Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irredrmul Structured version   Unicode version

Theorem irredrmul 17870
 Description: The product of an irreducible element and a unit is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i Irred
irredrmul.u Unit
irredrmul.t
Assertion
Ref Expression
irredrmul

Proof of Theorem irredrmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1006 . 2
2 simp1 1005 . . . . . 6
3 simp3 1007 . . . . . 6
4 irredrmul.u . . . . . . . . 9 Unit
5 eqid 2429 . . . . . . . . 9 /r /r
64, 5unitdvcl 17850 . . . . . . . 8 /r
763com23 1211 . . . . . . 7 /r
873expia 1207 . . . . . 6 /r
92, 3, 8syl2anc 665 . . . . 5 /r
10 irredn0.i . . . . . . . . 9 Irred
11 eqid 2429 . . . . . . . . 9
1210, 11irredcl 17867 . . . . . . . 8
13123ad2ant2 1027 . . . . . . 7
14 irredrmul.t . . . . . . . 8
1511, 4, 5, 14dvrcan3 17855 . . . . . . 7 /r
162, 13, 3, 15syl3anc 1264 . . . . . 6 /r
1716eleq1d 2498 . . . . 5 /r
189, 17sylibd 217 . . . 4
192ad2antrr 730 . . . . . . . . 9
20 eldifi 3593 . . . . . . . . . 10
2120ad2antrl 732 . . . . . . . . 9
223ad2antrr 730 . . . . . . . . 9
2311, 4, 5dvrcl 17849 . . . . . . . . 9 /r
2419, 21, 22, 23syl3anc 1264 . . . . . . . 8 /r
25 eldifn 3594 . . . . . . . . . 10
2625ad2antrl 732 . . . . . . . . 9
274, 14unitmulcl 17827 . . . . . . . . . . . . 13 /r /r
28273com23 1211 . . . . . . . . . . . 12 /r /r
29283expia 1207 . . . . . . . . . . 11 /r /r
3019, 22, 29syl2anc 665 . . . . . . . . . 10 /r /r
3111, 4, 5, 14dvrcan1 17854 . . . . . . . . . . . 12 /r
3219, 21, 22, 31syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11 /r
3332eleq1d 2498 . . . . . . . . . 10 /r
3430, 33sylibd 217 . . . . . . . . 9 /r
3526, 34mtod 180 . . . . . . . 8 /r
3624, 35eldifd 3453 . . . . . . 7 /r
37 simprr 764 . . . . . . . . 9
3837oveq1d 6320 . . . . . . . 8 /r /r
39 eldifi 3593 . . . . . . . . . 10
4039ad2antlr 731 . . . . . . . . 9
4111, 4, 5, 14dvrass 17853 . . . . . . . . 9 /r /r
4219, 40, 21, 22, 41syl13anc 1266 . . . . . . . 8 /r /r
4316ad2antrr 730 . . . . . . . 8 /r
4438, 42, 433eqtr3d 2478 . . . . . . 7 /r
45 oveq2 6313 . . . . . . . . 9 /r /r
4645eqeq1d 2431 . . . . . . . 8 /r /r
4746rspcev 3188 . . . . . . 7 /r /r
4836, 44, 47syl2anc 665 . . . . . 6
4948rexlimdvaa 2925 . . . . 5
5049reximdva 2907 . . . 4
5118, 50orim12d 846 . . 3
5211, 4unitcl 17822 . . . . . 6
53523ad2ant3 1028 . . . . 5
5411, 14ringcl 17729 . . . . 5
552, 13, 53, 54syl3anc 1264 . . . 4
56 eqid 2429 . . . . 5
5711, 4, 10, 56, 14isnirred 17863 . . . 4
5855, 57syl 17 . . 3
5911, 4, 10, 56, 14isnirred 17863 . . . 4
6013, 59syl 17 . . 3
6151, 58, 603imtr4d 271 . 2
621, 61mt4d 143 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wo 369   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  wrex 2783   cdif 3439  cfv 5601  (class class class)co 6305  cbs 15084  cmulr 15153  crg 17715  Unitcui 17802  Irredcir 17803  /rcdvr 17845 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-irred 17806  df-invr 17835  df-dvr 17846 This theorem is referenced by:  irredlmul  17871  irredneg  17873
 Copyright terms: Public domain W3C validator