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Theorem isabv 17595
Description: Elementhood in the set of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvfval.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvfval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abvfval.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
abvfval.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
abvfval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
isabv  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  A  <->  ( F : B --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  B  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, R, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    .+ ( x, y)    .x. ( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem isabv
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvfval.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  R )
2 abvfval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 abvfval.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
4 abvfval.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
5 abvfval.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
61, 2, 3, 4, 5abvfval 17594 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  A  =  { f  e.  ( ( 0 [,) +oo )  ^m  B )  | 
A. x  e.  B  ( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) ) } )
76eleq2d 2527 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  A  <->  F  e.  { f  e.  ( ( 0 [,) +oo )  ^m  B )  |  A. x  e.  B  (
( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) } ) )
8 fveq1 5871 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
98eqeq1d 2459 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  =  0  <->  ( F `  x )  =  0 ) )
109bibi1d 319 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  <->  ( ( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  ) ) )
11 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( F `  (
x  .x.  y )
) )
12 fveq1 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
138, 12oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( F `  y
) ) )
1411, 13eqeq12d 2479 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  <->  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 y ) ) ) )
15 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( x  .+  y ) )  =  ( F `  (
x  .+  y )
) )
168, 12oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) )  =  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) )
1715, 16breq12d 4469 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) )  <->  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
1814, 17anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <-> 
( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) )
1918ralbidv 2896 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( A. y  e.  B  ( ( f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <->  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) )
2010, 19anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) )
2120ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  B  ( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) )  <->  A. x  e.  B  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) )
2221elrab 3257 . . 3  |-  ( F  e.  { f  e.  ( ( 0 [,) +oo )  ^m  B )  |  A. x  e.  B  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) ) }  <->  ( F  e.  ( ( 0 [,) +oo )  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( F `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) ) ) )
23 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  e. 
_V
24 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
252, 24eqeltri 2541 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
2623, 25elmap 7466 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( 0 [,) +oo )  ^m  B )  <->  F : B
--> ( 0 [,) +oo ) )
2726anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( 0 [,) +oo )  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) )  <->  ( F : B
--> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( F `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) ) ) )
2822, 27bitri 249 . 2  |-  ( F  e.  { f  e.  ( ( 0 [,) +oo )  ^m  B )  |  A. x  e.  B  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) ) }  <->  ( F : B --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  B  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) )
297, 28syl6bb 261 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  A  <->  ( F : B --> ( 0 [,) +oo )  /\  A. x  e.  B  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109   class class class wbr 4456   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   0cc0 9509    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642    <_ cle 9646   [,)cico 11556   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   .rcmulr 14713   0gc0g 14857   Ringcrg 17325  AbsValcabv 17592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7440  df-abv 17593
This theorem is referenced by:  isabvd  17596  abvfge0  17598  abveq0  17602  abvmul  17605  abvtri  17606  abvpropd  17618
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