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Theorem irredmul 16800
Description: If product of two elements is irreducible, then one of the elements must be a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i  |-  I  =  (Irred `  R )
irredmul.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
irredmul.u  |-  U  =  (Unit `  R )
irredmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
irredmul  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .x.  Y )  e.  I )  -> 
( X  e.  U  \/  Y  e.  U
) )

Proof of Theorem irredmul
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 irredmul.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 irredmul.u . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  R )
3 irredn0.i . . . . 5  |-  I  =  (Irred `  R )
4 irredmul.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
51, 2, 3, 4isirred2 16792 . . . 4  |-  ( ( X  .x.  Y )  e.  I  <->  ( ( X  .x.  Y )  e.  B  /\  -.  ( X  .x.  Y )  e.  U  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x  .x.  y )  =  ( X  .x.  Y )  ->  (
x  e.  U  \/  y  e.  U )
) ) )
65simp3bi 1005 . . 3  |-  ( ( X  .x.  Y )  e.  I  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x  .x.  y )  =  ( X  .x.  Y )  ->  (
x  e.  U  \/  y  e.  U )
) )
7 eqid 2442 . . . 4  |-  ( X 
.x.  Y )  =  ( X  .x.  Y
)
8 oveq1 6097 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .x.  y )  =  ( X  .x.  y ) )
98eqeq1d 2450 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y )  <->  ( X  .x.  y )  =  ( X  .x.  Y ) ) )
10 eleq1 2502 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  U  <->  X  e.  U ) )
1110orbi1d 702 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  U  \/  y  e.  U
)  <->  ( X  e.  U  \/  y  e.  U ) ) )
129, 11imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  .x.  y )  =  ( X  .x.  Y )  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) )  <->  ( ( X  .x.  y )  =  ( X  .x.  Y
)  ->  ( X  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
13 oveq2 6098 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .x.  y )  =  ( X  .x.  Y
) )
1413eqeq1d 2450 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y )  <->  ( X  .x.  Y )  =  ( X  .x.  Y ) ) )
15 eleq1 2502 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  e.  U  <->  Y  e.  U ) )
1615orbi2d 701 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  e.  U  \/  y  e.  U
)  <->  ( X  e.  U  \/  Y  e.  U ) ) )
1714, 16imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  .x.  y )  =  ( X  .x.  Y )  ->  ( X  e.  U  \/  y  e.  U ) )  <->  ( ( X  .x.  Y )  =  ( X  .x.  Y
)  ->  ( X  e.  U  \/  Y  e.  U ) ) ) )
1812, 17rspc2v 3078 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x 
.x.  y )  =  ( X  .x.  Y
)  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) )  -> 
( ( X  .x.  Y )  =  ( X  .x.  Y )  ->  ( X  e.  U  \/  Y  e.  U ) ) ) )
197, 18mpii 43 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x 
.x.  y )  =  ( X  .x.  Y
)  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) )  -> 
( X  e.  U  \/  Y  e.  U
) ) )
206, 19syl5 32 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .x.  Y )  e.  I  ->  ( X  e.  U  \/  Y  e.  U
) ) )
21203impia 1184 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .x.  Y )  e.  I )  -> 
( X  e.  U  \/  Y  e.  U
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Basecbs 14173   .rcmulr 14238  Unitcui 16730  Irredcir 16731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fv 5425  df-ov 6093  df-irred 16734
This theorem is referenced by:  prmirredlem  17916  prmirredlemOLD  17919
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