Theorem isacs2 14612

Description: In the definition of an algebraic closure system, we may always take the operation being closed over as the Moore closure. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isacs2.f	|- F = (mrCls ` C )

Assertion

Ref	Expression
isacs2	|- ( C e. (ACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) )

Distinct variable groups:   C, s, y   F, s, y   X, s, y

Proof of Theorem isacs2

Dummy variables f t z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 14610	. 2 |- ( C e. (ACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ E. f ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ t ) ) ) )
2		iunss 4232	. . . . . . . . 9 |- ( U_ z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t )
3		ffun 5582	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : ~P X --> ~P X -> Fun f )
4		funiunfv 5986	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun f -> U_ z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) = U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) )
5	3, 4	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ~P X --> ~P X -> U_ z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) = U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) )
6	5	sseq1d 3404	. . . . . . . . 9 |- ( f : ~P X --> ~P X -> ( U_ z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t <-> U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ t ) )
7	2, 6	syl5rbbr 260	. . . . . . . 8 |- ( f : ~P X --> ~P X -> ( U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ t <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) )
8	7	bibi2d 318	. . . . . . 7 |- ( f : ~P X --> ~P X -> ( ( t e. C <-> U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ t ) <-> ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) )
9	8	ralbidv 2756	. . . . . 6 |- ( f : ~P X --> ~P X -> ( A. t e. ~P X ( t e. C <-> U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ t ) <-> A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) )
10	9	pm5.32i 637	. . . . 5 |- ( ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ t ) ) <-> ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) )
11	10	exbii 1634	. . . 4 |- ( E. f ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ t ) ) <-> E. f ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) )
12		simpll 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. C ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> C e. (Moore ` X ) )
13		inss1 3591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ~P s i^i Fin ) C_ ~P s
14	13	sseli 3373	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ~P s i^i Fin ) -> y e. ~P s )
15		elpwi 3890	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ~P s -> y C_ s )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ~P s i^i Fin ) -> y C_ s )
17	16	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. C ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> y C_ s )
18		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. C ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> s e. C )
19		isacs2.f	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F = (mrCls ` C )
20	19	mrcsscl 14579	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ y C_ s /\ s e. C ) -> ( F ` y ) C_ s )
21	12, 17, 18, 20	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. C ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> ( F ` y ) C_ s )
22	21	ralrimiva 2820	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. C ) -> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s )
23	22	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. ~P X ) /\ s e. C ) -> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s )
24	23	adantllr 718	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ s e. C ) -> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s )
25		simplll 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> C e. (Moore ` X ) )
26	16	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> y C_ s )
27		elpwi 3890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s e. ~P X -> s C_ X )
28	27	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> s C_ X )
29	26, 28	sstrd 3387	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> y C_ X )
30	25, 19, 29	mrcssidd 14584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> y C_ ( F ` y ) )
31		vex 2996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- y e. _V
32	31	elpw 3887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ~P ( F ` y ) <-> y C_ ( F ` y ) )
33	30, 32	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> y e. ~P ( F ` y ) )
34		inss2 3592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ~P s i^i Fin ) C_ Fin
35	34	sseli 3373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( ~P s i^i Fin ) -> y e. Fin )
36	35	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
37	33, 36	elind 3561	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> y e. ( ~P ( F ` y ) i^i Fin ) )
38	19	mrccl 14570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ y C_ X ) -> ( F ` y ) e. C )
39	25, 29, 38	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> ( F ` y ) e. C )
40		mresspw 14551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( C e. (Moore ` X ) -> C C_ ~P X )
41	40	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> C C_ ~P X )
42	41, 39	sseldd 3378	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> ( F ` y ) e. ~P X )
43		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) -> A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) )
44	43	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) )
45		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t = ( F ` y ) -> ( t e. C <-> ( F ` y ) e. C ) )
46		pweq 3884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( t = ( F ` y ) -> ~P t = ~P ( F ` y ) )
47	46	ineq1d 3572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = ( F ` y ) -> ( ~P t i^i Fin ) = ( ~P ( F ` y ) i^i Fin ) )
48		sseq2 3399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = ( F ` y ) -> ( ( f ` z ) C_ t <-> ( f ` z ) C_ ( F ` y ) ) )
49	47, 48	raleqbidv 2952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t = ( F ` y ) -> ( A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t <-> A. z e. ( ~P ( F ` y ) i^i Fin ) ( f ` z ) C_ ( F ` y ) ) )
50	45, 49	bibi12d 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t = ( F ` y ) -> ( ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) <-> ( ( F ` y ) e. C <-> A. z e. ( ~P ( F ` y ) i^i Fin ) ( f ` z ) C_ ( F ` y ) ) ) )
51	50	rspcva 3092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` y ) e. ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) -> ( ( F ` y ) e. C <-> A. z e. ( ~P ( F ` y ) i^i Fin ) ( f ` z ) C_ ( F ` y ) ) )
52	42, 44, 51	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> ( ( F ` y ) e. C <-> A. z e. ( ~P ( F ` y ) i^i Fin ) ( f ` z ) C_ ( F ` y ) ) )
53	39, 52	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> A. z e. ( ~P ( F ` y ) i^i Fin ) ( f ` z ) C_ ( F ` y ) )
54		fveq2 5712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = y -> ( f ` z ) = ( f ` y ) )
55	54	sseq1d 3404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = y -> ( ( f ` z ) C_ ( F ` y ) <-> ( f ` y ) C_ ( F ` y ) ) )
56	55	rspcva 3092	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. ( ~P ( F ` y ) i^i Fin ) /\ A. z e. ( ~P ( F ` y ) i^i Fin ) ( f ` z ) C_ ( F ` y ) ) -> ( f ` y ) C_ ( F ` y ) )
57	37, 53, 56	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> ( f ` y ) C_ ( F ` y ) )
58		sstr2 3384	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` y ) C_ ( F ` y ) -> ( ( F ` y ) C_ s -> ( f ` y ) C_ s ) )
59	57, 58	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> ( ( F ` y ) C_ s -> ( f ` y ) C_ s ) )
60	59	ralimdva 2815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) -> ( A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s -> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( f ` y ) C_ s ) )
61	60	imp 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) -> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( f ` y ) C_ s )
62		fveq2 5712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( f ` y ) = ( f ` z ) )
63	62	sseq1d 3404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( ( f ` y ) C_ s <-> ( f ` z ) C_ s ) )
64	63	cbvralv 2968	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( f ` y ) C_ s <-> A. z e. ( ~P s i^i Fin ) ( f ` z ) C_ s )
65	61, 64	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) -> A. z e. ( ~P s i^i Fin ) ( f ` z ) C_ s )
66		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) -> s e. ~P X )
67	43	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) -> A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) )
68		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = s -> ( t e. C <-> s e. C ) )
69		pweq 3884	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = s -> ~P t = ~P s )
70	69	ineq1d 3572	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = s -> ( ~P t i^i Fin ) = ( ~P s i^i Fin ) )
71		sseq2 3399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = s -> ( ( f ` z ) C_ t <-> ( f ` z ) C_ s ) )
72	70, 71	raleqbidv 2952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = s -> ( A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t <-> A. z e. ( ~P s i^i Fin ) ( f ` z ) C_ s ) )
73	68, 72	bibi12d 321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = s -> ( ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) <-> ( s e. C <-> A. z e. ( ~P s i^i Fin ) ( f ` z ) C_ s ) ) )
74	73	rspcva 3092	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s e. ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) -> ( s e. C <-> A. z e. ( ~P s i^i Fin ) ( f ` z ) C_ s ) )
75	66, 67, 74	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) -> ( s e. C <-> A. z e. ( ~P s i^i Fin ) ( f ` z ) C_ s ) )
76	65, 75	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) -> s e. C )
77	24, 76	impbida 828	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) -> ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) )
78	77	ralrimiva 2820	. . . . . . 7 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) -> A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) )
79	78	ex 434	. . . . . 6 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) -> A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) )
80	79	exlimdv 1690	. . . . 5 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( E. f ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) -> A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) )
81	19	mrcf 14568	. . . . . . . 8 |- ( C e. (Moore ` X ) -> F : ~P X --> C )
82		fss 5588	. . . . . . . 8 |- ( ( F : ~P X --> C /\ C C_ ~P X ) -> F : ~P X --> ~P X )
83	81, 40, 82	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( C e. (Moore ` X ) -> F : ~P X --> ~P X )
84		fvex 5722	. . . . . . . . 9 |- (mrCls ` C ) e. _V
85	19, 84	eqeltri 2513	. . . . . . . 8 |- F e. _V
86		feq1 5563	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f : ~P X --> ~P X <-> F : ~P X --> ~P X ) )
87		fveq1 5711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = F -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
88	87	sseq1d 3404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = F -> ( ( f ` z ) C_ t <-> ( F ` z ) C_ t ) )
89	88	ralbidv 2756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = F -> ( A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( F ` z ) C_ t ) )
90		fveq2 5712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = y -> ( F ` z ) = ( F ` y ) )
91	90	sseq1d 3404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> ( ( F ` z ) C_ t <-> ( F ` y ) C_ t ) )
92	91	cbvralv 2968	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( F ` z ) C_ t <-> A. y e. ( ~P t i^i Fin ) ( F ` y ) C_ t )
93	89, 92	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t <-> A. y e. ( ~P t i^i Fin ) ( F ` y ) C_ t ) )
94	93	bibi2d 318	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> ( ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) <-> ( t e. C <-> A. y e. ( ~P t i^i Fin ) ( F ` y ) C_ t ) ) )
95	94	ralbidv 2756	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) <-> A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. y e. ( ~P t i^i Fin ) ( F ` y ) C_ t ) ) )
96		sseq2 3399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = s -> ( ( F ` y ) C_ t <-> ( F ` y ) C_ s ) )
97	70, 96	raleqbidv 2952	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = s -> ( A. y e. ( ~P t i^i Fin ) ( F ` y ) C_ t <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) )
98	68, 97	bibi12d 321	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = s -> ( ( t e. C <-> A. y e. ( ~P t i^i Fin ) ( F ` y ) C_ t ) <-> ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) )
99	98	cbvralv 2968	. . . . . . . . . 10 |- ( A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. y e. ( ~P t i^i Fin ) ( F ` y ) C_ t ) <-> A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) )
100	95, 99	syl6bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) <-> A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) )
101	86, 100	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) <-> ( F : ~P X --> ~P X /\ A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) ) )
102	85, 101	spcev 3085	. . . . . . 7 |- ( ( F : ~P X --> ~P X /\ A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) -> E. f ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) )
103	83, 102	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) -> E. f ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) )
104	103	ex 434	. . . . 5 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) -> E. f ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) )
105	80, 104	impbid 191	. . . 4 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( E. f ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) <-> A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) )
106	11, 105	syl5bb 257	. . 3 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( E. f ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ t ) ) <-> A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) )
107	106	pm5.32i 637	. 2 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ E. f ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ t ) ) ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) )
108	1, 107	bitri 249	1 |- ( C e. (ACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993   i^i cin 3348   C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   U.cuni 4112   U_ciun 4192   "cima 4864   Fun wfun 5433   -->wf 5435   ` cfv 5439   Fincfn 7331  Moorecmre 14541  mrClscmrc 14542  ACScacs 14544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-fv 5447  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548

This theorem is referenced by:  acsfiel  14613  isacs5  15363