MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irrednegb Structured version   Unicode version

Theorem irrednegb 17926
Description: An element is irreducible iff its negative is. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i  |-  I  =  (Irred `  R )
irredneg.n  |-  N  =  ( invg `  R )
irrednegb.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
irrednegb  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  I  <->  ( N `  X )  e.  I
) )

Proof of Theorem irrednegb
StepHypRef Expression
1 irredn0.i . . . 4  |-  I  =  (Irred `  R )
2 irredneg.n . . . 4  |-  N  =  ( invg `  R )
31, 2irredneg 17925 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I )  ->  ( N `  X )  e.  I )
43adantlr 719 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  /\  X  e.  I
)  ->  ( N `  X )  e.  I
)
5 ringgrp 17772 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
6 irrednegb.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
76, 2grpinvinv 16708 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  ( N `  X )
)  =  X )
85, 7sylan 473 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  ( N `  X ) )  =  X )
98adantr 466 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  /\  ( N `  X )  e.  I
)  ->  ( N `  ( N `  X
) )  =  X )
101, 2irredneg 17925 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  X )  e.  I )  ->  ( N `  ( N `  X ) )  e.  I )
1110adantlr 719 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  /\  ( N `  X )  e.  I
)  ->  ( N `  ( N `  X
) )  e.  I
)
129, 11eqeltrrd 2511 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  /\  ( N `  X )  e.  I
)  ->  X  e.  I )
134, 12impbida 840 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  I  <->  ( N `  X )  e.  I
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   ` cfv 5597   Basecbs 15108   Grpcgrp 16656   invgcminusg 16657   Ringcrg 17767  Irredcir 17855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-tpos 6977  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-0g 15327  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-grp 16660  df-minusg 16661  df-mgp 17711  df-ur 17723  df-ring 17769  df-oppr 17838  df-dvdsr 17856  df-unit 17857  df-irred 17858  df-invr 17887  df-dvr 17898
This theorem is referenced by:  prmirred  19052
  Copyright terms: Public domain W3C validator