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Theorem isacs2 15559
Description: In the definition of an algebraic closure system, we may always take the operation being closed over as the Moore closure. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isacs2.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
isacs2  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
) ) )
Distinct variable groups:    C, s,
y    F, s, y    X, s, y

Proof of Theorem isacs2
Dummy variables  f 
t  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacs 15557 . 2  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t ) ) ) )
2 iunss 4319 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z ) 
C_  t  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t )
3 ffun 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  Fun  f )
4 funiunfv 6153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  f  ->  U_ z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  = 
U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) ) )
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  U_ z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  =  U. ( f " ( ~P t  i^i  Fin )
) )
65sseq1d 3459 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  ( U_ z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t 
<-> 
U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t ) )
72, 6syl5rbbr 264 . . . . . . . 8  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  ( U. ( f
" ( ~P t  i^i  Fin ) )  C_  t 
<-> 
A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )
87bibi2d 320 . . . . . . 7  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  ( ( t  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t )  <->  ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) ) )
98ralbidv 2827 . . . . . 6  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  ( A. t  e. 
~P  X ( t  e.  C  <->  U. (
f " ( ~P t  i^i  Fin )
)  C_  t )  <->  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )
109pm5.32i 643 . . . . 5  |-  ( ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  U. (
f " ( ~P t  i^i  Fin )
)  C_  t )
)  <->  ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) ) )
1110exbii 1718 . . . 4  |-  ( E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t ) )  <->  E. f
( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )
12 simpll 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  C )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  ->  C  e.  (Moore `  X
) )
13 inss1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~P s  i^i  Fin )  C_ 
~P s
1413sseli 3428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  e.  ~P s )
15 elpwi 3960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ~P s  -> 
y  C_  s )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  C_  s )
1716adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  C )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  -> 
y  C_  s )
18 simplr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  C )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  -> 
s  e.  C )
19 isacs2.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  (mrCls `  C )
2019mrcsscl 15526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  y  C_  s  /\  s  e.  C )  ->  ( F `  y )  C_  s )
2112, 17, 18, 20syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  C )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  -> 
( F `  y
)  C_  s )
2221ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  C )  ->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s )
2322adantlr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P X )  /\  s  e.  C )  ->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
)
2423adantllr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  s  e.  C )  ->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
)
25 simplll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  C  e.  (Moore `  X ) )
2616adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  s
)
27 elpwi 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  ~P X  -> 
s  C_  X )
2827ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  s  C_  X
)
2926, 28sstrd 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  X
)
3025, 19, 29mrcssidd 15531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  ( F `  y )
)
31 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
3231elpw 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ~P ( F `
 y )  <->  y  C_  ( F `  y ) )
3330, 32sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  ~P ( F `  y ) )
34 inss2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ~P s  i^i  Fin )  C_ 
Fin
3534sseli 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
3635adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
3733, 36elind 3618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin ) )
3819mrccl 15517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  y  C_  X )  ->  ( F `  y )  e.  C )
3925, 29, 38syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  ( F `  y )  e.  C
)
40 mresspw 15498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  C  C_  ~P X )
4140ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  C  C_  ~P X )
4241, 39sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  ( F `  y )  e.  ~P X )
43 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  (
f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t ) ) )  ->  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )
4443ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )
45 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  (
t  e.  C  <->  ( F `  y )  e.  C
) )
46 pweq 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  ~P t  =  ~P ( F `  y )
)
4746ineq1d 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  ( ~P t  i^i  Fin )  =  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin ) )
48 sseq2 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  (
( f `  z
)  C_  t  <->  ( f `  z )  C_  ( F `  y )
) )
4947, 48raleqbidv 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  ( A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t  <->  A. z  e.  ( ~P ( F `
 y )  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  ( F `  y ) ) )
5045, 49bibi12d 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  (
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )  <->  ( ( F `  y
)  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P ( F `
 y )  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  ( F `  y ) ) ) )
5150rspcva 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )  ->  (
( F `  y
)  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P ( F `
 y )  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  ( F `  y ) ) )
5242, 44, 51syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  ( ( F `
 y )  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  ( F `  y )
) )
5339, 52mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  A. z  e.  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  ( F `  y )
)
54 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  y  ->  (
f `  z )  =  ( f `  y ) )
5554sseq1d 3459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  y  ->  (
( f `  z
)  C_  ( F `  y )  <->  ( f `  y )  C_  ( F `  y )
) )
5655rspcva 3148 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ( ~P ( F `  y
)  i^i  Fin )  /\  A. z  e.  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  ( F `  y )
)  ->  ( f `  y )  C_  ( F `  y )
)
5737, 53, 56syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  ( f `  y )  C_  ( F `  y )
)
58 sstr2 3439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  y ) 
C_  ( F `  y )  ->  (
( F `  y
)  C_  s  ->  ( f `  y ) 
C_  s ) )
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  ( ( F `
 y )  C_  s  ->  ( f `  y )  C_  s
) )
6059ralimdva 2796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  (
f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t ) ) )  /\  s  e.  ~P X )  ->  ( A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s  ->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( f `  y
)  C_  s )
)
6160imp 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( f `  y )  C_  s
)
62 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
f `  y )  =  ( f `  z ) )
6362sseq1d 3459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( f `  y
)  C_  s  <->  ( f `  z )  C_  s
) )
6463cbvralv 3019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( f `  y ) 
C_  s  <->  A. z  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  s )
6561, 64sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  A. z  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  s
)
66 simplr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  s  e.  ~P X
)
6743ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )
68 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  (
t  e.  C  <->  s  e.  C ) )
69 pweq 3954 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  s  ->  ~P t  =  ~P s
)
7069ineq1d 3633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  s  ->  ( ~P t  i^i  Fin )  =  ( ~P s  i^i  Fin ) )
71 sseq2 3454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  s  ->  (
( f `  z
)  C_  t  <->  ( f `  z )  C_  s
) )
7270, 71raleqbidv 3001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  ( A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t  <->  A. z  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  s ) )
7368, 72bibi12d 323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  s  ->  (
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )  <->  ( s  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  s ) ) )
7473rspcva 3148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )  ->  (
s  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  s ) )
7566, 67, 74syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  ( s  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  s )
)
7665, 75mpbird 236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  s  e.  C )
7724, 76impbida 843 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  (
f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t ) ) )  /\  s  e.  ~P X )  ->  (
s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) )
7877ralrimiva 2802 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  (
f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t ) ) )  ->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
) )
7978ex 436 . . . . . 6  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( (
f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t ) )  ->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
) ) )
8079exlimdv 1779 . . . . 5  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )  ->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) ) )
8119mrcf 15515 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  F : ~P X --> C )
8281, 40fssd 5738 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  F : ~P X --> ~P X )
83 fvex 5875 . . . . . . . . 9  |-  (mrCls `  C )  e.  _V
8419, 83eqeltri 2525 . . . . . . . 8  |-  F  e. 
_V
85 feq1 5710 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f : ~P X --> ~P X  <->  F : ~P X --> ~P X ) )
86 fveq1 5864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  z )  =  ( F `  z ) )
8786sseq1d 3459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  z
)  C_  t  <->  ( F `  z )  C_  t
) )
8887ralbidv 2827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  ( A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( F `
 z )  C_  t ) )
89 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
9089sseq1d 3459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( F `  z
)  C_  t  <->  ( F `  y )  C_  t
) )
9190cbvralv 3019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( F `  z ) 
C_  t  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  t )
9288, 91syl6bb 265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  ( A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  t ) )
9392bibi2d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )  <->  ( t  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  t ) ) )
9493ralbidv 2827 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  ( A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
)  <->  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  t
) ) )
95 sseq2 3454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  (
( F `  y
)  C_  t  <->  ( F `  y )  C_  s
) )
9670, 95raleqbidv 3001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  s  ->  ( A. y  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  t  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) )
9768, 96bibi12d 323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  s  ->  (
( t  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  t )  <->  ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) ) )
9897cbvralv 3019 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  t )  <->  A. s  e.  ~P  X
( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )
)
9994, 98syl6bb 265 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  ( A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
)  <->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
) ) )
10085, 99anbi12d 717 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
)  <->  ( F : ~P X --> ~P X  /\  A. s  e.  ~P  X
( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )
) ) )
10184, 100spcev 3141 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ~P X --> ~P X  /\  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) )  ->  E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) ) )
10282, 101sylan 474 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X
( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )
)  ->  E. f
( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )
103102ex 436 . . . . 5  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( A. s  e.  ~P  X
( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) ) ) )
10480, 103impbid 194 . . . 4  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )  <->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) ) )
10511, 104syl5bb 261 . . 3  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t ) )  <->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) ) )
106105pm5.32i 643 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t ) ) )  <-> 
( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X
( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )
) )
1071, 106bitri 253 1  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   U_ciun 4278   "cima 4837   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582   Fincfn 7569  Moorecmre 15488  mrClscmrc 15489  ACScacs 15491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-fv 5590  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495
This theorem is referenced by:  acsfiel  15560  isacs5  16418
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