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Theorem isacn 8426
Description: The property of being a choice set of length  A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isacn  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( X  e. AC  A  <->  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, A    f, X, g, x
Allowed substitution hints:    V( x, f, g)    W( x, f, g)

Proof of Theorem isacn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 4013 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  ~P y  =  ~P X
)
21difeq1d 3621 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  ( ~P y  \  { (/) } )  =  ( ~P X  \  { (/) } ) )
32oveq1d 6300 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  (
( ~P y  \  { (/) } )  ^m  A )  =  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )
43raleqdv 3064 . . . 4  |-  ( y  =  X  ->  ( A. f  e.  (
( ~P y  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x )  <->  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
54anbi2d 703 . . 3  |-  ( y  =  X  ->  (
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P y  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )  <-> 
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) ) )
6 df-acn 8324 . . 3  |- AC  A  =  { y  |  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P y  \  { (/)
} )  ^m  A
) E. g A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  ( f `  x
) ) }
75, 6elab2g 3252 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  ( X  e. AC  A  <->  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) ) )
8 elex 3122 . . 3  |-  ( A  e.  W  ->  A  e.  _V )
9 biid 236 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/)
} )  ^m  A
) E. g A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  ( f `  x
) )  <->  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
109baib 901 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )  <->  A. f  e.  (
( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
118, 10syl 16 . 2  |-  ( A  e.  W  ->  (
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )  <->  A. f  e.  (
( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
127, 11sylan9bb 699 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( X  e. AC  A  <->  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    ^m cmap 7421  AC wacn 8320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-iota 5551  df-fv 5596  df-ov 6288  df-acn 8324
This theorem is referenced by:  acni  8427  numacn  8431  finacn  8432  acndom  8433  acndom2  8436  acncc  8821
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