 4  |-  ( E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t ) )  <->  E. f
( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )
12 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  C )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  ->  C  e.  (Moore `  X
) )
13 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~P s  i^i  Fin )  C_ 
~P s
1413sseli 3500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  e.  ~P s )
15 elpwi 4019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ~P s  -> 
y  C_  s )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  C_  s )
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  C )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  -> 
y  C_  s )
18 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  C )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  -> 
s  e.  C )
19 isacs2.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  (mrCls `  C )
2019mrcsscl 14875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  y  C_  s  /\  s  e.  C )  ->  ( F `  y )  C_  s )
2112, 17, 18, 20syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  C )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  -> 
( F `  y
)  C_  s )
2221ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  C )  ->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s )
2322adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P X )  /\  s  e.  C )  ->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
)
2423adantllr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  s  e.  C )  ->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
)
25 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  C  e.  (Moore `  X ) )
2616adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  s
)
27 elpwi 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  ~P X  -> 
s  C_  X )
2827ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  s  C_  X
)
2926, 28sstrd 3514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  X
)
3025, 19, 29mrcssidd 14880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  ( F `  y )
)
31 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
3231elpw 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ~P ( F `
 y )  <->  y  C_  ( F `  y ) )
3330, 32sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  ~P ( F `  y ) )
34 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ~P s  i^i  Fin )  C_ 
Fin
3534sseli 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
3635adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
3733, 36elind 3688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin ) )
3819mrccl 14866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  y  C_  X )  ->  ( F `  y )  e.  C )
3925, 29, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  ( F `  y )  e.  C
)
40 mresspw 14847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  C  C_  ~P X )
4140ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  C  C_  ~P X )
4241, 39sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  ( F `  y )  e.  ~P X )
43 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  (
f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t ) ) )  ->  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )
45 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  (
t  e.  C  <->  ( F `  y )  e.  C
) )
46 pweq 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  ~P t  =  ~P ( F `  y )
)
4746ineq1d 3699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  ( ~P t  i^i  Fin )  =  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin ) )
48 sseq2 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  (
( f `  z
)  C_  t  <->  ( f `  z )  C_  ( F `  y )
) )
4947, 48raleqbidv 3072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  ( A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t  <->  A. z  e.  ( ~P ( F `
 y )  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  ( F `  y ) ) )
5045, 49bibi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  (
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )  <->  ( ( F `  y
)  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P ( F `
 y )  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  ( F `  y ) ) ) )
5150rspcva 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )  ->  (
( F `  y
)  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P ( F `
 y )  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  ( F `  y ) ) )
5242, 44, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  ( ( F `
 y )  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  ( F `  y )
) )
5339, 52mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  A. z  e.  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  ( F `  y )
)
54 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  y  ->  (
f `  z )  =  ( f `  y ) )
5554sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  y  ->  (
( f `  z
)  C_  ( F `  y )  <->  ( f `  y )  C_  ( F `  y )
) )
5655rspcva 3212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ( ~P ( F `  y
)  i^i  Fin )  /\  A. z  e.  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  ( F `  y )
)  ->  ( f `  y )  C_  ( F `  y )
)
5737, 53, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  ( f `  y )  C_  ( F `  y )
)
58 sstr2 3511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  y ) 
C_  ( F `  y )  ->  (
( F `  y
)  C_  s  ->  ( f `  y ) 
C_  s ) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  ( ( F `
 y )  C_  s  ->  ( f `  y )  C_  s
) )
6059ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  (
f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t ) ) )  /\  s  e.  ~P X )  ->  ( A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s  ->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( f `  y
)  C_  s )
)
6160imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( f `  y )  C_  s
)
62 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
f `  y )  =  ( f `  z ) )
6362sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( f `  y
)  C_  s  <->  ( f `  z )  C_  s
) )
6463cbvralv 3088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( f `  y ) 
C_  s  <->  A. z  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  s )
6561, 64sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  A. z  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  s
)
66 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  s  e.  ~P X
)
6743ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )
68 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  (
t  e.  C  <->  s  e.  C ) )
69 pweq 4013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  s  ->  ~P t  =  ~P s
)
7069ineq1d 3699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  s  ->  ( ~P t  i^i  Fin )  =  ( ~P s  i^i  Fin ) )
71 sseq2 3526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  s  ->  (
( f `  z
)  C_  t  <->  ( f `  z )  C_  s
) )
7270, 71raleqbidv 3072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  ( A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t  <->  A. z  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  s ) )
7368, 72bibi12d 321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  s  ->  (
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )  <->  ( s  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  s ) ) )
7473rspcva 3212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )  ->  (
s  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  s ) )
7566, 67, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  ( s  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  s )
)
7665, 75mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  s  e.  C )
7724, 76impbida 830 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  (
f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t ) ) )  /\  s  e.  ~P X )  ->  (
s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) )
7877ralrimiva 2878 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  (
f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t ) ) )  ->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
) )
7978ex 434 . . . . . 6  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( (
f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t ) )  ->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
) ) )
8079exlimdv 1700 . . . . 5  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )  ->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) ) )
8119mrcf 14864 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  F : ~P X --> C )
82 fss 5739 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : ~P X --> C  /\  C  C_  ~P X )  ->  F : ~P X --> ~P X
)
8381, 40, 82syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  F : ~P X --> ~P X )
84 fvex 5876 . . . . . . . . 9  |-  (mrCls `  C )  e.  _V
8519, 84eqeltri 2551 . . . . . . . 8  |-  F  e. 
_V
86 feq1 5713 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f : ~P X --> ~P X  <->  F : ~P X --> ~P X ) )
87 fveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  z )  =  ( F `  z ) )
8887sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  z
)  C_  t  <->  ( F `  z )  C_  t
) )
8988ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  ( A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( F `
 z )  C_  t ) )
90 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
9190sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( F `  z
)  C_  t  <->  ( F `  y )  C_  t
) )
9291cbvralv 3088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( F `  z ) 
C_  t  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  t )
9389, 92syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  ( A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  t ) )
9493bibi2d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )  <->  ( t  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  t ) ) )
9594ralbidv 2903 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  ( A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
)  <->  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  t
) ) )
96 sseq2 3526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  (
( F `  y
)  C_  t  <->  ( F `  y )  C_  s
) )
9770, 96raleqbidv 3072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  s  ->  ( A. y  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  t  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) )
9868, 97bibi12d 321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  s  ->  (
( t  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  t )  <->  ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) ) )
9998cbvralv 3088 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  t )  <->  A. s  e.  ~P  X
( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )
)
10095, 99syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  ( A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
)  <->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
) ) )
10186, 100anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
)  <->  ( F : ~P X --> ~P X  /\  A. s  e.  ~P  X
( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )
) ) )
10285, 101spcev 3205 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ~P X --> ~P X  /\  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) )  ->  E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) ) )
10383, 102sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X
( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )
)  ->  E. f
( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )
104103ex 434 . . . . 5  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( A. s  e.  ~P  X
( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) ) ) )
10580, 104impbid 191 . . . 4  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )  <->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) ) )
10611, 105syl5bb 257 . . 3  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t ) )  <->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) ) )
107106pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t ) ) )  <-> 
( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X
( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )
) )
1081, 107bitri 249 1  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   U_ciun 4325   "cima 5002   Fun wfun 5582   -->wf 5584   ` cfv 5588   Fincfn 7516  Moorecmre 14837  mrClscmrc 14838  ACScacs 14840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844
This theorem is referenced by:  acsfiel  14909  isacs5  15659
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