Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  is2wlkonot Structured version   Unicode version

Theorem is2wlkonot 30553
 Description: The set of walks of length 2 between two vertices (in a graph) as ordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
is2wlkonot 2WalksOnOt WalkOn
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem is2wlkonot
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3087 . . 3
3 elex 3087 . . 3
5 mpt2exga 6762 . . . 4 WalkOn
65anidms 645 . . 3 WalkOn
8 simpl 457 . . . 4
9 id 22 . . . . . . . 8
109, 9xpeq12d 4976 . . . . . . 7
1110, 9xpeq12d 4976 . . . . . 6
1211adantr 465 . . . . 5
13 oveq12 6212 . . . . . . . . 9 WalkOn WalkOn
1413oveqd 6220 . . . . . . . 8 WalkOn WalkOn
1514breqd 4414 . . . . . . 7 WalkOn WalkOn
16153anbi1d 1294 . . . . . 6 WalkOn WalkOn
17162exbidv 1683 . . . . 5 WalkOn WalkOn
1812, 17rabeqbidv 3073 . . . 4 WalkOn WalkOn
198, 8, 18mpt2eq123dv 6260 . . 3 WalkOn WalkOn
20 df-2wlkonot 30548 . . 3 2WalksOnOt WalkOn
2119, 20ovmpt2ga 6333 . 2 WalkOn 2WalksOnOt WalkOn
222, 4, 7, 21syl3anc 1219 1 2WalksOnOt WalkOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 965   wceq 1370  wex 1587   wcel 1758  crab 2803  cvv 3078   class class class wbr 4403   cxp 4949  cfv 5529  (class class class)co 6203   cmpt2 6205  c1st 6688  c2nd 6689  c1 9398  c2 10486  chash 12224   WalkOn cwlkon 23588   2WalksOnOt c2wlkonot 30545 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-2wlkonot 30548 This theorem is referenced by:  2wlkonot  30555
 Copyright terms: Public domain W3C validator