Theorem isacs2 15559

Description: In the definition of an algebraic closure system, we may always take the operation being closed over as the Moore closure. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isacs2.f	|- F = (mrCls ` C )

Assertion

Ref	Expression
isacs2	|- ( C e. (ACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) )

Distinct variable groups:   C, s, y   F, s, y   X, s, y

Proof of Theorem isacs2

Dummy variables f t z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 15557	. 2 |- ( C e. (ACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ E. f ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ t ) ) ) )
2		iunss 4319	. . . . . . . . 9 |- ( U_ z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t )
3		ffun 5731	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : ~P X --> ~P X -> Fun f )
4		funiunfv 6153	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun f -> U_ z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) = U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ~P X --> ~P X -> U_ z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) = U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) )
6	5	sseq1d 3459	. . . . . . . . 9 |- ( f : ~P X --> ~P X -> ( U_ z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t <-> U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ t ) )
7	2, 6	syl5rbbr 264	. . . . . . . 8 |- ( f : ~P X --> ~P X -> ( U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ t <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) )
8	7	bibi2d 320	. . . . . . 7 |- ( f : ~P X --> ~P X -> ( ( t e. C <-> U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ t ) <-> ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) )
9	8	ralbidv 2827	. . . . . 6 |- ( f : ~P X --> ~P X -> ( A. t e. ~P X ( t e. C <-> U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ t ) <-> A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) )
10	9	pm5.32i 643	. . . . 5 |- ( ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ t ) ) <-> ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) )
11	10	exbii 1718	. . . 4 |- ( E. f ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ t ) ) <-> E. f ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) )
12		simpll 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. C ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> C e. (Moore ` X ) )
13		inss1 3652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ~P s i^i Fin ) C_ ~P s
14	13	sseli 3428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ~P s i^i Fin ) -> y e. ~P s )
15		elpwi 3960	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ~P s -> y C_ s )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ~P s i^i Fin ) -> y C_ s )
17	16	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. C ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> y C_ s )
18		simplr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. C ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> s e. C )
19		isacs2.f	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F = (mrCls ` C )
20	19	mrcsscl 15526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ y C_ s /\ s e. C ) -> ( F ` y ) C_ s )
21	12, 17, 18, 20	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. C ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> ( F ` y ) C_ s )
22	21	ralrimiva 2802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. C ) -> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s )
23	22	adantlr 721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ s e. ~P X ) /\ s e. C ) -> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s )
24	23	adantllr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ s e. C ) -> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s )
25		simplll 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> C e. (Moore ` X ) )
26	16	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> y C_ s )
27		elpwi 3960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s e. ~P X -> s C_ X )
28	27	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> s C_ X )
29	26, 28	sstrd 3442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> y C_ X )
30	25, 19, 29	mrcssidd 15531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> y C_ ( F ` y ) )
31		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- y e. _V
32	31	elpw 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ~P ( F ` y ) <-> y C_ ( F ` y ) )
33	30, 32	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> y e. ~P ( F ` y ) )
34		inss2 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ~P s i^i Fin ) C_ Fin
35	34	sseli 3428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( ~P s i^i Fin ) -> y e. Fin )
36	35	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
37	33, 36	elind 3618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> y e. ( ~P ( F ` y ) i^i Fin ) )
38	19	mrccl 15517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ y C_ X ) -> ( F ` y ) e. C )
39	25, 29, 38	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> ( F ` y ) e. C )
40		mresspw 15498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( C e. (Moore ` X ) -> C C_ ~P X )
41	40	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> C C_ ~P X )
42	41, 39	sseldd 3433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> ( F ` y ) e. ~P X )
43		simprr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) -> A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) )
44	43	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) )
45		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t = ( F ` y ) -> ( t e. C <-> ( F ` y ) e. C ) )
46		pweq 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( t = ( F ` y ) -> ~P t = ~P ( F ` y ) )
47	46	ineq1d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = ( F ` y ) -> ( ~P t i^i Fin ) = ( ~P ( F ` y ) i^i Fin ) )
48		sseq2 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = ( F ` y ) -> ( ( f ` z ) C_ t <-> ( f ` z ) C_ ( F ` y ) ) )
49	47, 48	raleqbidv 3001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t = ( F ` y ) -> ( A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t <-> A. z e. ( ~P ( F ` y ) i^i Fin ) ( f ` z ) C_ ( F ` y ) ) )
50	45, 49	bibi12d 323	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t = ( F ` y ) -> ( ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) <-> ( ( F ` y ) e. C <-> A. z e. ( ~P ( F ` y ) i^i Fin ) ( f ` z ) C_ ( F ` y ) ) ) )
51	50	rspcva 3148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` y ) e. ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) -> ( ( F ` y ) e. C <-> A. z e. ( ~P ( F ` y ) i^i Fin ) ( f ` z ) C_ ( F ` y ) ) )
52	42, 44, 51	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> ( ( F ` y ) e. C <-> A. z e. ( ~P ( F ` y ) i^i Fin ) ( f ` z ) C_ ( F ` y ) ) )
53	39, 52	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> A. z e. ( ~P ( F ` y ) i^i Fin ) ( f ` z ) C_ ( F ` y ) )
54		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = y -> ( f ` z ) = ( f ` y ) )
55	54	sseq1d 3459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = y -> ( ( f ` z ) C_ ( F ` y ) <-> ( f ` y ) C_ ( F ` y ) ) )
56	55	rspcva 3148	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. ( ~P ( F ` y ) i^i Fin ) /\ A. z e. ( ~P ( F ` y ) i^i Fin ) ( f ` z ) C_ ( F ` y ) ) -> ( f ` y ) C_ ( F ` y ) )
57	37, 53, 56	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> ( f ` y ) C_ ( F ` y ) )
58		sstr2 3439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` y ) C_ ( F ` y ) -> ( ( F ` y ) C_ s -> ( f ` y ) C_ s ) )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ y e. ( ~P s i^i Fin ) ) -> ( ( F ` y ) C_ s -> ( f ` y ) C_ s ) )
60	59	ralimdva 2796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) -> ( A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s -> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( f ` y ) C_ s ) )
61	60	imp 431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) -> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( f ` y ) C_ s )
62		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( f ` y ) = ( f ` z ) )
63	62	sseq1d 3459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( ( f ` y ) C_ s <-> ( f ` z ) C_ s ) )
64	63	cbvralv 3019	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( f ` y ) C_ s <-> A. z e. ( ~P s i^i Fin ) ( f ` z ) C_ s )
65	61, 64	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) -> A. z e. ( ~P s i^i Fin ) ( f ` z ) C_ s )
66		simplr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) -> s e. ~P X )
67	43	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) -> A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) )
68		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = s -> ( t e. C <-> s e. C ) )
69		pweq 3954	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = s -> ~P t = ~P s )
70	69	ineq1d 3633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = s -> ( ~P t i^i Fin ) = ( ~P s i^i Fin ) )
71		sseq2 3454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = s -> ( ( f ` z ) C_ t <-> ( f ` z ) C_ s ) )
72	70, 71	raleqbidv 3001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = s -> ( A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t <-> A. z e. ( ~P s i^i Fin ) ( f ` z ) C_ s ) )
73	68, 72	bibi12d 323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = s -> ( ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) <-> ( s e. C <-> A. z e. ( ~P s i^i Fin ) ( f ` z ) C_ s ) ) )
74	73	rspcva 3148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s e. ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) -> ( s e. C <-> A. z e. ( ~P s i^i Fin ) ( f ` z ) C_ s ) )
75	66, 67, 74	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) -> ( s e. C <-> A. z e. ( ~P s i^i Fin ) ( f ` z ) C_ s ) )
76	65, 75	mpbird 236	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) /\ A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) -> s e. C )
77	24, 76	impbida 843	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) /\ s e. ~P X ) -> ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) )
78	77	ralrimiva 2802	. . . . . . 7 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) -> A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) )
79	78	ex 436	. . . . . 6 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) -> A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) )
80	79	exlimdv 1779	. . . . 5 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( E. f ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) -> A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) )
81	19	mrcf 15515	. . . . . . . 8 |- ( C e. (Moore ` X ) -> F : ~P X --> C )
82	81, 40	fssd 5738	. . . . . . 7 |- ( C e. (Moore ` X ) -> F : ~P X --> ~P X )
83		fvex 5875	. . . . . . . . 9 |- (mrCls ` C ) e. _V
84	19, 83	eqeltri 2525	. . . . . . . 8 |- F e. _V
85		feq1 5710	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f : ~P X --> ~P X <-> F : ~P X --> ~P X ) )
86		fveq1 5864	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = F -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
87	86	sseq1d 3459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = F -> ( ( f ` z ) C_ t <-> ( F ` z ) C_ t ) )
88	87	ralbidv 2827	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = F -> ( A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( F ` z ) C_ t ) )
89		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = y -> ( F ` z ) = ( F ` y ) )
90	89	sseq1d 3459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> ( ( F ` z ) C_ t <-> ( F ` y ) C_ t ) )
91	90	cbvralv 3019	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( F ` z ) C_ t <-> A. y e. ( ~P t i^i Fin ) ( F ` y ) C_ t )
92	88, 91	syl6bb 265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t <-> A. y e. ( ~P t i^i Fin ) ( F ` y ) C_ t ) )
93	92	bibi2d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> ( ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) <-> ( t e. C <-> A. y e. ( ~P t i^i Fin ) ( F ` y ) C_ t ) ) )
94	93	ralbidv 2827	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) <-> A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. y e. ( ~P t i^i Fin ) ( F ` y ) C_ t ) ) )
95		sseq2 3454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = s -> ( ( F ` y ) C_ t <-> ( F ` y ) C_ s ) )
96	70, 95	raleqbidv 3001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = s -> ( A. y e. ( ~P t i^i Fin ) ( F ` y ) C_ t <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) )
97	68, 96	bibi12d 323	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = s -> ( ( t e. C <-> A. y e. ( ~P t i^i Fin ) ( F ` y ) C_ t ) <-> ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) )
98	97	cbvralv 3019	. . . . . . . . . 10 |- ( A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. y e. ( ~P t i^i Fin ) ( F ` y ) C_ t ) <-> A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) )
99	94, 98	syl6bb 265	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) <-> A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) )
100	85, 99	anbi12d 717	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) <-> ( F : ~P X --> ~P X /\ A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) ) )
101	84, 100	spcev 3141	. . . . . . 7 |- ( ( F : ~P X --> ~P X /\ A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) -> E. f ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) )
102	82, 101	sylan 474	. . . . . 6 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) -> E. f ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) )
103	102	ex 436	. . . . 5 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) -> E. f ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) ) )
104	80, 103	impbid 194	. . . 4 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( E. f ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> A. z e. ( ~P t i^i Fin ) ( f ` z ) C_ t ) ) <-> A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) )
105	11, 104	syl5bb 261	. . 3 |- ( C e. (Moore ` X ) -> ( E. f ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ t ) ) <-> A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) )
106	105	pm5.32i 643	. 2 |- ( ( C e. (Moore ` X ) /\ E. f ( f : ~P X --> ~P X /\ A. t e. ~P X ( t e. C <-> U. ( f " ( ~P t i^i Fin ) ) C_ t ) ) ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) )
107	1, 106	bitri 253	1 |- ( C e. (ACS ` X ) <-> ( C e. (Moore ` X ) /\ A. s e. ~P X ( s e. C <-> A. y e. ( ~P s i^i Fin ) ( F ` y ) C_ s ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045   i^i cin 3403   C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   U_ciun 4278   "cima 4837   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582   Fincfn 7569  Moorecmre 15488  mrClscmrc 15489  ACScacs 15491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-fv 5590  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495

This theorem is referenced by:  acsfiel  15560  isacs5  16418