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Theorem isacn 8473
Description: The property of being a choice set of length  A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isacn  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( X  e. AC  A  <->  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, A    f, X, g, x
Allowed substitution hints:    V( x, f, g)    W( x, f, g)

Proof of Theorem isacn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 3988 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  ~P y  =  ~P X
)
21difeq1d 3588 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  ( ~P y  \  { (/) } )  =  ( ~P X  \  { (/) } ) )
32oveq1d 6320 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  (
( ~P y  \  { (/) } )  ^m  A )  =  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )
43raleqdv 3038 . . . 4  |-  ( y  =  X  ->  ( A. f  e.  (
( ~P y  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x )  <->  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
54anbi2d 708 . . 3  |-  ( y  =  X  ->  (
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P y  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )  <-> 
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) ) )
6 df-acn 8375 . . 3  |- AC  A  =  { y  |  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P y  \  { (/)
} )  ^m  A
) E. g A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  ( f `  x
) ) }
75, 6elab2g 3226 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  ( X  e. AC  A  <->  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) ) )
8 elex 3096 . . 3  |-  ( A  e.  W  ->  A  e.  _V )
9 biid 239 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/)
} )  ^m  A
) E. g A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  ( f `  x
) )  <->  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
109baib 911 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )  <->  A. f  e.  (
( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
118, 10syl 17 . 2  |-  ( A  e.  W  ->  (
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )  <->  A. f  e.  (
( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
127, 11sylan9bb 704 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( X  e. AC  A  <->  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870   A.wral 2782   _Vcvv 3087    \ cdif 3439   (/)c0 3767   ~Pcpw 3985   {csn 4002   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7480  AC wacn 8371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-iota 5565  df-fv 5609  df-ov 6308  df-acn 8375
This theorem is referenced by:  acni  8474  numacn  8478  finacn  8479  acndom  8480  acndom2  8483  acncc  8868
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