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Theorem isabvd 18041
Description: Properties that determine an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isabvd.a  |-  ( ph  ->  A  =  (AbsVal `  R ) )
isabvd.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  R ) )
isabvd.p  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
isabvd.t  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  R ) )
isabvd.z  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  R ) )
isabvd.1  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
isabvd.2  |-  ( ph  ->  F : B --> RR )
isabvd.3  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  =  0 )
isabvd.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  x  =/=  .0.  )  ->  0  <  ( F `  x )
)
isabvd.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  x  =/=  .0.  )  /\  (
y  e.  B  /\  y  =/=  .0.  ) )  ->  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) ) )
isabvd.6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  x  =/=  .0.  )  /\  (
y  e.  B  /\  y  =/=  .0.  ) )  ->  ( F `  ( x  .+  y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
isabvd  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
Distinct variable groups:    x, y, F    ph, x, y    x, R, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    .+ ( x, y)    .x. ( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem isabvd
StepHypRef Expression
1 isabvd.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : B --> RR )
2 isabvd.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  R ) )
32feq2d 5731 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : B --> RR 
<->  F : ( Base `  R ) --> RR ) )
41, 3mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  R ) --> RR )
5 ffn 5744 . . . . 5  |-  ( F : ( Base `  R
) --> RR  ->  F  Fn  ( Base `  R
) )
64, 5syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( Base `  R ) )
74ffvelrnda 6035 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8 0le0 10701 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  0
9 isabvd.z . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  R ) )
109fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  =  ( F `  ( 0g `  R
) ) )
11 isabvd.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  =  0 )
1210, 11eqtr3d 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  0 )
138, 12syl5breqr 4458 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( F `  ( 0g `  R
) ) )
1413adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  0  <_  ( F `  ( 0g
`  R ) ) )
15 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( 0g `  R ) ) )
1615breq2d 4433 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  (
0  <_  ( F `  x )  <->  0  <_  ( F `  ( 0g
`  R ) ) ) )
1714, 16syl5ibrcom 226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  0  <_  ( F `  x
) ) )
18 simp1 1006 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ph )
19 simp2 1007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  x  e.  (
Base `  R )
)
2023ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  B  =  (
Base `  R )
)
2119, 20eleqtrrd 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  x  e.  B
)
22 simp3 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  x  =/=  ( 0g `  R ) )
2393ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  .0.  =  ( 0g `  R ) )
2422, 23neeqtrrd 2725 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  x  =/=  .0.  )
25 isabvd.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  x  =/=  .0.  )  ->  0  <  ( F `  x )
)
2618, 21, 24, 25syl3anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  0  <  ( F `  x )
)
27 0re 9645 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
2873adant3 1026 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
29 ltle 9724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( F `  x )  ->  0  <_  ( F `  x ) ) )
3027, 28, 29sylancr 668 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( 0  < 
( F `  x
)  ->  0  <_  ( F `  x ) ) )
3126, 30mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  0  <_  ( F `  x )
)
32313expia 1208 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  ->  0  <_  ( F `  x ) ) )
3317, 32pm2.61dne 2742 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  0  <_  ( F `  x ) )
34 elrege0 11740 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
357, 33, 34sylanbrc 669 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
3635ralrimiva 2840 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R )
( F `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
37 ffnfv 6062 . . . 4  |-  ( F : ( Base `  R
) --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( F  Fn  ( Base `  R )  /\  A. x  e.  (
Base `  R )
( F `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
386, 36, 37sylanbrc 669 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  R ) --> ( 0 [,) +oo ) )
3926gt0ne0d 10180 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  x )  =/=  0
)
40393expia 1208 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  ->  ( F `  x )  =/=  0
) )
4140necon4d 2652 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( ( F `  x )  =  0  ->  x  =  ( 0g `  R ) ) )
4212adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( F `  ( 0g `  R
) )  =  0 )
4315eqeq1d 2425 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  0 ) )
4442, 43syl5ibrcom 226 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  ( F `  x )  =  0 ) )
4541, 44impbid 194 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( ( F `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  R ) ) )
46123ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  0 )
4746adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( 0g `  R
) )  =  0 )
48 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  =  ( ( 0g
`  R ) ( .r `  R ) y ) )
49 isabvd.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
50493ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  R  e.  Ring )
51 simp3 1008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  y  e.  (
Base `  R )
)
52 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
53 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
54 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
5552, 53, 54ringlz 17810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 0g `  R
) ( .r `  R ) y )  =  ( 0g `  R ) )
5650, 51, 55syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( ( 0g
`  R ) ( .r `  R ) y )  =  ( 0g `  R ) )
5748, 56sylan9eqr 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( x
( .r `  R
) y )  =  ( 0g `  R
) )
5857fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( F `  ( 0g
`  R ) ) )
5915, 46sylan9eqr 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  x )  =  0 )
6059oveq1d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y
) )  =  ( 0  x.  ( F `
 y ) ) )
6143ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  F : (
Base `  R ) --> RR )
6261, 51ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
6362recnd 9671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
6463adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
6564mul02d 9833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( 0  x.  ( F `  y ) )  =  0 )
6660, 65eqtrd 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y
) )  =  0 )
6747, 58, 663eqtr4d 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 y ) ) )
6846adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( 0g `  R
) )  =  0 )
69 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  =  ( x ( .r `  R ) ( 0g `  R
) ) )
70 simp2 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  x  e.  (
Base `  R )
)
7152, 53, 54ringrz 17811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
7250, 70, 71syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( x ( .r `  R ) ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  R ) )
7369, 72sylan9eqr 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( x
( .r `  R
) y )  =  ( 0g `  R
) )
7473fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( F `  ( 0g
`  R ) ) )
75 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( 0g `  R ) ) )
7675, 46sylan9eqr 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  y )  =  0 )
7776oveq2d 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y
) )  =  ( ( F `  x
)  x.  0 ) )
7861, 70ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
7978recnd 9671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
8079adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
8180mul01d 9834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( ( F `  x )  x.  0 )  =  0 )
8277, 81eqtrd 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y
) )  =  0 )
8368, 74, 823eqtr4d 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 y ) ) )
84 simpl1 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ph )
85 isabvd.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  R ) )
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  .x.  =  ( .r `  R ) )
8786oveqd 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
x  .x.  y )  =  ( x ( .r `  R ) y ) )
8887fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( F `  (
x ( .r `  R ) y ) ) )
89 simpl2 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  R
) )
9084, 2syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  B  =  ( Base `  R
) )
9189, 90eleqtrrd 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  x  e.  B )
92 simprl 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  x  =/=  ( 0g `  R
) )
9384, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  .0.  =  ( 0g `  R ) )
9492, 93neeqtrrd 2725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  x  =/=  .0.  )
95 simpl3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  R
) )
9695, 90eleqtrrd 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  y  e.  B )
97 simprr 765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  y  =/=  ( 0g `  R
) )
9897, 93neeqtrrd 2725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  y  =/=  .0.  )
99 isabvd.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  x  =/=  .0.  )  /\  (
y  e.  B  /\  y  =/=  .0.  ) )  ->  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) ) )
10084, 91, 94, 96, 98, 99syl122anc 1274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
) )
10188, 100eqtr3d 2466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( x
( .r `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( F `  y
) ) )
10267, 83, 101pm2.61da2ne 2744 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( F `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 y ) ) )
103 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  =  ( ( 0g `  R ) ( +g  `  R ) y ) )
104 ringgrp 17778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
10550, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  R  e.  Grp )
106 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
10752, 106, 54grplid 16689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( 0g `  R ) ( +g  `  R ) y )  =  y )
108105, 51, 107syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( ( 0g
`  R ) ( +g  `  R ) y )  =  y )
109103, 108sylan9eqr 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  =  y )
110109fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( F `
 y ) )
1118, 59syl5breqr 4458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  0  <_  ( F `  x ) )
11262, 78addge02d 10204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  ( F `  y )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
113112adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( 0  <_  ( F `  x )  <->  ( F `  y )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
114111, 113mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  y )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) )
115110, 114eqbrtrd 4442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
116 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  =  ( x ( +g  `  R ) ( 0g
`  R ) ) )
11752, 106, 54grprid 16690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( x ( +g  `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  x )
118105, 70, 117syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( x ( +g  `  R ) ( 0g `  R
) )  =  x )
119116, 118sylan9eqr 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  =  x )
120119fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( F `
 x ) )
1218, 76syl5breqr 4458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  0  <_  ( F `  y ) )
12278, 62addge01d 10203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( 0  <_ 
( F `  y
)  <->  ( F `  x )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
123122adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( 0  <_  ( F `  y )  <->  ( F `  x )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
124121, 123mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  x )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) )
125120, 124eqbrtrd 4442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
126 isabvd.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
12784, 126syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
128127oveqd 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
x  .+  y )  =  ( x ( +g  `  R ) y ) )
129128fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( F `  (
x ( +g  `  R
) y ) ) )
130 isabvd.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  x  =/=  .0.  )  /\  (
y  e.  B  /\  y  =/=  .0.  ) )  ->  ( F `  ( x  .+  y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
13184, 91, 94, 96, 98, 130syl122anc 1274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( x  .+  y ) )  <_ 
( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
132129, 131eqbrtrrd 4444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  <_ 
( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
133115, 125, 132pm2.61da2ne 2744 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
134102, 133jca 535 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( ( F `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) )
1351343expia 1208 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( y  e.  ( Base `  R
)  ->  ( ( F `  ( x
( .r `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( F `  y
) )  /\  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  <_ 
( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) ) )
136135ralrimiv 2838 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  A. y  e.  ( Base `  R
) ( ( F `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) )
13745, 136jca 535 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  R ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  R ) ( ( F `  ( x ( .r `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( F `  y
) )  /\  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  <_ 
( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) ) )
138137ralrimiva 2840 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R )
( ( ( F `
 x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  R ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  R
) ( ( F `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) ) )
139 eqid 2423 . . . . 5  |-  (AbsVal `  R )  =  (AbsVal `  R )
140139, 52, 106, 53, 54isabv 18040 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  (AbsVal `  R
)  <->  ( F :
( Base `  R ) --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  R
) ( ( ( F `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  R ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  R
) ( ( F `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) ) ) ) )
14149, 140syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  (AbsVal `  R )  <->  ( F : ( Base `  R
) --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  R
) ( ( ( F `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  R ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  R
) ( ( F `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) ) ) ) )
14238, 138, 141mpbir2and 931 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  (AbsVal `  R ) )
143 isabvd.a . 2  |-  ( ph  ->  A  =  (AbsVal `  R ) )
144142, 143eleqtrrd 2514 1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776   class class class wbr 4421    Fn wfn 5594   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541    + caddc 9544    x. cmul 9546   +oocpnf 9674    < clt 9677    <_ cle 9678   [,)cico 11639   Basecbs 15114   +g cplusg 15183   .rcmulr 15184   0gc0g 15331   Grpcgrp 16662   Ringcrg 17773  AbsValcabv 18037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-ico 11643  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-plusg 15196  df-0g 15333  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-mgp 17717  df-ring 17775  df-abv 18038
This theorem is referenced by:  abvres  18060  abvtrivd  18061  absabv  19018  abvcxp  24445  padicabv  24460
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