MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irredlmul Structured version   Unicode version

Theorem irredlmul 17483
Description: The product of a unit and an irreducible element is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i  |-  I  =  (Irred `  R )
irredrmul.u  |-  U  =  (Unit `  R )
irredrmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
irredlmul  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U  /\  Y  e.  I )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  I )

Proof of Theorem irredlmul
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 irredrmul.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
3 eqid 2457 . . 3  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
4 eqid 2457 . . 3  |-  ( .r
`  (oppr
`  R ) )  =  ( .r `  (oppr `  R ) )
51, 2, 3, 4opprmul 17401 . 2  |-  ( Y ( .r `  (oppr `  R
) ) X )  =  ( X  .x.  Y )
63opprring 17406 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (oppr `  R
)  e.  Ring )
7 irredn0.i . . . . . 6  |-  I  =  (Irred `  R )
83, 7opprirred 17477 . . . . 5  |-  I  =  (Irred `  (oppr
`  R ) )
9 irredrmul.u . . . . . 6  |-  U  =  (Unit `  R )
109, 3opprunit 17436 . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  (oppr
`  R ) )
118, 10, 4irredrmul 17482 . . . 4  |-  ( ( (oppr
`  R )  e. 
Ring  /\  Y  e.  I  /\  X  e.  U
)  ->  ( Y
( .r `  (oppr `  R
) ) X )  e.  I )
126, 11syl3an1 1261 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  I  /\  X  e.  U )  ->  ( Y ( .r `  (oppr `  R ) ) X )  e.  I )
13123com23 1202 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U  /\  Y  e.  I )  ->  ( Y ( .r `  (oppr `  R ) ) X )  e.  I )
145, 13syl5eqelr 2550 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U  /\  Y  e.  I )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   .rcmulr 14712   Ringcrg 17324  opprcoppr 17397  Unitcui 17414  Irredcir 17415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-oppr 17398  df-dvdsr 17416  df-unit 17417  df-irred 17418  df-invr 17447  df-dvr 17458
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator