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Theorem isabv 16916
Description: Elementhood in the set of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvfval.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvfval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abvfval.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
abvfval.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
abvfval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
isabv  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  A  <->  ( F : B --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  B  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, R, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    .+ ( x, y)    .x. ( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem isabv
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvfval.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  R )
2 abvfval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 abvfval.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
4 abvfval.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
5 abvfval.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
61, 2, 3, 4, 5abvfval 16915 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  A  =  { f  e.  ( ( 0 [,) +oo )  ^m  B )  | 
A. x  e.  B  ( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) ) } )
76eleq2d 2510 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  A  <->  F  e.  { f  e.  ( ( 0 [,) +oo )  ^m  B )  |  A. x  e.  B  (
( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) } ) )
8 fveq1 5702 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
98eqeq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  =  0  <->  ( F `  x )  =  0 ) )
109bibi1d 319 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  <->  ( ( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  ) ) )
11 fveq1 5702 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( F `  (
x  .x.  y )
) )
12 fveq1 5702 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
138, 12oveq12d 6121 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( F `  y
) ) )
1411, 13eqeq12d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  <->  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 y ) ) ) )
15 fveq1 5702 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( x  .+  y ) )  =  ( F `  (
x  .+  y )
) )
168, 12oveq12d 6121 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) )  =  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) )
1715, 16breq12d 4317 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) )  <->  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
1814, 17anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <-> 
( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) )
1918ralbidv 2747 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( A. y  e.  B  ( ( f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <->  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) )
2010, 19anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) )
2120ralbidv 2747 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  B  ( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) )  <->  A. x  e.  B  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) )
2221elrab 3129 . . 3  |-  ( F  e.  { f  e.  ( ( 0 [,) +oo )  ^m  B )  |  A. x  e.  B  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) ) }  <->  ( F  e.  ( ( 0 [,) +oo )  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( F `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) ) ) )
23 ovex 6128 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  e. 
_V
24 fvex 5713 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
252, 24eqeltri 2513 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
2623, 25elmap 7253 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( 0 [,) +oo )  ^m  B )  <->  F : B
--> ( 0 [,) +oo ) )
2726anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( 0 [,) +oo )  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) )  <->  ( F : B
--> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( F `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) ) ) )
2822, 27bitri 249 . 2  |-  ( F  e.  { f  e.  ( ( 0 [,) +oo )  ^m  B )  |  A. x  e.  B  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) ) }  <->  ( F : B --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  B  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) )
297, 28syl6bb 261 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  A  <->  ( F : B --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  B  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   {crab 2731   _Vcvv 2984   class class class wbr 4304   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    ^m cmap 7226   0cc0 9294    + caddc 9297    x. cmul 9299   +oocpnf 9427    <_ cle 9431   [,)cico 11314   Basecbs 14186   +g cplusg 14250   .rcmulr 14251   0gc0g 14390   Ringcrg 16657  AbsValcabv 16913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-map 7228  df-abv 16914
This theorem is referenced by:  isabvd  16917  abvfge0  16919  abveq0  16923  abvmul  16926  abvtri  16927  abvpropd  16939
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