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Theorem isabvd 17245
Description: Properties that determine an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isabvd.a  |-  ( ph  ->  A  =  (AbsVal `  R ) )
isabvd.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  R ) )
isabvd.p  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
isabvd.t  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  R ) )
isabvd.z  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  R ) )
isabvd.1  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
isabvd.2  |-  ( ph  ->  F : B --> RR )
isabvd.3  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  =  0 )
isabvd.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  x  =/=  .0.  )  ->  0  <  ( F `  x )
)
isabvd.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  x  =/=  .0.  )  /\  (
y  e.  B  /\  y  =/=  .0.  ) )  ->  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) ) )
isabvd.6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  x  =/=  .0.  )  /\  (
y  e.  B  /\  y  =/=  .0.  ) )  ->  ( F `  ( x  .+  y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
isabvd  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
Distinct variable groups:    x, y, F    ph, x, y    x, R, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    .+ ( x, y)    .x. ( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem isabvd
StepHypRef Expression
1 isabvd.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : B --> RR )
2 isabvd.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  R ) )
32feq2d 5709 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : B --> RR 
<->  F : ( Base `  R ) --> RR ) )
41, 3mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  R ) --> RR )
5 ffn 5722 . . . . 5  |-  ( F : ( Base `  R
) --> RR  ->  F  Fn  ( Base `  R
) )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( Base `  R ) )
74ffvelrnda 6012 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8 0le0 10614 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  0
9 isabvd.z . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  R ) )
109fveq2d 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  =  ( F `  ( 0g `  R
) ) )
11 isabvd.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  =  0 )
1210, 11eqtr3d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  0 )
138, 12syl5breqr 4476 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( F `  ( 0g `  R
) ) )
1413adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  0  <_  ( F `  ( 0g
`  R ) ) )
15 fveq2 5857 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( 0g `  R ) ) )
1615breq2d 4452 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  (
0  <_  ( F `  x )  <->  0  <_  ( F `  ( 0g
`  R ) ) ) )
1714, 16syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  0  <_  ( F `  x
) ) )
18 simp1 991 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ph )
19 simp2 992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  x  e.  (
Base `  R )
)
2023ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  B  =  (
Base `  R )
)
2119, 20eleqtrrd 2551 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  x  e.  B
)
22 simp3 993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  x  =/=  ( 0g `  R ) )
2393ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  .0.  =  ( 0g `  R ) )
2422, 23neeqtrrd 2760 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  x  =/=  .0.  )
25 isabvd.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  x  =/=  .0.  )  ->  0  <  ( F `  x )
)
2618, 21, 24, 25syl3anc 1223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  0  <  ( F `  x )
)
27 0re 9585 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
2873adant3 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
29 ltle 9662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( F `  x )  ->  0  <_  ( F `  x ) ) )
3027, 28, 29sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( 0  < 
( F `  x
)  ->  0  <_  ( F `  x ) ) )
3126, 30mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  0  <_  ( F `  x )
)
32313expia 1193 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  ->  0  <_  ( F `  x ) ) )
3317, 32pm2.61dne 2777 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  0  <_  ( F `  x ) )
34 elrege0 11616 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
357, 33, 34sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
3635ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R )
( F `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
37 ffnfv 6038 . . . 4  |-  ( F : ( Base `  R
) --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( F  Fn  ( Base `  R )  /\  A. x  e.  (
Base `  R )
( F `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
386, 36, 37sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  R ) --> ( 0 [,) +oo ) )
3926gt0ne0d 10106 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  x  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  x )  =/=  0
)
40393expia 1193 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  ->  ( F `  x )  =/=  0
) )
4140necon4d 2687 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( ( F `  x )  =  0  ->  x  =  ( 0g `  R ) ) )
4212adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( F `  ( 0g `  R
) )  =  0 )
4315eqeq1d 2462 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  0 ) )
4442, 43syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  ( F `  x )  =  0 ) )
4541, 44impbid 191 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( ( F `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  R ) ) )
46123ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  0 )
4746adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( 0g `  R
) )  =  0 )
48 oveq1 6282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  =  ( ( 0g
`  R ) ( .r `  R ) y ) )
49 isabvd.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
50493ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  R  e.  Ring )
51 simp3 993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  y  e.  (
Base `  R )
)
52 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
53 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
54 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
5552, 53, 54rnglz 17015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 0g `  R
) ( .r `  R ) y )  =  ( 0g `  R ) )
5650, 51, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( ( 0g
`  R ) ( .r `  R ) y )  =  ( 0g `  R ) )
5748, 56sylan9eqr 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( x
( .r `  R
) y )  =  ( 0g `  R
) )
5857fveq2d 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( F `  ( 0g
`  R ) ) )
5915, 46sylan9eqr 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  x )  =  0 )
6059oveq1d 6290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y
) )  =  ( 0  x.  ( F `
 y ) ) )
6143ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  F : (
Base `  R ) --> RR )
6261, 51ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
6362recnd 9611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
6564mul02d 9766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( 0  x.  ( F `  y ) )  =  0 )
6660, 65eqtrd 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y
) )  =  0 )
6747, 58, 663eqtr4d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 y ) ) )
6846adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( 0g `  R
) )  =  0 )
69 oveq2 6283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  =  ( x ( .r `  R ) ( 0g `  R
) ) )
70 simp2 992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  x  e.  (
Base `  R )
)
7152, 53, 54rngrz 17016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
7250, 70, 71syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( x ( .r `  R ) ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  R ) )
7369, 72sylan9eqr 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( x
( .r `  R
) y )  =  ( 0g `  R
) )
7473fveq2d 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( F `  ( 0g
`  R ) ) )
75 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( 0g `  R ) ) )
7675, 46sylan9eqr 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  y )  =  0 )
7776oveq2d 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y
) )  =  ( ( F `  x
)  x.  0 ) )
7861, 70ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
7978recnd 9611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
8079adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
8180mul01d 9767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( ( F `  x )  x.  0 )  =  0 )
8277, 81eqtrd 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y
) )  =  0 )
8368, 74, 823eqtr4d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 y ) ) )
84 simpl1 994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ph )
85 isabvd.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  R ) )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  .x.  =  ( .r `  R ) )
8786oveqd 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
x  .x.  y )  =  ( x ( .r `  R ) y ) )
8887fveq2d 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( F `  (
x ( .r `  R ) y ) ) )
89 simpl2 995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  R
) )
9084, 2syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  B  =  ( Base `  R
) )
9189, 90eleqtrrd 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  x  e.  B )
92 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  x  =/=  ( 0g `  R
) )
9384, 9syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  .0.  =  ( 0g `  R ) )
9492, 93neeqtrrd 2760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  x  =/=  .0.  )
95 simpl3 996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  R
) )
9695, 90eleqtrrd 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  y  e.  B )
97 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  y  =/=  ( 0g `  R
) )
9897, 93neeqtrrd 2760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  y  =/=  .0.  )
99 isabvd.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  x  =/=  .0.  )  /\  (
y  e.  B  /\  y  =/=  .0.  ) )  ->  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) ) )
10084, 91, 94, 96, 98, 99syl122anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
) )
10188, 100eqtr3d 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( x
( .r `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( F `  y
) ) )
10267, 83, 101pm2.61da2ne 2779 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( F `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 y ) ) )
103 oveq1 6282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  =  ( ( 0g `  R ) ( +g  `  R ) y ) )
104 rnggrp 16984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
10550, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  R  e.  Grp )
106 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
10752, 106, 54grplid 15874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( 0g `  R ) ( +g  `  R ) y )  =  y )
108105, 51, 107syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( ( 0g
`  R ) ( +g  `  R ) y )  =  y )
109103, 108sylan9eqr 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  =  y )
110109fveq2d 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( F `
 y ) )
1118, 59syl5breqr 4476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  0  <_  ( F `  x ) )
11262, 78addge02d 10130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  ( F `  y )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
113112adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( 0  <_  ( F `  x )  <->  ( F `  y )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
114111, 113mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  y )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) )
115110, 114eqbrtrd 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  x  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
116 oveq2 6283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  =  ( x ( +g  `  R ) ( 0g
`  R ) ) )
11752, 106, 54grprid 15875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( x ( +g  `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  x )
118105, 70, 117syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( x ( +g  `  R ) ( 0g `  R
) )  =  x )
119116, 118sylan9eqr 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  =  x )
120119fveq2d 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( F `
 x ) )
1218, 76syl5breqr 4476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  0  <_  ( F `  y ) )
12278, 62addge01d 10129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( 0  <_ 
( F `  y
)  <->  ( F `  x )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
123122adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( 0  <_  ( F `  y )  <->  ( F `  x )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
124121, 123mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  x )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) )
125120, 124eqbrtrd 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  y  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
126 isabvd.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
12784, 126syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
128127oveqd 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  (
x  .+  y )  =  ( x ( +g  `  R ) y ) )
129128fveq2d 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( F `  (
x ( +g  `  R
) y ) ) )
130 isabvd.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  x  =/=  .0.  )  /\  (
y  e.  B  /\  y  =/=  .0.  ) )  ->  ( F `  ( x  .+  y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
13184, 91, 94, 96, 98, 130syl122anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( x  .+  y ) )  <_ 
( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
132129, 131eqbrtrrd 4462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  /\  ( x  =/=  ( 0g `  R
)  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  <_ 
( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
133115, 125, 132pm2.61da2ne 2779 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
134102, 133jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) )  ->  ( ( F `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) )
1351343expia 1193 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( y  e.  ( Base `  R
)  ->  ( ( F `  ( x
( .r `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( F `  y
) )  /\  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  <_ 
( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) ) )
136135ralrimiv 2869 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  A. y  e.  ( Base `  R
) ( ( F `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) )
13745, 136jca 532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  R ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  R ) ( ( F `  ( x ( .r `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( F `  y
) )  /\  ( F `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  <_ 
( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) ) )
138137ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R )
( ( ( F `
 x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  R ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  R
) ( ( F `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) ) )
139 eqid 2460 . . . . 5  |-  (AbsVal `  R )  =  (AbsVal `  R )
140139, 52, 106, 53, 54isabv 17244 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  (AbsVal `  R
)  <->  ( F :
( Base `  R ) --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  R
) ( ( ( F `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  R ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  R
) ( ( F `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) ) ) ) )
14149, 140syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  (AbsVal `  R )  <->  ( F : ( Base `  R
) --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  R
) ( ( ( F `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  R ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  R
) ( ( F `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) ) ) ) ) )
14238, 138, 141mpbir2and 915 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  (AbsVal `  R ) )
143 isabvd.a . 2  |-  ( ph  ->  A  =  (AbsVal `  R ) )
144142, 143eleqtrrd 2551 1  |-  ( ph  ->  F  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   class class class wbr 4440    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484    x. cmul 9486   +oocpnf 9614    < clt 9617    <_ cle 9618   [,)cico 11520   Basecbs 14479   +g cplusg 14544   .rcmulr 14545   0gc0g 14684   Grpcgrp 15716   Ringcrg 16979  AbsValcabv 17241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-ico 11524  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-plusg 14557  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-mgp 16925  df-rng 16981  df-abv 17242
This theorem is referenced by:  abvres  17264  abvtrivd  17265  absabv  18236  abvcxp  23521  padicabv  23536
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